Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Рассмотрен вопрос о локальной (в окрестности состояния равновесия) динамике цепочек связанных в кольцо уравнений Ван-дер-Поля и цепочек систем уравнений Ван-дер-Поля. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости и показано, что они имеют бесконечную размерность. В каждом из этих случаев построены специальные нелинейные уравнения, которые играют роль нормальных форм. Показано, что рассмотренные критические случаи в задаче об устойчивости распределенной цепочки логистических уравнений с запаздыванием имеют бесконечную размерность. Это приводит к тому, что описание их локальной динамики сводится к исследованию нелокального поведения решений краевых задач типа Гинзбурга–Ландау. Показано, что в ряде случаев решения содержат быстро и медленно осциллирующие по пространственной переменной составляющие. Динамические свойства исходной системы определяются квазинормальной формой, куда входит параметр. При различных значениях этого параметра динамика исходной краевой задачи может меняться. Отсюда следует, что может происходить бесконечный процесс прямых и обратных бифуркаций. Показано, что квазинормальные формы, определяющие динамику исходной краевой задачи, являются уравнениями Гинзбурга–Ландау. В частности, установлено, что свойства простейших решений этих уравнений и их устойчивости во многом определяются мнимыми составляющими коэффициентов диффузии и ляпуновской величины. Численный анализ соответствующего критерия позволил сформулировать вывод о неустойчивости простейших решений. Таким образом, в рассмотренных цепочках синхронизация решений является достаточно редким явлением. Кроме этого, выявлены порядки (по параметру) коэффициентов диффузии в исходной краевой задаче, которые делают сопоставимым вклад диффузионного слагаемого со слагаемым, обеспечивающим связь элементов цепочки. Рассмотрены вопросы локальной динамики пространственно-распределенных в двумерной области цепочек связанных систем в критических случаях. Эти критические случаи имеют бесконечную размерность. Следствием этого обстоятельства является тот факт, что построенные квазинормальные формы являются уравнением в частных производных. Они содержат четыре пространственных переменных с краевыми условиями по каждой из них. Их нелокальная динамика позволяет определить асимптотику главных членов решений исходной задачи. Полученные результаты представлены в работах Кащенко С.А., "Динамика пространственно-распределенных в двумерной области цепочек связанных систем уравнений", Матем. заметки, 110:5 (2021); Math. Notes, 110:5 (2021). https://doi.org/10.4213/mzm13031 Kashchenko S.A., Tolbey A.O., "New Irregular Solutions in the Spatially Distributed Fermi–Pasta–Ulam Problem" // Mathematics. 2021. Vol. 9, no. 22. P. 2872. https://doi.org/10.3390/math9222872 Предложено и обосновано новое определение бесконечномерного тора, основное преимущество которого состоит в том, что в его рамках тор является аналитическим банаховым многообразием с финслеровой метрикой. Это позволяет для произвольного диффеоморфизма определить обычным образом понятие гиперболичности. Введен новый класс диффеоморфизмов тора и для отображений из этого класса разработан критерий гиперболичности, который является новым не только в бесконечномерном, но и в конечномерном случае. Опубликована статья Глызин С.Д., Колесов А.Ю. "О некоторых модификациях отображения «кот Арнольда»" // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2021. Т. 500. № 5. С. 26–30. https://doi.org/10.31857/S2686954321050064 Одним из направлений проекта является исследование явления сверхпередачи в физических системах, моделируемых одномерными и двумерными гамильтонианами, состоящими из большого числа частиц с локальными потенциалами и глобальными (дальнодействующими) взаимодействиями. Мы показали, что: (а) Для различных решетчатых моделей с аналитическими потенциалами взаимодействия частиц сверхпередача появляется при все более высоких критических амплитудах периодического воздействия, поскольку диапазон взаимодействия становится все длиннее и длиннее (т.