Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В рамках проекта найдены динамические законы роста анизотропных кристаллов эллипсоидальной формы в переохлаждённых расплавах и пересыщенных растворах. Показано, что объёмная скорость роста возрастает с переохлаждением (пересыщением) жидкости, а также с ростом объёма кристаллов. Выполнено сопоставление выведенных законов роста эллипсоидальных зародышей с экспериментальными данными. Построена теория нуклеации и роста полидисперсного ансамбля эллипсоидальных кристаллов в однокомпонентных переохлаждённых расплавах и пересыщенных растворах. Сформулированы замкнутые постановки тепловой и концентрационной задач в эллипсоидальных координатах, состоящие из кинетического уравнения первого порядка для функции распределения частиц по объёмам, балансового уравнения для переохлаждения (пересыщения) метастабильной жидкости, граничных и начальных условий с учётом выведенной скорости роста эллипсоидальных зародышей и различных кинетик нуклеации (Майера и Вебера-Вольмера-Френкеля-Зельдовича). Построены аналитические решения сформулированных интегро-дифференциальных моделей (тепловой и концентрационной) с помощью метода седловой точки для вычисления интегралов лапласовского типа. Выведены фундаментальные решения тепловой и концентрационной задач, а также получены аналитические выражения для основных поправок к фундаментальному решению. В результате аналитически определены: функция распределения кристаллов по объёмам, динамические зависимости переохлаждения чистого расплава (пересыщения раствора), количество и средний объём кристаллов. Показано, что переохлаждение (пересыщение) жидкости уменьшается с увеличением времени, а функция распределения кристаллов по объёмам возрастает до максимального размера кристаллов, выросших в системе к определённому моменту времени. Данная теория является обобщением ранее известной теории нуклеации и роста сферических зародышей. Развита теория нуклеации и роста эллипсоидальных кристаллов в метастабильных системах при учёте процесса «диффузии» функции распределения по пространству объёмов кристаллов (при учёте флуктуаций в скоростях роста кристаллов, описываемых кинетическим уравнением второго порядка для функции распределения). Сформулированы модельные уравнения в эллипсоидальных координатах с использованием скорости роста отдельных кристаллов, а также различных кинетик нуклеации. Выведено аналитическое решение сформулированной интегро-дифференциальной модели с использованием методов интегрального преобразования Лапласа и замены переменных интегрирования. Полученные решения определяют динамические зависимости переохлаждения (пересыщения) жидкости, функцию распределения кристаллов и её моменты с учётом процесса «диффузии» функции распределения по пространству объёмов кристаллов. Показано, что переохлаждение падает с ростом времени за счёт выделения скрытой теплоты фазового превращения, а функция распределения имеет куполообразную форму. Эффектом наличия «диффузионного» члена в кинетическом уравнении является форма функции распределения. А именно, при отсутствии «диффузионного» слагаемого (слабые флуктуации в скоростях роста кристаллов) функция распределения является возрастающей до максимального размера выросших кристаллов, а при наличии «диффузионного» слагаемого (сильные флуктуации в скоростях роста кристаллов) она имеет куполообразный вид. При этом с течением времени высота купола уменьшается, а само распределение сдвигается в сторону больших объёмов кристаллов. В предельном случае, когда форма эллипсоидальных частиц стремится к сферической, развитая теория имеет предельный переход к ранее известной теории. Проведён сравнительный анализ развитой теории с экспериментальными данными по кристаллизации свиного и бычьего инсулина, а также белков лизоцима и канавалина. Определены кинетики снятия пересыщения и найдены функции распределения и скорости нуклеации для этих веществ на основе аналитических решений. Развита теория заключительной стадии фазового превращения (процесса оствальдова созревания) с учётом одновременного протекания различных механизмов массопереноса (объёмная диффузия, зернограничная диффузия, диффузия по дислокационной сетке) и начальной функции распределения кристаллов по размерам. Начальная функция распределения частиц по размерам берётся из аналитического решения, описывающего промежуточную стадию фазового перехода. Настоящая теория фокусируется на релаксационной динамике от начала стадии оствальдового созревания до её асимптотического финального состояния, которое описывается ранее развитыми теориями. Аналитически найдено эволюционное поведение скоростей частиц в зависимости от различных механизмов массопереноса и времени. Определены границы переходной области, окружающей блокирующую точку. Выведены фундаментальный и