Аннотация результатов, полученных в 2021 году
На основе отечественных и зарубежных источников по теоретическим и экспериментальным работам изучены типы карбонатных коллекторов, выявлены их основные характеристики и свойства. Собрана информация об основных фильтрационно-емкостных свойствах пласта, которые необходимы при изучении фильтрации жидкости. Были рассмотрены модели двойной пористости различных авторов (Каземи, Поларда, Оде, Уоррена-Рута) и современные программные комплексы для решения задачи фильтрации жидкости в карбонатных коллекторах. В результате анализа сформирована задача о процессе массопереноса двухфазной жидкости в коллекторе трещиновато-порового типа, в основе которой находится модель Уоррена-Рута, где коллектор имеет геометрическое представление, т.е. происходит аппроксимация пласта с помощью параллелепипедов. Низкопроницаемая матрица с высокой пористостью представлена параллелепипедами, а высокопроницаемые трещины с низкой пористостью – расстояниями между параллелепипедами. Обе поровые системы (система трещин и матрица) имеют различные значения фильтрационно-емкостных свойств. Входные данные были взяты с реального месторождения из литературных источников. В проделанной работе представлено математическое описание процессов фильтрации, основанное на уравнениях механики сплошной среды, включающих в себя законы сохранения массы и внутренней энергии системы, дополненные соотношениями фазового равновесия. В качестве функций обмена жидкости между сетью трещин и матрицей использованы классические функции, предложенные в работах Уоррена-Рута. Для скорости фильтрации применялся обобщенный закон Дарси. Гравитационными и капиллярными силами пренебрегали, т.е давление для различных фаз было одинаковым. Изучаемые процессы были рассмотрены в изотермическом приближении. Для задачи принимались следующие начальные и граничные условия: в начальный момент времени в трещинах и матрице - начальное пластовое давление, на левой границе установлено забойное давление, которое создает воронку депрессии, на правой границе - условие непротекания. Полученная система дифференциальных уравнений является квазилинейной и достаточно сложной. Модель включает в себя блоки с системой гиперболических уравнений относительно водонасыщенности на фоне фиксированных скоростей фильтрации, и блоки, содержащие уравнения пьезопроводности для определения давления в коллекторе трещиновато-порового типа. Для решения системы применялся метод конечных разностей. При решении системы возник ряд трудностей, которые связаны с большим количеством неизвестных функций и отсутствием свойства самосопряженности пространственных дифференциальных операторов. Впервые для решения этой проблемы на начальном этапе был применен метод расщепления по физическим процессам. Расщепление проводилось на четыре уравнения, которые включали в себя два уравнения (для матрицы и системы трещин) относительно насыщенности одной из фаз (а именно воды) и два уравнения (для матрицы и системы трещин) пьезопроводности. Это было необходимо в связи с тем, что блок относительно переноса насыщенностей флюидов обладает гиперболическими свойствами, а блок пьезопроводности – параболическими, поэтому расщепление дало возможность реализовать эффективный численный алгоритм для решения системы уравнений для давления и позволило производить расчеты с крупным шагом по времени с меньшим количеством неизвестных параметров. На первом этапе, после применения метода расщепления по физическим процессам получили первый функциональный блок по пьезопроводности. Система уравнений образована путем вынесения насыщенности из-под знака производной по времени. Для численного решения данной системы использовался метод конечных разностей по неявной разностной схеме. Для задачи рассматривалась одномерная постановка. Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия аппроксимировались их сеточными аналогами. Для решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей использовался метод скалярной прогонки. Метод прогонки является эффективным методом решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами, возникающими при конечно-разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и одномерных уравнений в частных производных второго порядка. По сравнению с другими прямыми методами решения разностных задач прогонка более универсальна, так как позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами и не накладывает сильных ограничений на вид граничных условий. Метод прогонки применялся только для решения уравнения пьезопроводности в системе трещин. Решение для давлений в матрице находилось на основе вычисленных значений по давлению в трещинах. Давление в матрице линейно зависит от давления в трещинах. Расчет пьезопроводности проводился при фиксированных значениях