е. alfa → 0). В отсутствие локализованных потенциалов на узле решетки это продолжается вплоть до максимально возможного диапазона взаимодействий alfa=0. (b) Когда локализованные потенциалы присутствуют в каждом узле, мы обнаружили, что этот монотонный рост критических амплитуд меняется на противоположный при 0<alfa<2, где критические амплитуды монотонно уменьшаются до нуля. Следуя этим результатам, мы вместе с несколькими коллегами (математиками, физиками и инженерами) начали изучать перенос энергии в одномерных гамильтоновых решетках с неаналитическими потенциалами, а также гистерезисное (а не вязкое) затухание. В частности, что касается неаналитических потенциалов, мы исследовали отдельно графен, а также системы осцилляторов Холломона и обнаружили существенные отличия от того, что можно найти с аналитическими потенциалами. Наши исследования простирались от стабильности фундаментальных периодических решений и открытия эффектов сверхпередачи до распространения волновых пакетов, когда возбуждается средний участок решетки, а «волна» энергии движется к правому и левому концам. Наши модели очень важны в инженерии и были исследованы как для локального, так и для нелокального гистерезисного затухания. Мы обнаружили, что многие явления, в том числе сверхпередача и «бризер» (локализованные колебания), в наших гистерезисных моделях происходят при периодическом воздействии (в первом случае) и импульсном движении (во втором), как и в случаях с вязким затуханием. Однако в случае «бризерного» прохождения по решетке, которое наблюдали другие авторы для моделей с вязким движением, мы обнаружили, что наши модели с нелокальным гистерезисным затуханием близки к точному описанию инженерных экспериментов. Опубликована статья T. Bountis, K. Kaloudis, J. Shena, Ch. Skokos, and Chr. Spitas, "Energy Transport in 1-Dimensional Oscillator Arrays With Hysteretic Damping", European Physical Journal. Special Topics (2022). https://arxiv.org/abs/2111.10816 Мы также изучали интегрируемые и неинтегрируемые возмущения гамильтоновых уравнений Лотки-Вольтерра (ГЛВ) конкурирующих видов. Мы расширили результаты, полученные в более ранней работе о системах ГЛВ без линейных членов, путем обобщения на систему, которая включает произвольный набор линейных членов, сохраняющих гамильтонов интеграл. Это позволило открыть широкий класс систем ГЛВ, которые интегрируемы в том смысле, что они обладают свойством Пенлеве. Затем мы сосредоточились на случае n=3, изменили некоторые параметры и включили дополнительные нелинейности, которые сделали систему неинтегрируемой. Отметим, что полученные результаты дают простую динамику, далекую от типа сложности, который можно ожидать от неинтегрируемых трехмерных нелинейных систем. Опубликована работа T. Bountis, Z. Zhunussova, K. Dosmagulova, G. Kanellopoulos. "Integrable and non-integrable Lotka-Volterra systems", Physics Letters A (2021). https://doi.org/10.1016/j.physleta.2021.127360 Рассмотрена задача о существовании инвариантов оператора Купмана, в частности, получены достаточные условия существования полного инволютивного набора «первых интегралов». Точнее, был рассмотрен оператор Купмана, порожденный обратимым преобразованием пространства с конечной счетно-аддитивной мерой. Если квадрат этого преобразования эргодичен, то ортогональный оператор Купмана будет симплектическим преобразованием на вещественном гильбертовом пространстве квадратично суммируемых функций с нулевым средним. Указан бесконечный набор квадратичных инвариантов оператора Купмана, которые находятся попарно в инволюции относительно соответствующей симплектической структуры. Для преобразований с дискретным спектром эти квадратичные инварианты функционально независимы и образуют полный инволютивный набор. Опубликована статья Козлов В.В. "СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОПЕРАТОРА КУПМАНА", Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления (2021). https://doi.org/10.31857/S268695432104010X Рассмотрена задача о существовании квадратичных по импульсам интегралов систем с циркуляционными силами. Приведены условия, при которых система с непотенциальными силами может быть представлена в гамильтоновом виде с некоторой симплектической структурой, где роль гамильтониана играет квадратичный интеграл, или в конформно гамильтоновом виде. Существование квадратичного по импульсам интеграла позволяет получить выводы об устойчивости равновесий циркуляционных систем. Опубликована работа Kozlov V.V. "Integrals of Circulatory Systems Which are Quadratic in Momenta", Regular and Chaotic Dynamics (2021). https://doi.org/10.1134/S1560354721060046 Проведен анализ уравнений динамики и изучение интегрируемости по Лиувиллю уравнений движения вихревых структур в бозе-эйнштейновском конденсате, помещенном в аксиально симметричное поле. Получены уравнения движения для нескольких вихревых нитей в бозе-эйнштейновском конденсате. Уравнения движения представлены в гамильтоновой форме. Получена симплектическая структура и