Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Задача 1. Получено достаточное условие синхронизации для сети из систем дифузионно-связанных Хиндмарш-Роуз со связным неориентированным графом. Условие говорит о том, что для синхронизации сети второе из минимальных собственных чисел матрицы Лапласа (алгебраическая связность графа) должно быть больше некоторой величины, зависящей от параметров индивидуальной системы. Данное условие зависит как и от параметров индивидуальной системы, так и от графа связей, одной из важнейших характеристик которого является алгебраическая связность. Полученное условие является аналитическим и гарантирует синхронизацию при любых начальных условиях, т.е. могут рассматриваться любые возмущения в начальных данных. Продемонстрирована методика использования метода функций Ляпунова для исследования синхронизации в сетях из нелинейных систем. Система Хиндмарш-Роуз является нелинейной системой третьего порядка, поэтому ее динамика не является тривиальной. В систему входят как кубическая нелинейность, так и квадратные, что вызывает трудности при использования метода функций Ляпунова. Было показано, как эти трудности можно преодолеть с помощью составления неравенств для квадратичных форм и оценки положительной (отрицательной) определенности матриц, им соответствующих. Данный подход для анализа синхронизации можно применять и к сетям из других нелинейных систем, содержащих квадратные и кубические члены. Построены графики решения сети из систем Хиндмарш-Роуз со связным неориентированным графом. При параметрах сети, удовлетворяющих полученному аналитическому условию, в сети имеет место синхронизация между всеми компонентами вектора состояний каждого узла. В случае графа связей с малой алгебраической связностью синхронизация в сети из систем Хиндмарш-Роуз отсутствует, что видно из полученных графиков. Построен график решения системы Хиндмарш-Роуз с белым шумом и синусоидальным входом с запаздыванием. Показано, что при определенных значениях параметров такая модель может генерировать динамику, похожую на всплески и затухания гамма ритма головного мозга. Даны рекомендации по построению алгоритмов управления для обеспечения синхронизации в сети в случае ее изначального отсутствия с помощью полученного достаточного условия синхронизации. По результатам данного исследования была опубликована статья [Plotnikov S.A. Synchronization conditions in networks of Hindmarsh-Rose systems // Cybernetics and Physics, 2021, 10(4), p. 254–259. https://doi.org/10.35470/2226-4116-2021-10-4-254-259]. Задача 2. Получено достаточное условие синхронизации для сети из линейных систем с неоднородными нелинейными диффузионными связями с различными изменяющимися во времени запаздываниями и связным неориентированным графом. Полученное условие было применено для исследования синхронизации в сети из нейромассовых популяций (neural mass model). Рассмотрены идентичные популяции с различными нелинейными функциями, описываемые сигмоидами с различными параметрами, определяющими форму сигмоиды, и различными переменными запаздываниями в связях. Показано, что при выполнении двух неравенств, зависящих от параметров системы, нелинейности, максимальной величины запаздывания и максимального собственного числа матрицы Лапласа, в данной сети будет иметь место синхронизация. В данном случае несвязанные системы являются устойчивыми и сходятся к одному и тому же положению равновесия, т.е. синхронизация имеет место. Наличие связей и запаздываний при передаче сигнала между узлами приводит при определенных значениях к возникновению колебаний в сети, а также утрате синхронизации. Построены графики решения сети из нейромассовых популяций с диффузионными неоднородными нелинейными связями с различными переменными запаздываниями. Запаздывания выбирались произвольными и задавались синусоидальной функцией с произвольной частотой, амплитудой и сдвигом, но все они были больше нуля и ограничены сверху. Показано, что при выполнении полученных аналитических условий в сети имеет место синхронизация между всеми компонентами векторов состояний каждого узла. При рассмотрении достаточно большого значения запаздывания при передаче сигнала между узлами в сети возникали колебания, и синхронизация терялась. Даны рекомендации по построению алгоритмов управления для обеспечения синхронизации в сети в случае ее изначального отсутствия с помощью полученных достаточных условий синхронизации. По результатам данного исследования была подготовлена статья Plotnikov S.A. Synchronization in Networks with Nonlinearly Delayed Couplings on Example of Neural Mass Model, которая была подана на конференцию Joint IFAC Conference: SSSC – TDS – LPVS, Montreal, Canada, 2022, которая будет проходить с 27 по 30 сентября 2022 г. (см. https://arxiv.org/abs/2205.04531).

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Предложено новое определение координатной десинхронизации. Предложенное определение позволяет исключить случаи асимптотической и epsilon-синхронизации, но также не лишено недостатков. В частности, ему удовлетворяет случай противофазной синхронизации. Плюсом данного определения является возможность использования подхода координатного преобразования к системе "средняя динамика - ошибки синхронизации" и дальнейшего использования теорем, предложенных В.А. Якубовичем для анализа системы из ошибок синхронизации. Получено условие, устанавливающее колебательный режим для двух связанных возбудимых идентичных систем ФитцХью-Нагумо. Данное условие показывает, что при достаточно большой силе связи, зависящей от параметров единичной системы, две изначально устойчивые системы ФитцХью-Нагумо начинают генерировать колебания. При этом данные колебания не являются синхронизированными. Построены графики решения двух связанных возбудимых систем ФитцХью-Нагумо. Моделирование подтвердило полученные аналитические результаты: при выполненном условии теоремы решения двух связанных систем ФитцХью-Нагумо являются колебательными. Полученный аналитический результат был обобщен на случай произвольной сети из связанных систем ФитцХью-Нагумо со связным неориентированным графом. Количество колебательных подсистем из ошибок синхронизации зависит от спектра матрицы Лапласа: в зависимости от того, сколько собственных чисел матрицы Лапласа удовлетворяют полученному условию колебательности, будет разное число колебательных компонент вектора из ошибок синхронизации, а значит и число десинхронизированных пар в сети. Если все собственные числа матрицы Лапласа, кроме первого, будут удовлетворять условию колебательности, то сеть из систем ФитцХью-Нагумо будет полностью десинхронизирована. Построены графики решения 100 связанных возбудимых систем ФитцХью-Нагумо. В первом случае граф связей был выбран таким образом, что только 2 собственных числа его матрицы Лапласа удовлетворяли условию колебательности. Моделирование показало, что в этом случае только 2 системы в сети являются колебательными, остальные же являются устойчивыми, то есть в них колебания отсутствуют. Во втором случае граф связей был выбран таким образом, что все собственные числа его матрицы Лапласа, кроме 0, удовлетворяли условию колебательности. В данном случае все системы в сети оказались колебательными, при этом имела место десинхронизация. Показана взаимосвязь между понятиями колебательности по Якубовичу и десинхронизацией в сетях из возбудимых систем. Предложенное в работе определение десинхронизации и подход, основанный на преобразовании системы к новым координатам "средняя динамика - ошибки синхронизации" с дальнейшим использованием теорем, предложенных В.А. Якубовичем, для поиска условий колебательности может быть применен и к сетям из других нелинейных возбудимых систем с диффузионными связями, например, систем Хиндмарш-Роуз. По результатам данного исследования будет опубликована статья [Плотников С.А. Десинхронизация и колебательность в возбудимых сетях ФитцХью-Нагумо // Мехатроника, автоматизация, управление, 2023. Том 24, № 6, С. 292-299. https://doi.org/10.17587/mau.24.292-299]