насыщенности. После определения давлений, происходил переход к решению второго блока о переносе насыщенностей. Построив решение для блока пьезопроводности, определив давления в трещинах и матрице, проведен переход к расчету второго блока, который отвечал за перенос вещества. Расписаны уравнения для определения насыщенностей. Принято, что насыщенности воды и нефти в сумме дают единицу, поэтому насыщенность по нефти выражались через насыщенность по воде и все расчеты проводились относительно воды. Для численного решения данной системы использовался метод конечных разностей. Рассматривалась неявная разностная схема. Имея значения по давлению, которые рассчитывались в первом блоке, вычислялся сатурационный блок. Итерационный процесс продолжался до тех пор, пока не была достигнута заданная точность по давлению и водонасыщенности. Предложенный подход позволил исключить из алгоритма затратный этап решения системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей итерационному алгоритму с линеаризацией полной исходной системы уравнений, заменив его на более экономичный алгоритм поблочного решения уравнений модели в соответствии с принципом расщепления по физическим процессам. Полученная в результате расщепленная сеточная модель эквивалентна дискретным исходным балансным уравнениям системы (сохранение массовых компонент флюидов и полной энергии системы), записанным в дивергентной форме. Такой подход основан на нелинейной аппроксимации сеточных функций по времени, которая зависит от пористости узловых доменов, занятой флюидами, и является простой в реализации. В результате решения системы получены результаты, которые представлены в виде пространственно-временных изменений давления в коллекторе. Построены зависимости давления в трещине и матрице во времени, где отмечено, что давление в системе трещин просаживается быстрее, чем в матрице, затем, после перераспределения жидкости между трещинами и матрицей, давление в общей системе выравнивается. Также проведены расчеты при различных значениях проницаемостей в системе трещин, которые показали, что чем выше проницаемость, тем давление в пласте просаживается быстрее и подключение матрицы в работу, соответственно, происходит быстрее. Получены зависимости давления от пространственной координаты для различных значений времени на основе которых получено, что чем дольше работает скважина, тем воронка депрессии становится больше. Таким образом, методами математической физики исследовалась система массово-энергетических балансов, описывающая процесс массопереноса двухфазной жидкости в коллекторе трещиновато-порового типа. Для реализации обращения матриц, возникающих при аппроксимации неявных по времени частей алгоритма, использованы параллельные вычисления, основанные на применении алгоритма параллельной прогонки. Алгоритм параллельной прогонки обладает асимптотическим свойством, которое позволяет эффективно использовать его. Теоретическая эффективность параллельного алгоритма прогонки составляет от 33% до 100% в зависимости от вычислительной сложности исходной задачи и количества процессоров. Для реализации распараллеливания использовалась технология MPI.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проведено тестирование математических моделей на примере реального карбонатного месторождения. На основании заданных начальных параметров, характерных для реального месторождения, простроена математическая модель для гидродинамического исследования методом кривой восстановления давления. Расчеты проведены в программном модуле, реализованном на языке Си, с использованием технологии MPI. В результате численного моделирования построены динамики давления исследования на разных расстояниях, зависимости давления от радиуса исследования на разные промежутки времени, динамики давлений при различных значениях проницаемости. Полученные результаты позволили рассчитать оптимальное время остановки скважины, что является значимым при планировании исследований на промысле. В рамках задачи выполнен ряд расчетов для анализа эффективности параллельных вычислений. В программе распараллеливались две основные части общего алгоритма: подсчет коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и ее решение с помощью метода прогонки. Построена зависимость времени решения задачи от количества MPI-процессов. В расчете выбран радиус исследования 100 м и разбиение области на 1000 точек пространственной сетки. Время исследования – 20000 с, рассматривались такие параметры как общее время расчета, время расчета коэффициентов, время решения СЛАУ методом прогонки. Получены графики этих коэффициентов в зависимости от количества процессов, но которых отметили, что время расчета коэффициентов СЛАУ уменьшается, но время ее решения после достижения количества процессов, равного 12, увеличивается. Построены