фазовое пространство данной системы. Указан дополнительный первый интеграл, показана, что указанная система вполне интегрируема по Лиувиллю. Результаты исследований могут быть использованы как самостоятельные результаты для применения в задачах вихревой динамики в бозе-эйнштейновском конденсате, при анализе динамики вихревых структур в классической идеальной жидкости, в задачах динамики магнитных вихрей в сверхпроводниках пониженной размерности и др. Подготовлена статья для публикации в журнале «Russian Journal of Mathematical Physics». Для нелинейной системы уравнений мелкой воды в бассейне с пологими берегами построено асимптотическое решение задачи Коши с начальными данными малой амплитуды, учитывающее зависимость области определения решения от самого решения и позволяющее в первом приближении вычислять амплитуду волны на берегу и величину заплеска по решению линеаризованной системы. Конструкция асимптотического решения опирается на замену переменных (типа упрощенного преобразования Кэрриера–Гринспена), зависящую от самого неизвестного решения и преобразующую область, в которой последнее определено, в независящую от решения невозмущенную область, и приводит к доказательству существования и единственности асимптотического решения. Последовательные члены асимптотического разложения суть решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений мелкой воды – гиперболической системы с вырождением на границе области и с правыми частями, зависящими от предыдущих членов разложения. Методом униформизации показано, что эта система при гладких начальных данных и правых частях имеет единственное решение. По результатам подготовлена статья «Об асимптотических решениях задачи Коши для нелинейной системы уравнений мелкой воды в бассейне с пологими берегами», принятая к печати в журнале “Russian Journal of Mathematical Physics”. В октябре 2021 года в г. Ярославле проведена школа-конференция для молодых ученых с приглашением в качестве лекторов ведущих ученых по тематике проекта. В школе приняли участие более 100 ученых, аспирантов и студентов из России, Великобритании, Греции, Кипра и других стран. Основными темами лекций были теория интегрируемых систем и нелинейная динамика. Лекции на школе подготовили молодых ученых, аспирантов и студентов для участия в международной научной конференции по интегрируемым системам и нелинейной динамике (ISND 2021), которая проводилась одновременно со школой. Кроме того, некоторые молодые участники школы (в том числе студенты и аспиранты) имели возможность представить свои научные результаты на конференции. Информация о школе и конференции доступна на сайте https://lomonosov-msu.ru/eng/event/6844/

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Исследованы бифуркационные динамические эффекты широкого класса цепочек при условии, когда количество элементов цепочки достаточно велико. Показано, что критические случаи в задачах об устойчивости имеют бесконечную размерность. Построены так называемые квазинормальные формы (КНФ) для полносвязных систем, для систем с одно и двунаправленными связями и со связями диффузионного типа. Эти КНФ определяют в главном динамические свойства и асимптотику решений исходных систем. В 2022 году мы расширили наши предыдущие результаты о сверхпередаче и проверили, что в исследованных нами одномерных гамильтоновых решетках при постепенном удалении локализованных потенциальных членов пороги возникновения сверхпередачи значительно возрастают. Также мы изучили ряд классов нелинейных возмущений интегрируемых систем Лотки-Вольтерра и определили, что необходимо ввести значительные нелинейные члены, прежде чем произойдут важные явления бифуркации. В настоящее время мы изучаем конкретные примеры, чтобы точно определить, какие типы новых нелинейностей необходимы для создания моделей, которые могут описывать реалистичное поведение, ожидаемое в сложных биологических явлениях. Мы продолжили заниматься построением решений и изучением их свойств для уравнения тетраэдров Замолодчикова, имеющего фундаментальные приложения во многих областях физики и математики, включая статистическую механику, квантовые теории поля, алгебраическую топологию и теорию интегрируемых систем. Мы построили для этого уравнения новые решения, связанные с задачами матричной рефакторизации и ассоциативными кольцами, и показали, что некоторые из построенных решений являются отображениями интегрируемыми по Лиувиллю. Исследована задача о точной интегрируемости уравнений движения циркуляционных систем с двумя степенями свободы. Открыты