КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 22-11-00014
НазваниеЛокализации, пополнения и пределы
РуководительМихайлов Роман Валерьевич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г Санкт-Петербург
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2022 г. - 2024 г. |
Конкурс№68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-102 - Алгебра
Ключевые словаHR-локализация групп, пронильпотентное пополнение групп, fr-коды, производные пределы, рационализация Баумслага, групповые кольца, кольца Ли, пространства модулей, локализация Ботта
Код ГРНТИ27.17.17, 27.17.31, 27.17.25
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект посвящен таким направлениям современной алгебры как теория локализаций, пополнений и альтернативным подходам к гомологиям алгебраических структур и производным функторам. Участники проекта в течении последних лет успешно развивали вышеприведенные направления. В ряде работ Иванова и Михайлова построена теория пределов на категории копредставлений алгебраических систем, это позволило по-новому взглянуть на гомологии, производные функторы, а также размерные подгруппы. Также в работах Иванова и Михайлова дано решение центральной проблемы теории локализаций и пополнений — проблемы Боусфилда. Данный проект нацелен на усиление упомянутых результатов и охват новых территорий для действия разработанных методов. Участники проекта составляли основу научного коллектива лаборатории "Современная алегбра и приложения" СПбГУ, которая по оценкам экспертов являлась одной из лучших в стране в области математики.
Ожидаемые результаты
В 2017-м году Р. Михайлов и И.Б.С. Пасси представили четвертый размерный фактор через пределы по категории представлений группы. Это позволило определить четвертый размерный фактор без перехода к групповому кольцу. Обобщение этого результата на высшие размерные факторы пока что неизвестно и, судя по всему, связано со сложными задачами теории групп. Мы планируем обобщить этот результат на все размерные факторы, ограничиваясь категорией метабелевых групп и сделать это максимально функториально. Изначальный результат Михайлова и Пасси основывается на нефункториальных вспомогательных утверждениях из теории групповых колец. Мы найдем его обобщение и функториальное доказательство.
В 2016-м году С. Иванов и Р. Михайлов показали, что HZ-длина свободной группы не меньше ω+2, усилив результат А. К. Боусфилда (он показал в конце 70-х, что HZ-длина свободной группы не меньше ω+1). Напомним, что HZ-длина — это длина нижнего центрального ряда HZ-локализации. Разработанный Ивановым и Михайлов метод позволяет строить группы с длинными HZ-локализациями. Однако, на данный момент неизвестно ни одной группы с HZ-длиной строго больше ω+2. Множество ординалов с ω+2 до ω+ω должно содержать HZ-длины разных групп, но эти группы неизвестны. Мы планируем продолжить исследования HZ-длин и явно построить группы с HZ-длинами от ω+2 до ω+ω. В частности, открыт вопрос об HZ-длине группы мигающих лампочек, а также похожих на нее, задаваемых как сплетения абелевых групп. Гипотеза состоит в том, что HZ-длина этих групп не меньше ω+ω, однако, известные на данный момент методы, не позволяют это доказать. Мы планируем получить новые оценки HZ-длины группы сплетения Z wr Z. Так же планируется применить метод, предложенный в решении проблемы Боусфилда, к построению HZ-длинных групп. Аналогичные проблемы планируется рассмотреть для алгебр Ли.
Планируется продолжить работу над fr-кодами, начатую в статьях С. Иванова и Р. Михайлова, а также над их групповыми аналогами, так называемыми FR-кодами. Из работ Михайлова с соавторами следует, что с помощью FR-кодов можно записать ряд производных функторов, к примеру, первый производный от симметрического куба. Планируется расширить границы подобных описаний, найдя новые функторы, представимые с помощью FR-кодов.
Мы планируем вычислить структуру копроизведения на кольцах ориентированных когомологий компактификацией однородных многообразий. Петров и Семенов показали, что комодульное разложение совместимо с мотивным разложением соответствующих многообразий, так что такое вычисление может привести к нахождению новых примеров мотивных разложений. Ключевым инструментом тут является техника локализации Ботта.
Мы изучим свойства этального и гладкого спуска для теорий когомологий на категории алгебраических стэков.
Мы планируем доказать, что каждая теория когомлогий, полученная из достаточно хорошего локализующего инварианты (мы называем такие инварианты этальными), удовлетворяет спуску после некоторого пополнения. В частности мы вычислим гладкое пучкование такой теории когомологий. Этот результат дает как частный случай общую версию алгебраической теоремы Атьи-Сигала.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