и проанализированы графики эффективности распараллеливания при разбиении радиуса на 1000 и 5000 точек. Получили, что распараллеливание значительно сокращает время расчета коэффициентов СЛАУ. Из графиков ускорения отметили, что для разбиения по радиусу на 1000 и 5000 точек оптимальное количество MPI-процессов соответствует 12 и 14. Увеличение количества MPI-процессов приводит к ухудшению времени расчета, что значительно снижает эффективность. Выявлено, что если сетка будет более подробной, то результаты распараллеливания существенно улучшатся. Например, если в методических целях взять размеры сетки 10000 и 100000, то оптимальное значение ускорения будет достигнуто на 18 и 48 процессах. Таким образом, результаты, полученные с помощью разработанных в проекте математических моделей, соответствуют данным экспериментальных исследований. Построенные модели позволяют делать экспресс-оценку необходимой длительности исследования и анализировать поведение давления в разных случаях. На основе рассмотренной выше задачи построена математическая модель массопереноса двухфазной жидкости в цилиндрических координатах. Математическое описание процессов фильтрации основано на уравнениях механики сплошной среды, включающих в себя законы сохранения массы и соотношения фазового равновесия. Обмен жидкости между трещинами и матрицей описывался классической моделью Уоррена-Рута. В данной модели для оценки параметров системы использовалась геометрическая модель среды, определяющаяся множеством блоков, где матрица будет представлена прямоугольными параллелепипедами. Для скорости фильтрации использовался закон Дарси. Изучаемые процессы рассмотрены в изотермическом приближении. В результате получена система, описывающаяся уравнениями пьезопроводности в цилиндрических координатах. Построенная задача является квазилинейной и достаточно сложной системой уравнений математической физики смешанного типа. Для решения системы использовался метод конечных разностей. Для исключения проблем, которые связаны с большим количеством переменных, и со смешанным гиперболическим и параболическим характером исходной модели, применялся метод расщепления по физическим процессам. Для поставленной задачи рассматривалась постановка в пространственно-одномерном случае. Для численного решения системы уравнений использовался метод конечных разностей. Построена неявная разностная схема по давлению и насыщенности. Такой выбор аппроксимации позволил произвести дискретные преобразования уравнений, которые связаны с их расщеплением по физическим процессам, близкие к континуальным. В результате аппроксимации частных производных получили СЛАУ. Полученная СЛАУ из первого блока решалась с помощью скалярной прогонки, при фиксированных насыщенностях. В результате получили решение уравнения пьезопроводности, описывающее распределение давления по времени и пространству. Построенная разностная схема была реализована в виде программного модуля, написанного на языке Си, с использованием технологии MPI. Для верификации модели расчетные данные сравнивали с промысловыми. Выполненные расчеты показали следующее: во-первых, получена хорошая согласованность численного решения с промысловыми данными, погрешность составила не более 7%, что достаточно для практических задач в данной области. С помощью численных расчетов построены кривые давлений для различных значений проницаемости, что важно в практических приложениях. Во-вторых, использование разработанной параллельной методики вычислений и соответствующей программы подтвердило ее эффективность и возможность ее применения при решении многомерного варианта задачи на основе численных схем пространственного расщепления. Далее задача массопереноса двухфазной жидкости в коллекторе трещиновато-порового типа рассматривалась в неизотермическом приближении. В результате математических выкладок получили систему дифференциальных уравнений второго порядка, которая полностью описывает процессы тепломассопереноса двухфазной жидкости в системе трещин и в матрице, включающую в себя два уравнения для системы трещин, два уравнения для матрицы и общее уравнение энергии. Важным обстоятельством является то, что задача, сформулированная в виде законов сохранения, с общей матрицей системы относительно водонасыщенности, давления и температуры, обладает смешанными гиперболическими и параболическими свойствами. Непосредственное использование такой системы для целей определения динамики выше перечисленных переменных и построения неявной разностной схемы, требуемой для расчетов параболических уравнений с крупными шагами по времени, затруднительно. Соответственно численное решение не является тривиальной задачей. На начальном этапе, учитывая наработки первого года исследования, для рассматриваемой задачи проведено полное расщепление системы по физическим процессам. Применение расщепления позволило реализовать эффективный численный алгоритм, обеспечивающий надежность расчета и приемлемое быстродействие. При решении задачи использовался метод конечных разностей. Построена неявная разностная равномерная сетка по времени и пространству. Задача рассмотрена в одномерной постановке. Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия аппроксимировались их сеточными аналогами. После чего система уравнений линеаризовалась по методу хорд. В результате получили СЛАУ, для решения которой применялся метод матричной прогонки. Полученная СЛАУ решалась на каждом временном слое, при фиксированных насыщенностях. В результате получили решение уравнения, которое описывает динамику давления и температуры по времени и пространству. Для численного решения рассматриваемой системы уравнений двухфазной фильтрации в коллекторе трещиновато-порового типа применялись два метода IMPES (неявное по давлению и явная по насыщенности) и IMPIS (неявное по давлению и неявная по насыщенности). В рамках исследования расчеты для явной и неявной схемы проводились с одинаковым шагом по времени. В результате расчетов полученные решения в явном и неявном методах отличались на 1%. Далее были проведены расчеты по симметричной (явно-неявной) схеме. Результаты симметричной схемы полностью совпали с результатами явной схемы. Для дальнейших расчетов было решено применять симметричную схему. В симметричной схеме запас вычислительной устойчивости по сравнению с явной схемой получается больше.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Рассматривается процесс тепломассопереноса двухфазной жидкости в среде с двойной пористостью, где поровый коллектор (матрица) разбит трещинами. Каждая система описывается собственными фильтрационно-емкостными параметрами, отличие между которыми достигается до нескольких порядков. Направление потока определяет течение жидкости, происходящее по трещинам, а матрица является емкостью скопления. Переток жидкости из матрицы в трещины описывается с помощью введения специальных функций. Течение жидкости находится в пределах справедливости закона Дарси. Правое граничное условие представляется постоянными давлением и температурой на границе, левое - постоянным забойным давлением и температурой. Для начального условия используются пластовые давления и температура в матрице и трещинах в начальный момент времени. Сложность задачи заключается в большом количестве переменных, влияющих на фильтрационные процессы и в нелинейности основных уравнений гидродинамики, тепло- и массопереноса. В результате получается система, где 2 уравнения описывают процессы фильтрации в трещинах, 2 - в матрице и 1 общее уравнение энергии. Задача, с общей матрицей системы относительно водонасыщенности, давления и температуры, является сложной системой уравнений и обладает смешанными гиперболическими и параболическими свойствами. Непосредственное использование такой системы для целей определения динамики выше перечисленных переменных и построения неявной разностной схемы, требуемой для расчетов параболических уравнений с крупными шагами по времени, затруднительно. Соответственно численное решение не является тривиальной задачей. Для решения проблемы для исходных уравнений применяется метод расщепления по физическим процессам, где происходит разделение на пьезопроводную часть и относительно переноса насыщенностей. Рассматривается одномерная постановка. Для решения используется неявная конечно-разностная схема на равномерной сетке. Применялся метод IMPIS (неявный по давлению и по насыщенности), т.к. явная схема предъявляет слишком жесткие требования к шагу интегрирования по времени. Полученные уравнения аппроксимируются их сеточными аналогами, и затем система уравнений линеаризуется. В результате имеем систему линейных алгебраических уравнений, которая решается с помощью метода матричной прогонки. Получаем решение уравнения, описывающую динамику давления и температуры по времени и пространству. Задача очень трудоемка, это проявляется при моделировании процессов в коллекторах большой протяженности, что требует использование сеток с большим числом узлов, в результате чего время расчетов значительно увеличивается. Применяется распараллеливание матричной прогонки, реализованное на языке Cи с использованием стандарта MPI. Все расчеты выполнены на суперкомпьютерах К10, К60, К100 в ЦКП ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Для проверки качества распараллеливания при изменении числа процессов проводился ряд вычислений для небольшого количества расчетных временных шагов. В результате на сетке с количеством пространственных шагов 1000 и временных шагов 70000 в последовательном режиме время расчета составляет 25 секунд, в параллельном режиме на 16 процессах – 2.8 секунд, при этом эффективность распараллеливания составляет 0.558. Это означает, что накладные расходы в параллельном варианте составляют немного меньше половины расчетного времени. Однако это компенсируется ускорением в ~9 раз. По результатам расчета построены графики ускорения и эффективности распараллеливания при разбиении радиуса исследования на 1000 и 5000 точек, получено, что 14 и 16 процессов являются оптимальными количествами параллельных процессов для 1000 и 5000 расчетных точек, т.