Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В ходе выполнения проекта были получены следующие результаты: 1) Установлена связь между описанием переноса энергии на основе динамики решётки и кинетической теории на примере линейных одномерных цепочек, а также проведено сравнение этих двух способов описания. Было показано, что при использовании некоторых допущений может быть осуществлён переход от точного выражения для кинетической температуры к континуальному пределу. При этом ключевым является допущение о слабом изменении начального температурного профиля на пространственном масштабе aΔN, который велик по сравнению с постоянной решетки и мал по сравнению с макроскопическим масштабом длины рассматриваемой цепочки. ΔN - некоторое достаточно большое число частиц. Было показано, что, после пренебрежения изменением начальной температуры на таком масштабе, макроскопическое фундаментальное решение представляет собой усреднённое по пространству дискретное фундаментальное решение. 2) Выведены формулы, описывающие распространение волновых пакетов в линейных одномерных цепочках. В результате были продемонстрированы два свойства квазичастиц. Во-первых, положение квазичастицы определяется с неопределенностью порядка aΔN. Во-вторых, характерная ширина волнового пакета в Фурье-пространстве обратно пропорциональна ΔN. В-третьих, дисперсия приводит к увеличению ширины ("расплыванию") волнового пакета с течением времени. 3) Исследован нестационарный перенос тепловой энергии в одномерной гармонической цепочке с прикрепленными массами. Было получено аналитическое решение в виде интегралов, описывающих эволюцию начального температурного профиля. Решение показывает, что температуры подрешёток изначально равны, а на больших временах существенно отличаются. Для случая слабо различающихся масс двух подрешёток было получено решение в замкнутой форме для синусоидального начального температурного профиля температуры. Это решение показывает, что температуры подрешёток совершают затухающие колебания с двумя существенно различающимися основными частотами. Более высокая частота колебаний температуры обусловлена вкладом (низкочастотных) акустических колебаний цепочки, а более низкая частота обусловлена оптическими колебаниями цепочки. Также было проведено исследование влияния слабой ангармоничности посредством проведения численных экспериментов над цепочкой бета-FPU методом динамики частиц с последующим сравнением численных результатов с аналитическими, полученными в рамках гармонического приближения. Оказалось, что в слабоангармоническом случае присутствуют характерные особенности баллистического теплопереноса. В частности, температуры подрешёток существенно отличаются. Ангармонические эффекты приводят к более быстрому спаду температурных колебаний. Было также установлено, что для отношений масс частиц разных подрешёток близких к единице, нелинейность больше всего влияет на температуру основных частиц, а температура присоединенных осцилляторов остается почти неизменной. Если же отношение масс мало, то ситуация в точности противоположная. Увеличение коэффициента нелинейности приводит к переходу от квазибаллистического к диффузионному режиму теплообмена (затухание синусоидального профиля температуры оказывается почти монотонным). Максимальная разница между температурами также снижается. Однако даже в диффузионном режиме теплопереноса различие температур подрешёток остаётся конечным. Практически, разницей можно пренебречь, начиная с некоторого порогового значения коэффициента нелинейности. Это пороговое значение увеличивается с уменьшением отношения масс. 4) Для случая нестационарного баллистического переноса тепла в двумерной гармонической решётке графена были найдены аналитическое и численное решения двух задач теплообмена. В первой задаче рассматривался синусоидальный начальный профиль температуры в различных пространственных направлениях. Было установлено, что амплитуда профиля температуры затухает на порядок на малых временах. На этом временном масштабе анизотропия теплообмена незначительна. Затухание амплитуды не зависит от направления, в котором задан начальный температурный профиль. На больших же временах амплитуда совершает небольшие колебания, затухая обратно пропорционально времени. Колебания зависят от направления, поэтому эффект анизотропии значителен. Было показано, что изотропия на малых временах обусловлена симметрией решетки третьего порядка. Во второй задаче задавалась постоянная начальная температура по окружности. Решение этой задачи имеет ряд особенностей. Профиль температуры имеет фронт, движущийся с максимальной групповой скоростью, и несколько локальных максимумов. Глобальные максимумы (самая горячая точка) располагаются в центре образца только на коротких временах. На больших временах температура имеет шесть одинаковых глобальных максимумов, движущихся вдоль осей симметрии решетки. Кроме того, температурное поле имеет несколько локальных максимумов. Эти особенности были объяснены с помощью интерпретации результатов в рамках кинетической теории и анализа распределения групповых скоростей. Было также показано, что при теплопередаче каждый атом имеет две различные температуры, соответствующие движениям в направлениях зигзаг и кресло.