КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 21-71-10039

НазваниеКачественный и численный анализ динамических систем, возникающих в задачах механики систем с качением и робототехники

РуководительБизяев Иван Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Удмуртский государственный университет", Удмуртская Республика

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2021 - 06.2024 

Конкурс№61 - Конкурс 2021 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-317 - Регулярная и хаотическая динамика механических систем

Ключевые словамногозвенный мобильный колесный робот, велосипед, динамическая система, качение, неголономная система, устойчивость, стабилизация, бифуркации, странный аттрактор, отображение Пуанкаре, системы с трением, хаос

Код ГРНТИ30.15.15

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен исследованию ряда актуальных с точки зрения приложений задач неголономной механики и робототехники. Развитие исследований в этих направлениях породило большое количество сложных динамических систем, изучение которых требует использования современных методов качественного анализа и теории управления. Результаты исследования этих систем позволяют выбирать наиболее рациональный (оптимальный, устойчивый и т.п.) режим их движения. Для систем, описывающих динамику мобильных роботов, результаты исследований позволяют также оптимизировать их конструкцию (повысить маневренность, устойчивость и т.д.). Таким образом, качественное исследование динамики рассматриваемых в данном проекте задач является важной и актуальной проблемой. В проекте планируется решить ряд задач в двух основных направлениях: 1. Исследование динамики мобильных колесных систем как статически устойчивых (многозвенные колесные экипажи), так и статически неустойчивых (моноциклы, велосипеды). В рамках данного направления будут получены новые результаты, развивающие существующую теорию движения колесных систем. Так, в направлении исследования динамики многозвенных колесных мобильных систем будет исследована их управляемость, а также выполнен поиск новых динамических эффектов. В нелинейной постановке будут исследованы вопросы устойчивости известных стационарных движений, а также выполнен поиск новых стационарных решений для двух моделей велосипеда (модель Уиппла и модель TMS – двухмассовый роликовый велосипед). Также будет рассмотрен вопрос оптимизации параметров велосипеда для стабилизации необходимых режимов движения. 2. Исследование динамики модельных систем неголономной механики и систем с трением. В данном направлении планируется выполнить поиск новых динамических эффектов в задачах о качении твердых тел по плоскости (например, эффект реверса или аналог переворота волчка Томсона), а также провести качественный анализ их динамики. Рассматриваемые в этом направлении задачи имеют важное теоретическое значение, поскольку позволяют качественно объяснить ряд наблюдаемых в экспериментах эффектов, а также используются как стартовая точка в теории возмущений, теории устойчивости, анализе бифуркаций и т.п.