релаксационные вклады в функцию распределения частиц по размерам для одновременного действия различных механизмов массопереноса. Левая ветвь этой функции сдвинута в сторону меньших радиусов частиц, в то время как её правая ветвь располагается справа от блокирующей точки по сравнению с асимптотическим универсальным распределением. Рассматриваемая теория хорошо согласуется с экспериментальными данными. Развитая теория обобщает теорию промежуточной стадии фазового перехода с теорией заключительной стадии и описывает тепломассоперенос в сложных системах. Разработан пакет прикладных программ для моделирования процесса нуклеации и роста кристаллов в метастабильной жидкости на основе развитой теории. Получено свидетельство о государственной регистрации данного пакета. В 2021 году опубликовано 7 научных статей, входящих в Web of Science и Scopus. Из них 5 статей имеют квартиль Q1. Выполненные в 2021 г. научные работы также представлены к публикации в несколько тематических журналов (их публикация ожидается в 2022 г.). Принято участие в конференциях с докладами, а также участие в организации Национального суперкомпьютерного форума (руководитель проекта – член оргкомитета: https://2021.nscf.ru/nauchno-prakticheskaya-konferenciya/orgkomitet/). В 2021 году по приглашению редакций журналов были подготовлены два тематических выпуска журналов «Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences» (Q1, импакт-фактор 4.226, https://royalsocietypublishing.org/toc/rsta/2021/379/2205) и «Mathematical Methods in the Applied Sciences» (Q1, импакт-фактор 2.321, https://onlinelibrary.wiley.com/toc/10991476/2021/44/16), куда вошли несколько статей исполнителей настоящего проекта со ссылками на Российский научный фонд. О результатах проекта было подготовлено новостное сообщение в СМИ со ссылкой на данный проект Российского научного фонда: https://urfu.ru/ru/news/37660/

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Сформулирована математическая модель процесса нуклеации и роста эллипсоидальных кристаллов в бинарных переохлаждённых расплавах и пересыщенных растворах. Модель учитывает выведенные исполнителями проекта законы роста одиночных эллипсоидальных кристаллов. А именно, когда скорость роста объёма отдельных эллипсоидальных зародышей является функцией переохлаждения бинарного расплава (пересыщения раствора) и текущего значения объёма зародыша. Эта скорость учтена в математической модели эволюции полидисперсного ансамбля эллипсоидальных частиц. Модель состоит из кинетического уравнения первого порядка для функции распределения частиц по объёмам, интегральных уравнений баланса тепла и массы, которые зависят от функции распределения, граничных и начальных условий с различными кинетиками нуклеации (Майера и Вебера-Вольмера-Френкеля-Зельдовича для бинарных систем). Выполнено обобщение этой модели с учётом процесса «диффузии» функции распределения по пространству объёмов кристаллов (с кинетическим уравнением второго порядка для функции распределения кристаллов по объёмам в бинарных жидкостях). Эта постановка задачи учитывает флуктуации в скоростях роста кристаллов, играющие важную роль при больших переохлаждениях жидкости на начальной и промежуточной стадиях фазового превращения. Найдено точное решение кинетического уравнения в зависимости от переохлаждения бинарной системы. Функция распределения из этого решения подставлена в уравнения баланса тепла и массы, которые сведены к одному интегральному уравнению для переохлаждения бинарного расплава. Это уравнение решено с помощью метода седловой точки в случае кинетического уравнения первого порядка. А именно, решение найдено в общем виде и представляет собой асимптотический ряд. Явно определены главный член этого ряда (фундаментальный вклад) и первые три поправочных коэффициента этого ряда. Анализ полученного решения показал быструю сходимость ряда и возможность построения очень точного приближения с использованием фундаментального вклада и первых двух поправочных слагаемых к нему. В случае учёта флуктуаций в скоростях роста кристаллов (с учётом кинетического уравнения второго порядка) найдено точное решение задачи в параметрическом виде (параметром решения является модифицированное время). В результате проделанной работы были аналитически определены: функция распределения кристаллов по объёмам для бинарных переохлаждённых расплавов и пересыщенных растворов, моменты функции распределения, динамические зависимости переохлаждения (пересыщения) метастабильной жидкости, количество и средний объём кристаллов. Для верификации теории был выполнен предельный переход к ранее развитым теориям кристаллизации ансамблей сферических и эллипсоидальных кристаллов в метастабильных однокомпонентных системах (теории, развитые в 2018-2021 годах). Развитые модели и методы построения аналитических