к. далее ускорение уменьшается. Также, с увеличением расчетных точек необходимо увеличивать и количество параллельных процессов. В конкретных расчетах проявляется эффект ограниченного максимального ускорения. Следствием данного факта будет то, что существует такое количество узлов, которое является оптимальным для конкретной вычислительной сетки для фиксированного количества узлов сетки. Для сети коллекторов эффективность распараллеливания будет зависеть от общего числа разветвлений и минимальной длины ребер графа сети. Первый параметр будет определять необходимое число параллельных процессов. Второй – влиять на итоговую эффективность. Чем длиннее или шире будут коллекторы, тем больше точек расчетной сетки, и тем заметнее будет итоговый эффект от параллелизма. На основе разработанного программного модуля был проведен ряд расчетов для промысловых данных. Рассматривалась задача, где необходимо исследовать поведение давления и температуры вокруг работающей скважины при различных значениях проницаемости. При расчете для пласта, скважины и трещин заданы собственные начальные параметры, характерные для рассматриваемого объекта. Построена динамика кривых давления около скважины для трех абсолютных проницаемостей. При заданных условиях при большей проницаемости давление падает быстрее. Поэтому, для пластов с высокой проницаемостью необходимо подбирать характеристики работы скважины такие, чтобы за небольшой период работы давление просаживалось медленнее, иначе это приведет к быстрому истощению пласта. Рассмотрены зависимости давления от радиуса в конечный момент времени. По данным расчетам определяется область распределения давления для различных значений времени. Отмечаем, что при высоких проницаемостях распределение давления имеет больший радиус вокруг скважины, что говорит о большей зоне дренирования. Также представлены зависимости температуры от времени и расстояния. Отметим, что скорость распространения температуры в сравнении с давлением незначительна, однако перепад наблюдается. Радиус изменения фронта температуры будет происходить медленнее, чем при давлении. Для данной задачи представлены результаты анализа параллельного алгоритма матричной прогонки. Рассчитаны величины ускорения и эффективности, показавшие, что алгоритм ускоряет время расчета, например, для 4 параллельных процессов ускорение – 3.328, а эффективность – 0.832, а для 8: ускорение – 8.929, эффективность – 0.558. Данный результат подтверждает обоснованность использования многопроцессорных вычислений для поставленной задачи. Входные параметры взяты и варьировались на основе промысловых исследований на скважинах различных карбонатных месторождений. Расчетные данные сравнивались с промысловыми, погрешность не более 5%. Расчеты позволят проводить мониторинг работы и регулировать работу скважин с целью повышения добычи, также делать экспресс-оценку необходимой длительности гидродинамического исследования на скважине. В ходе проекта рассмотрены математические модели двухфазной фильтрации жидкости в рамках модели двойной пористости для карбонатного коллектора на случаи как с учетом изотермичности, так и с учетом неизотермичности. Для задач проведено полное расщепление системы по физическим процессам, которое позволило реализовать эффективные численные алгоритмы, обеспечивающие надежность расчета и приемлемое быстродействие. При решении задач использовался метод конечных разностей. Построены неявные разностные сетки по времени и пространству. Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия аппроксимировались их сеточными аналогами. После чего системы уравнений линеаризовались и решались методами скалярной и матричной прогонки. На разработанных программных модулях проведена серия вычислительных расчетов, которых подтвердили эффективность разработанных численных алгоритмов и их параллельной реализации. Посчитаны коэффициенты ускорения и эффективности для разного количества процессов. Определено оптимальное количество MPI-процессов. Результатом являются динамики распределения насыщенности, давления и температуры в коллекторе трещиновато-порового типа около работающей добывающей скважины и на различных расстояниях от нее. Для добывающей скважины проведено моделирование исследования, которое позволило рассчитать оптимальное время остановки скважины.