Ожидаемые результаты
1. В направлении исследования динамики мобильных колесных систем как статически устойчивых (многозвенные колесные экипажи), так и статически неустойчивых (моноциклы, велосипеды), планируется получить следующие результаты: Будет проведено исследование динамики двухмассового роликового (two mass skate) велосипеда. Будут получены нелинейные уравнения движения в квазискоростях и выполнена редукция по симметриям. Будет проведен качественный анализ полученной динамической системы, в том числе, исследована устойчивость прямолинейного движения в зависимости от параметров велосипеда и выполнен поиск других асимптотически устойчивых частных решений. Будет исследована динамика модели велосипеда Уиппла. Будут получены нелинейные уравнения движения в квазискоростях и выполнена редукция по симметриям. Будет выполнен поиск асимптотически устойчивых регулярных, а также хаотических режимов движения. Будет выполнен поиск параметров (конструкции) велосипеда, обладающих необходимыми с точки зрения приложений режимами движения. Будет построена математическая модель двухмассового роликового (two mass skate) велосипеда с управляющим воздействием, обусловленным периодическим движением элементов конструкции либо обратной связью. Будут найдены режимы движения, приводящие к ускорению велосипеда и его дополнительной стабилизации. Будет разработана математическая модель катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости диска с закрепленным на нем твердым телом (моноцикл). Будут исследованы вопросы стабилизации прямолинейного движения диска за счет движения твердого тела. Будет разработана математическая модель трехзвенного колесного экипажа с несимметричным распределением масс на горизонтальной плоскости при отсутствии проскальзывания в точках контакта колес. Будет проанализирована устойчивость прямолинейного движения колесного экипажа в зависимости от параметров системы. Будут исследованы частные периодические решения редуцированной системы и проанализированы бифуркации их возникновения, в том числе выполнен поиск нетипичных для консервативной динамики эффектов, например, бифуркации Андронова-Хопфа. Будет исследована динамика саней Чаплыгина (плоского двухколесного робота) с изменяющимся распределением масс на наклонной плоскости. Полученная динамическая система будет сведена к анализу трехмерного отображения Пуанкаре. Будут проклассифицированы различные регулярные и хаотические режимы движения. Будет выполнен поиск режимов движения, для которых сани поднимаются на наклонную плоскость. Будет исследована динамика многозвенного (n>2) колесного экипажа, управляемого за счет одного или нескольких углов между тележками. Будут проанализированы условия разгона колесного экипажа из состояния покоя за счет периодического по времени изменения угла между тележками. Будут найдены траектории, воспроизводящие «змеевидные» режимы передвижения: извивающееся движение и боковой уход. Исследования, направленные на анализ динамики мобильных колесных систем напрямую связаны с развитием мобильной робототехники. Аппаратная реализация таких систем невозможна без предварительного изучения математических моделей устройства. Развитие теории движения многозвенных колесных роботов позволит оптимизировать конструкцию натурных образцов таких систем и управление ими. Практическая значимость исследований динамики велосипеда связана с задачей повышения безопасности езды на велосипеде, что обусловлено современными тенденциями заботы об окружающей среде и развития экологически чистого вида транспорта. Улучшение характеристик велосипеда с точки зрения устойчивости также позволит упростить процесс обучения езде на велосипеде, что имеет высокую практическую значимость при массовом переходе на этот вид транспорта. 2. В направлении исследования динамики модельных систем неголономной механики и систем с трением планируется получить следующие результаты: Будет выполнен качественный анализ динамики трехосного эллипсоида, который катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Предполагается, что у эллипсоида главные оси инерции совпадают с главными геометрическими осями (в отличие от кельтского камня). Будут исследованы ранее найденные перманентные вращения эллипсоида вокруг осей, не совпадающих с главными осями инерции, в том числе проанализированы их бифуркации рождения и потери устойчивости. Будет выполнен поиск траекторий, сопровождающихся сменой направления вращения эллипсоида на противоположное (эффект реверса), и других интересных динамических эффектов. Будет исследована динамика неоднородного диска на горизонтальной плоскости при наличии сил трения. Как показывают исследования, несимметричный диск демонстрирует поведение, аналогичное волчку Томсона – при быстром закручивании диска относительно вертикально расположенной оси симметрии может наблюдаться его переворот, то есть подъем центра масс выше геометрического центра. В рамках проекта будет проанализирована устойчивость вращения такого