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Предложен подход к описанию баллистического переноса энергии в одномерных гармонических кристаллах со свободной концом как в дискретном описании, так и в континуальном. 2. Показано аналитически, что процесс переноса тепловой энергии сопровождается как минимум двумя переходными процессами: отражение тепловой волны от границы и последующее распространение тепловых волн от границы. 3. Показано, что континуальное описание не учитывает скачок кинетической температуры вблизи границы, наблюдающийся при отражении тепловой волны от свободного конца. 4. Получена асимптотика полной энергии на больших временах, закачиваемой в полубесконечную цепочку за счёт синусоидального нагружения на границе. Показано, что при частоте нагружения, лежащей в спектре, изменение полной энергии пропорционально групповой скорости, соответствующей частоте возмущения и линейно растёт как функция времени. При нулевой групповой скорости (в гармоническом приближении) полная энергия растёт пропорционально корню из времени. 5. Исследовано распространение волновых пакетов через интерфейс между двумя различными полубесконечными гармоническими цепочками. Получена зависимость коэффициента прохождения от параметров системы. 6. Показаны условия изменения и монотонности изменения коэффициента прохождения в зависимости от частоты, при которой максимальные частоты двух цепочек равны. Проведено численное моделирование прохождения волновых пакетов через интерфейс между двумя цепочками с различными массами и жёсткостями. 7. Выведены кинетические уравнения, описывающие перенос тепловой энергии в одномерной цепочке с разрывами связей в рамках кинетического подхода. Показано, что перенос тепла в одномерном гармоническом кристалле описывается теми же уравнениями, что и перенос массы в одномерном идеальном газе. 8. Показано, что указанное кинетическое уравнение сводится к уравнению гиперболической теплопроводности. 9. Проведено численное моделирование переноса тепловой энергии в одномерной цепочке с разрывами связей методом динамики частиц. Определена зависимость частоты разрывов связей от температуры системы. 10. Аналитически исследован переход от баллистического режима теплопереноса к диффузионному в одномерной цепочке с разрывами связей в рамках кинетического подхода. 11. Проведено сравнение подходов к описанию переноса тепловой энергии в рамках кинетической теории и метода динамики решетки на примере одномерной цепочки с разрывами связей. Проведено сравнение подходов к описанию переноса тепловой энергии в рамках кинетической теории и метода динамики решетки на примере одномерной цепочки с разрывами связей. 12. Посредством первопринципных расчётов на основе теории функционала плотности построен фононный спектр нового двумерного материала MgCl2, а также рассчитана матрица упругих постоянных этого материала, построены диаграммы зависимости от направления модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона. 13. Решена динамическая задача с коротким лазерным нагревом на полупрозрачный изолированный слой со свободными границами, с учётом селективного поглощения участков акустического спектра. Поведение материала смоделировано с помощью теории расширенной термоупругости. Следуя экспериментальным данным, построена зависимость коэффициента теплового расширения с учётом слабонелинейной поправки. 14. Проведено сравнение решения задачи в рамках расширенной термоупругости с решением в рамках классической термоупругости. 15. Посредством ab initio расчётов на основе теории функционала плотности построен фононный спектр нового двумерного материала Zn2VN3, а также рассчитана матрица упругих постоянных этого материала, построены диаграммы зависимости от направления модуля Юнга, модуля сдвига и коэффициента Пуассона.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. На основе метода энергетической динамики разработан подход к определению коэффициента прохождения волновых пакетов через интерфейс между двумя цепочками на упругом основании. С использованием найденного определяющего уравнения для интеграла по времени от этой «силы», вызывающей изменение потока энергии при прохождении через интерфейс, произведён вывод замыкающих соотношений для уравнения баланса потока энергии в рассматриваемой системе. 