решений описывают эволюцию полидисперсного ансамбля эллипсоидальных кристаллов на промежуточной стадии фазового превращения (когда кристаллы находятся на достаточно далеких друг от друга расстояниях, а переохлаждение/пересыщение жидкости не исчезающе мало). Для описания заключительной стадии фазового превращения (когда переохлаждение достаточно мало), в случае доминирования процесса коагуляции частиц, развитая теория была распространена на заключительную стадию процесса фазового превращения. А именно, аналитическое решение, найденное для промежуточной стадии, использовалось в качестве начального условия для стадии коагуляции. С помощью применения интегрального преобразования Лапласа было найдено приближённое аналитическое решение уравнения коагуляции Смолуховского в рядах для постоянных ядер коагуляции. Показана быстрая сходимость построенного решения. Был выполнен сравнительный анализ развитой теории с экспериментальными данными по кристаллизации сульфата калия, моногидрата лимонной кислоты, свиного и бычьего инсулина. Была определена кинетика снятия пересыщения (переохлаждения), найдена функция распределения и скорость нуклеации. Развитая теория была использована для разработки программного комплекса. А именно, был разработан пакет прикладных программ для моделирования процесса нуклеации и роста кристаллов в метастабильной жидкости. С его помощью были проанализированы и визуализированы выведенные законы эволюции полидисперсных ансамблей эллипсоидальных кристаллов. Была подготовлена сопроводительная документация к государственной регистрации программ для ЭВМ. Программы прошли процедуру регистрации и были получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Результаты работы по проекту были доложены на ведущих мировых тематических конференциях. Результаты проделанной работы опубликованы в 2022 году в ведущих мировых журналах по теме проекта. В целом, в 2022 году по настоящему проекту опубликованы научные статьи, получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, сделаны доклады на тематических конференциях: 1. Nikishina, M.A., Alexandrov, D.V. (2022) J. Phys. A: Math. Theor., 55 (25), 255701; 2. Nikishina, M.A., Alexandrov, D.V. (2022) AIP Conf. Proc., 2466, 030036; 3. Alexandrov, D.V., Zubarev, A.Y. (2022) Phil. Trans. R. Soc. A, 380 (2217), 20210366; 4. Alexandrova, I.V., Alexandrov, D.V. (2022) Eur. Phys. J.: Special Topics, 231 (6), 1115-1121; 5. Alexandrova, I.V., Ivanov, A.A., Malygin, A.P., Alexandrov, D.V., Nikishina, M.A. (2022) Eur. Phys. J.: Special Topics, 231 (6), 1089-1100; 6. Nikishina, M.A., Alexandrov, D.V. (2022) Eur. Phys. J.: Special Topics, 231 (6), 1107-1113; 7. Nikishina, M.A., Alexandrov, D.V. (2022) Crystals 2022, 12, art. no. 1495; 8. Alexandrov, D.V., Makoveeva, E.V., Nikishina, M.A., Alexandrova, I.V., Ivanov, A.A. (2022) AIP Conf. Proc., 2459, 030001; 9. Nikishina, M.A. (2021) J. Phys.: Conf. Ser., 2114 (1), 012003; 10. Nikishina, M.A., Makoveeva, E.V., Alexandrova, I.V., Malygin, A.P., Bulycheva, S.V., Alexandrov, D.V. (2022) Int. Sci. J. "Machines. Technologies. Materials", 16(10), 358-366 ISSN 1313-0226; 11. Никишина, М.А., Александров, Д.В. CrystallizationEllipsoidalParticles. Свидетельство 2022617722 от 25.04.2022; 12. Маковеева, Е.В., Александров, Д.В. BulkCrystallization. Свидетельство 2022618816 от 18.05.2022; 13. Alexandrov, D., Nikishina, M., Makoveeva, E., Alexandrova, I., Titova, E. A complete analytical solution to an integro-differential model describing the evolution of ellipsoidal crystals in a supercooled binary liquid. XII International Conference of the Georgian Mathematical Union (29.08-03.09.2022, Batumi, Georgia); 14. Nikishina, M.A., Makoveeva, E.V., Alexandrova, I.V., Malygin, A.P., Bulycheva, S.V., Alexandrov, D.V. Towards the theory of evolution of spherical and ellipsoidal particles in metastable melts and solutions. VIII International Scientific Conference “Material Science. Nonequilibrium Phase Transformations” (05-08.09.2022, Varna, Bulgaria); 15. Никишина, М.А., Александров, Д.В. Скорость роста объёма частицы в однокомпонентном и бинарном расплавах. IX Международная молодежная научная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения профессора С. П. Распопина "Физика. Технологии. Инновации" ФТИ-2022 (16-20.05.2022, Екатеринбург, Россия); 16. Александров, Д.В., Никишина, М.А. Математическое моделирование изменения скорости роста объема эллипсоидальной частицы в метастабильной жидкости. Национальный Суперкомпьютерный Форум, НСКФ-2022 (29.11.2022-02.12.2022, Переславль-Залесский, Россия); 17. Александров, Д.В., Федотов, С.П. О точных аналитических решениях уравнения Смолуховского для коагуляции частиц. VIII Международная конференция “Кристаллизация: компьютерные модели, эксперимент, технологии” (06-09.04.2022, Ижевск, Россия).