диска вокруг вертикальной оси и исследована возможность переворота. Будет выполнен качественный анализ движущейся по горизонтальной плоскости связки тел. Одно из них представляет собой тело вращения (шар или диск) катящееся без проскальзывания по плоскости и имеет внутри полость, в которой закреплено другое твердое тело. Предполагается, что внутреннее тело совершает заданное движение относительно оболочки. Будет выполнен поиск частных периодических решений и проанализирована их устойчивость. Будет выполнен качественный анализ динамики тела вращения (шара или диска), катящегося без проскальзывания по поверхности цилиндра. Поле тяжести направленно вдоль образующей цилиндра. Предполагается, что в системе присутствует параметрическое возбуждение, обусловленное заданным периодическим изменением распределения масс катящегося тела либо движением цилиндра. Будут исследованы вопросы о существовании режимов движения, для которых тело вращения «в среднем» поднимается по цилиндру. Будет разработана математическая модель движения треноги по горизонтальной плоскости с изменяющимся периодически со временем распределением масс. Будут исследованы вопросы о возможности разгона с помощью малых колебаний элементов конструкции из состояния покоя до заданной скорости в присутствии силы сухого трения. Будет выполнен поиск различных режимов движения, ассоциирующихся с регулярным или хаотическим поведением, а также условий возникновения странного аттрактора. Результаты исследования в данном направлении носят фундаментальный характер и позволят продвинуться в понимании закономерностей движения систем с неголономными связями. Для практики данные исследования интересны с точки зрения обнаружения новых динамических эффектов, которые могут быть использованы, например, для разработки систем управления мобильных робототехнических систем или оптимизации конструкции системы под конкретные задачи.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Проанализированы условия существования перманентных вращений на горизонтальной плоскости твердого тела, имеющего форму трехосного эллипсоида. Подробно рассмотрен случай симметричного эллипсоида, в котором главные геометрические оси совпадают с главными осями инерции, а центр масс совпадает с геометрическим центром. Показано, что при определенном распределении масс симметричный эллипсоид обладает перманентными вращениями вокруг неглавных осей инерции. При этом отношение квадратов наименьшей к наибольшей полуоси эллипсоида должно быть больше 0.5. Найдено что требуемому распределению масс удовлетворяет однородный эллипсоид, имеющий полость. Получены условия устойчивость перманентных вращений симметричного эллипсоида. Численно проанализировано трехмерное отображение Пуанкаре, на котором найдены изолированные неподвижные точки, имеющие тип седло-фокус. Получена математическая модель, описывающая динамику симметричного роликового велосипеда. Она обобщает модель двухмассового роликового велосипеда (two mass skate или TMS). Для того, чтобы получить модель TMS нужно положить, что вся масса руля и рамы сосредоточена в их центрах масс. Показано, что рассмотренная задача сводится к анализу пяти нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию поступательной скорости руля, двух компонент угловых скоростей, угла поворота руля относительно рамы и угла, характеризующего отклонение рамы от вертикальной плоскости. Указаны частные решения, соответствующие прямолинейному движению велосипеда и получены условия их устойчивости в линейном приближении. Показано, что если руль представляет собой динамически симметричное твердое тело и его ось вращения совпадает с главной осью инерции, тогда уравнения движения обладают дополнительным первым интегралом. Кроме того, указано частное решение, для которого точка контакта рамы покоится, а точка контакта руля движется по окружности с постоянной угловой скоростью.Получена математическая модель, описывающая движение на горизонтальной плоскости связки двух твердых тел, моделирующих движение моноцикла. Одно из них несущее, представляет собой сплюснутый сфероид, описывающий форму колеса. Внутри несущего тела имеется полость, в которой закреплено другое несомое тело – динамически симметричный волчок. Эта задача обладает частным решением, для которого сфероид равномерно катится вдоль прямой, а волчок покоится в верхнем вертикальном положении. Данное решение является неустойчивым, тем не менее показано, что при помощи обратной связи можно добиться стабилизации положения моноцикла в верхнем вертикальном положении. Построена математическая модель движения неоднородного диска по гладкой горизонтальной плоскости при наличии силы трения. Показано, что при определенных соотношениях массо-геометрических характеристик и определенных начальных условиях при вертикальном закручивании диска может наблюдаться переворот – подъем центра масс выше геометрического центра (аналогичный перевороту волчка тип-топ). Исследована устойчивость вертикальных вращений.