2. Произведено сравнение выражения для коэффициента прохождения, полученного методом энергетической динамики с результатами, полученным на основе трёхволнового решения Саймона. Показано, что выражение для коэффициента прохождения, найденного вторым из перечисленных способов, совпадает с решением, полученным методом энергетической динамики. 3. При исследовании влияния упругого основания на зависимость коэффициента прохождения волновых пакетов от частоты показано, что, добавляя локальный потенциал (упругое основание), можно качественно изменить зависимость коэффициента прохождения от частоты. Показано, что в цепочках без упругого основания коэффициент прохождения монотонно уменьшается с увеличением частоты. В цепочках с упругим основанием же зависимость коэффициента прохождения от частоты является либо монотонно убывающей, либо немонотонной, либо даже монотонно возрастающей. Получено выражение для частоты, при которой наблюдается акустическая прозрачность интерфейса. 4. Произведено численное моделирование распространения волновых пакетов через интерфейс двух полубесконечных цепочек Гука на упругом основании. Через найденные локальные энергии волнового пакета до и после отражения, показано, что при прохождении через интерфейс волновой пакет меняет как форму так и скорость. Показано, что результаты численного моделирования совпадают с соответствующими аналитическими выкладками для коэффициента прохождения при различных соотношениях масс и жесткостей сред. 5. Разработан подход к решению задач баллистической термоупругости в одномерных кристаллах. Получены выражения для полей перемещений и деформаций в цепочке Ферми-Паста-Улама-Цингу в континуальном приближении при произвольном мгновенном начальном возмущении. Показано, что при баллистической теплопроводности в цепочке возникают бесконечные деформации на фронте волны. Показано, что точность аналитического решения возрастает с уменьшением начального наклона. 6. Построено численное решение задачи о ступенчатом начальном распределении кинетической температуры в цепочке Ферми-Паста-Улама-Цингу использованием симплектического метода Кэнди и Розмуса четвёртого порядка. Показано, что аналитическое решение термоупругой задачи предсказывет неограниченный рост максимальной деформации, что связано с переходом тепловой энергии в механическую. Показано, что численное и аналитическое решения хорошо совпадают вдали от фронта волны, но на фронте и перед ним заметна существенная разница. 7. Произведён вывод континуального решения для кинетической температуры энергии в полубесконечной цепочке Гука со свободным. Произведена континуализация теплового фундаментального решения на основе асимптотической оценки выражения для скорости частицы при единичном сосредоточенном возмущении. Показано, что любое мгновенное возмущение приводит к антилокализации тепловых волн. 8. Построена асимптотика точного решения для поля скоростей (от которого зависит распределение кинетической тепературы) в квадратной решётке при тепловом мгновенном возмущении с использованием метода стационарной фазы. Показано, что полученное асимптотическое решение описывает дальнее поле скоростей с высокой точностью. 9. Построено решение задачи о распространении тепловой энергии в полубесконечной цепочке Гука со свободным концом при наличии теплообмена с окружающей её средой и внешнего подвода тепловой энергии произвольного характера, а именно, найдено точное решение для кинетической температуры как функция от номера частицы (дискретное решение). Произведена континуализация дискретного решения для кинетической температуры. 10. В рамках кинетического подхода выведены уравнения, описывающие перенос энергии в гармонических скалярных решётках, построены соответствующие аналитические решения. Установлена связь между описанием переноса энергии на основе динамики решётки кинетической теории на примере двумерных скалярных решёток. Проведено сравнение аналитических результатов с результатами численного моделирования. 11. В бесконечной цепочке с взаимодействием с ближайшими соседями рассмотрено распространение локализованного волнового пакета. Показано, что огибающая распространяющегося волнового пакета в нелинейной цепочке описывается с помощью нелинейного уравнения Шрёдингера. С использованием частного решения нелинейного уравнения Шрёдингера, соответствующего «светлому» солитону, получена асимпотическая оценка для скорости энергетического центра локализованного волнового пакета при его «усреднённом» движении.