топологические препятствия к интегрируемости: род конфигурационного пространства больше 1, то в аналитическом случае уравнения движения вообще не допускают никаких однозначных первых интегралов, полиномиальных по скоростям. Аналогичный результат справедлив и для систем на двумерном торе при определенном дополнительном условии на конформный множитель римановой метрики на торе, задаваемой кинетической энергией системы. Доказана новая общая теорема о неустойчивости состояний равновесия динамических систем с интегральным инвариантом. Налагаемые на функцию Ляпунова условия существенно слабее, чем в классических теоремах Ляпунова, Четаева и Красовского. Построены асимптотические периодические по времени решения нелинейных уравнений мелкой воды в ограниченном бассейне, связанные с интегрируемыми бильярдами с полужесткими стенками и описывающие береговые волны. Для кольца связанных оптико-электронных осцилляторов показано, что существует однопараметрическое семейство решений вида непрерывных волн. Найдена асимптотика решений и достаточные условия устойчивости и неустойчивости этих решений. Показано, что при стремлении малого параметра к нулю в изучаемой системе количество сосуществующих устойчивых решений рассматриваемого вида неограниченно возрастает, т.е. наблюдается феномен гипермультистабильности. Исследована глобальная динамика маятника Циглера — плоского двузвенного маятника в поле следящей силы, которая всегда направлена вдоль одного из звеньев маятника. В классическом маятнике Циглера предполагается, что в обеих узлах маятника находятся пружины линейной жесткости. Мы предполагали, что пружина в точке подвеса маятника отсутствует. Это позволяет произвести редукцию системы и перейти к исследованию системы в трехмерном фазовом пространстве. Показано, что некоторая открытая область этого фазового пространства расслаивается на периодические решения, т. е., в частности, система является интегрируемой по классической теореме об интегрируемости ОДУ, поскольку обладает двумя независимыми первыми интегралами. При этом, по-видимому, система не является интегрируемой всюду, как показывают результаты численного анализа. Рассмотрена система из трех связанных в кольцо генераторов с несимметричной нелинейностью. Асимптотическими методами изучена задача о колебательных режимах, ветвящихся от состояний равновесия. В работе проведен численный эксперимент, который позволяет установить границы несимметричности, при которых система генерирует периодические и хаотические колебания. Исследована зависимость динамики системы от степени несимметричности кубической нелинейности, описывающей характеристику нелинейного элемента. Была разработана математическая модель, подробно описывающая нелинейно-динамические, автоколебательные свойства контуров вегетативной регуляции ритма сердца, среднего артериального давления, хеморецепторной регуляции частоты и глубины дыхания, учитывающая двунаправленное взаимодействие между системами кровообращения и дыхания. Предложенная математическая модель позволила поставить численный эксперимент, направленный на исследование причины нерегулярности ритма сердца. Выявлено, что оценки ряда важных физиологических показателей, включая ритм сердца, систолическое артериальное давление, диастолическое артериальное давление, глубину дыхания, минутный объема вдыхаемого воздуха, LF-индекс и HF-индекс, демонстрируют значимые изменения после блокады регуляции частоты и глубины дыхания. Результаты свидетельствуют о том, что переход динамики дыхательной системы от нерегулярной к периодической не оказывает значимого влияния на значения старшего показателя Ляпунова и корреляционной размерности, оцененные по сигналам RR-интервалов. В 2022 году в рамках проекта было продолжено исследование фазовой топологии вполне интегрируемых по Лиувиллю задач вихревой динамики и динамики твердого тела в идеальной жидкости в присутствии вихревых нитей. В частности, исследована задача о движении цилиндрического твердого тела и двух вихревых нитей, параллельных образующей цилиндра. Предложен метод получения асимптотических представлений для решений дискретных систем, содержащих колебательно убывающие коэффициенты. Метод проиллюстрирован на примере задачи построения асимптотических формул для решений одного скалярного разностного уравнения высшего порядка. Предложен метод построения асимптотических формул для решений некоторого класса дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Указанный метод использован для асимптотического интегрирования некоторых систем дифференциальных