 

Публикации

1. Бизяев И.А., Мамаев И.С. Permanent Rotations in Nonholonomic Mechanics. Omnirotational Ellipsoid Regular and Chaotic Dynamics, vol. 27, no. 6, pp. 587-612 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1134/S1560354722060016

2. Мамаев И.С., Килин А.А., Караваев Ю.Л., Шестаков В.А., Criteria of Motion Without Slipping for an Omnidirectional Mobile Robot Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Mamaev I. S., Kilin A. A., Karavaev Y. L., Shestakov V. A., Criteria of Motion Without Slipping for an Omnidirectional Mobile Robot, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2021, Vol. 17, no. 4, pp. 527-546 (год публикации - 2021) https://doi.org/10.20537/nd210412

3. Шаура А.С., Тененев В.А., Ветчанин Е.В., The Problem of Balancing an Inverted Spherical Pendulum on an Omniwheel Platform Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Shaura A. S., Tenenev V. A., Vetchanin E. V., The Problem of Balancing an Inverted Spherical Pendulum on an Omniwheel Platform, Rus. J. Nonlin. Dyn., 2021, Vol. 17, no. 4, pp. 507-525 (год публикации - 2021) https://doi.org/10.20537/nd210411

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Выполнен анализ устойчивости движения роликового велосипеда вдоль прямой. Найдены условия на параметры велосипеда, для которых прямолинейное движение является асимптотически устойчивым. Кроме того, указаны значения параметров, для которых существуют достаточно большие отклонения углов поворота руля и наклона рамы, при которых велосипед возвращается к прямолинейному движению. Показано, что на фиксированном уровне интеграла энергии редуцированная система сводится к анализу трехмерного точечного отображения Пуанкаре. Из анализа отображения следует, что прямолинейное движение теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хопфа, после которой возникает асимптотически устойчивое периодическое решение. Получена математическая модель велосипеда, который состоит из четырех твердых тел: двух колес, рамы, включающей в себя сидящего велосипедиста, а также передней вилки. Данная модель является более общей, чем модель роликового велосипеда, так как в ней учитывается гироскопический вклад от вращения колес и вынос вилки. Показано, что рассматриваемая задача сводится к анализу десяти нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию угловой скорости рамы, двух угловых скоростей колес, угла поворота передней вилки и ее угловой скорости, а также проекции вектора нормали на оси, жестко связанные с рамой. Найдено частное решение, соответствующие движению велосипеда по прямой. Проанализирована устойчивость этого решения. В частности, показано, что скорость, с которой велосипед при отклонении возвращается к прямолинейному движению, достигает наибольших значений, если центр масс рамы располагается позади оси вращения руля. Получена математическая модель трехзвенного колесного экипажа, представляющего собой три тележки с жестко закреплённой колесной парой. В этой системе найден случай существования дополнительного первого интеграла движения и проанализирована устойчивость частных решений. Кроме того, изучена динамика другой вариации трехзвенного колесного экипажа на горизонтальной плоскости, в которой два тела являются тележками, а третье представляет собой ротор, который закреплен на одной из тележек. Показано, что за счет вращения ротора можно добиться направленного движения колесного экипажа, в котором его скорость возрастает. Получена математическая модель движения саней Чаплыгина на наклонной плоскости. Предполагается, что распределение масс изменяется периодически со временем. Найден случай существования дополнительного интеграла, в котором траектории системы являются регулярными. Из анализа этих регулярных траекторий следует, что за счет выбора закона движения элементов конструкции можно реализовать движение саней, в котором они поднимаются на наклонную плоскость. Проанализирована математическая модель качения сферической оболочки на горизонтальной плоскости. Предполагается, что внутри оболочки закреплено твердое тело, которое относительно оболочки вращается с постоянной угловой скоростью. Данная задача сводится к анализу двумерного отображения Пуанкаре. Построена карта динамических режимов, на которой в зависимости от величины угловой скорости найдены различные регулярные аттракторы: неподвижные точки различных периодов и притягивающие торы. Подробно проанализирована траектория точки контакта сферической оболочки на плоскости.

 

Публикации

1. Артемова Е.М., Килин А.А. A Nonholonomic Model and Complete Controllability of a Three-Link Wheeled Snake Robot Russian Journal of Nonlinear Dynamics, vol. 18, no. 4, pp. 671-697 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.20537/nd221204

2. Бизяев И.А., Мамаев И.С. Roller Racer with Varying Gyrostatic Momentum: Acceleration Criterion and Strange Attractors Regular and Chaotic Dynamics, vol. 28, no. 1, pp. 107-130 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S1560354723010070

3. Бизяев И.А., Мамаев И.С. Перманентные вращения трехосного эллипсоида Тезисы докладов международной конференции. Нижний Новгород, 2022, стр. 21-22 (год публикации - 2022)