уравнений с распределенными параметрами. В частности, получены асимптотики для решений одного возмущенного уравнения теплопроводности. В период с 27.06.2022 по 01.07.2022 года проведена Научная школа «Нелинейные дни» проведена ФГБОУ ВО «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова» на базе партнерской организации - Компании информационных технологий «Тензор». В научной школе приняли участие больше 100 студентов и ученых из России, а также из более чем 10 стран, включая Великобританию, Италию, Грецию, США, ЮАР, Израиль, Казахстан, Бенин, Республику Корея и Словакию. Участники проекта РНФ 21-71-30011 выступили с интересными докладами, которые охватывают широкий круг тем по тематике проекта РНФ 21-71-30011, включая прикладные проблемы, такие как исследование устойчивости подвесных пешеходных мостов, а также более абстрактные проблемы, такие как применение алгебро-геометрических конструкций в решении уравнения тетраэдров Замолодчикова. Кроме того, некоторые молодые участники школы (в том числе студенты и аспиранты) имели возможность представить свои научные результаты на конференции. Информация о школе доступна на сайте https://lomonosov-msu.ru/eng/event/6251/

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Разработана и исследована, основанная на уравнении с запаздыванием модель нейрона, генерирующего кратковременные, высоко амплитудные импульсы. Показано, что при определенных и весьма естественных предположениях конкретный вид входящих в уравнение функций и не существенен. Предложена модель взаимодействия нейронов (нейронной сети). Разработаны математические методы исследования систем уравнений для нейронной популяции. Доказано, что адаптация силы взаимодействия нейронов в модели формирует популяцию, генерирующую заданную периодическую последовательность импульсов (возможность записи информации). Построена модель синхронизации нейронных структур, что позволяет устанавливать идентичность импульсных последовательностей. Мы предложили интегро-дифференциальную модель с запаздывающим аргументом для описания динамики кольца связанных лазеров, если число элементов достаточно велико. Такая распределенная модель позволяет анализировать критические условия, при которых стационарное состояние становится неустойчивым. Для широкого класса диффеоморфизмов на бесконечномерном торе обоснованы следующие утверждения: теорема о топологической сопряженности гиперболического диффеоморфизма с линейным гиперболическим автоморфизмом; теорема о топологическом перемешивании; теорема о структурной устойчивости. Для введенного авторами бесконечномерного тора исследован классический в теории динамических систем вопрос о минимальности отображения сдвига на нем. Решена проблема отыскания достаточных условий, гарантирующих отсутствие свойства минимальности. Установлены несколько новых результатов, некоторые из которых не имеют аналогов в конечномерном случае. Изучалась классическая гипотеза о неустойчивости изолированного положения равновесия механической системы в бездивергентном силовом поле. Результаты о неустойчивости получены для типичных случаев и для случаев типичных вырождений в предположении, что правая часть уравнений достаточно гладкая. Более того, для рассмотренных вырожденных случаев было показано, что существует траектория, выходящая из положения равновесия. Был предложен тополого-аналитический метод доказательства некоторых утверждений из классического метода усреднения Н.Н. Боголюбова на бесконечном интервале времени. Суть Предлагаемый подход позволяет отказаться от условия невырожденности матрицы Якоби из классических теорем метода усреднения. Получены асимптотические решения системы нелинейных уравнений мелкой воды в бассейне с пологими берегами, описывающие береговые волны и связанные c так называемыми бильярдами с «полужесткими» стенками. Развит вариационный способ решения задачи об отражении лучевых характеристик длинных океанических волн от береговой линии с заданными положениями источника и точки регистрации волны. Показано, что исходная краевая задача может быть сведена к расчету стационарных точек функционала времени распространения волны вдоль луча. Особенностью предложенного подхода является оптимизация точки отражения луча вдоль заданной береговой линии. Проведен расчет для нескольких модельных ситуаций и получено хорошее совпадение с траекториями в случае точно решаемых моделей. Разработан новый подход осреднения линеаризованных уравнений мелкой воды в задаче о распространении волн над быстроменяющимися участками дна. Выведены эффективные формулы, определяющие осредненные уравнения. Отличие от стандартных подходов состоит в том, что подход применяется для «не очень длинных» волн, что приводит появлению дисперсионных эффектов и эффектов изотропии при распространении. Составлен алгоритм, основанный на комбинации указанных выше подходов (вариационного и осреднения), расчета траекторий и фронтов над осциллирующими наклонными участками дна около береговой линии. Алгоритм проверен на нескольких примерах. На эвристическом уровне выведена асимптотическая формула для экспоненциально малого расщепления слабо возбужденных нижних энергетических уровней многомерного оператора Шредингера с симметричным потенциалом типа симметричной двойной ямы. Ферромагнитные диссипативные системы, описывающиеся изотропным уравнением Ландау–Лифшица–Гильберта, изучены с точки зрения их пространственно локализованных динамических возбуждений. В частности, построены диссипативные солитонные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера, в которое преобразуется уравнение Ландау–Лифшица–Гильберта. Для доказательства существования этих решений при достаточно малом рассеянии использовалась теория Мельникова. Для проверки достоверности полученных аналитических результатов применялись псевдоспектральные численные методы и физически-информированные нейронные сети в схеме машинного обучения. Такие локализованные структуры были обнаружены экспериментально в магнитных системах и наблюдались в наноосцилляторах, а магнитные капли, описывающиеся диссипативными солитонами, были исследованы теоретически и наблюдались в эксперименте. Мы расширили более ранние результаты, используя 4-мерное расширение 2D-карты Макмиллана, и показали, что симплектическая модель двух связанных отображений Макмиллана также демонстрирует явления липкости в ограниченных областях фазового пространства. Также мы исследовали класс одномерных (1D) гамильтоновых решеток из N частиц, бинарные взаимодействия которых являются квадратичными и/или четвертой степени по потенциалу. Применяя синусоидальное возмущение на одном конце решетки и поглощающую границу на другом, мы исследовали явление сверхпередачи и его зависимость от двух диапазонов взаимодействий при изменении влияния локальных потенциальных членов гамильтониана. Разработаны методы построения отображений 3-симплексов и 4-симплексов с использованием задач матричной рефакторизации типа локальных уравнений Янга-Бакстера и Замолодчикова. Используя разработанные методы, мы построили новые отображения 3-симплексов и 4-симплексов, в том числе бирациональные неинволютивные отображения на группах и телах (ассоциативных кольцах с делением). Матричные дифференциально-разностные пары Лакса играют одну из ключевых ролей в теории нелинейных интегрируемых дифференциально-разностных уравнений. Мы получили достаточные условия того, что данную матричную дифференциально-разностную пару Лакса можно упростить с помощью калибровочных преобразований, и разработали процедуру такого упрощения. Мы продемонстрировали, как наша процедура работает для упрощения пар Лакса скалярных дифференциально-разностных уравнений, включая уравнения типа Нариты-Ито-Богоявленского. Также мы показали, что из некоторых пар Лакса, упрощенных нашим методом, можно получать новые нелинейные интегрируемые уравнения. Подобраны диапазоны значений для параметров модели движения транспортных потоков. Усовершенствован программный комплекс – добавлены новые сценарии моделирования транспортных ситуации. Для разработанного прототипа водного робота, приводимого в движение двумя внутренними подвижными массами, предложена теоретическая модель движения в жидкости. Уравнения движения записаны в форме уравнений Кирхгофа для описания движения твердого тела в идеальной жидкости, которые дополнены слагаемыми вязкого сопротивления. Также к уравнениям добавлены гидродинамические силы и момент сил, которые действуют на хвостовой плавник, устанавливаемый на корпус робота. Управление данным роботом осуществляется за счет изменения угловых скоростей подвижных масс. Теоретическая модель показала, что при вращении двух масс с постоянной скоростью, но в разных направлениях, робот движется вдоль прямой, а при вращении в одном направлении – робот поворачивает. Таким образом можно осуществить движение по любым траекториям. Для предельной системы уравнений Мэки-Гласса найдены достаточные условия на параметры, при которых существует решение системы в форме дискретной бегущей волны. Показано, что существует большой класс систем, удовлетворяющих данным условиям.