КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 22-11-00046

НазваниеСпектральные и дифракционные задачи на сочленениях областей с различными предельными размерностями

РуководительНазаров Сергей Александрович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г Санкт-Петербург

Период выполнения при поддержке РНФ 2022 г. - 2024 г. 

Конкурс№68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными

Ключевые словаакустические, квантовые и упругие волноводы, спектры, резонансы, асимптотика, сочленения тел с тонкими стержнями и пластинами

Код ГРНТИ27.35.41

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Работы будут проводиться в трех направлениях, объединенных схожими постановками задач и общим математическим аппаратом исследования - спектральным и асимптотическим анализом эллиптических краевых задач. 1) Сочленения акустических и упругих волноводов. Будут рассмотрены массивные полубесконечные волноводы (рукава) различной физической природы, соединенные тонкими перемычками-каналами. Один из примечательных результатов, полученных в рамках предыдущего гранта РНФ участниками проекта, – процедура "настройки" геометрических параметров перемычки, обеспечивающая необычный эффект почти полного прохождения волны из одного рукава в другой через перемычку. При этом без подгонки параметров перемычки приходящая волна почти полностью отражается и возвращается в рукав, из которого она пришла. Эффект аномального прохождения упоминался и ранее, однако только для акустических волноводов в виде полуполос, соединенных тонкими прямоугольниками, и обнаруживалось, что обсуждаемый эффект возникает на каких-то частотах. Разработанная участниками проекта новая процедура позволяет так подогнать параметры перемычки, чтобы эффект происходил на заданной наперед частоте, однако она была реализована опять-таки только для скалярных задач на полуполосах или полуцилиндрах, соединенных прямыми перемычками. В данном проекте предполагается рассмотреть двумерные упругие волноводы прежней упрощенной геометрии и акустические волноводы, состоящие из рукавов достаточно произвольной формы в любой размерности с тонкими изогнутыми перемычками переменного сечения. 1.1) Будут найдены необходимые и достаточные условия возможности соединить полубесконечные массивные рукава в указанных точках их границ тонким каналом так, чтобы на заданной наперед частоте реализовался эффект почти полного прохождения волны. Длина и переменное сечение канала доступны для вариации. Такие условия, выраженные через некоторые интегральные характеристики рукавов, дают возможность формулировать задачи оптимизации форм, годящиеся для практического применения. 1.2) Анализ упругих волноводов осложнен векторным характером волновых полей и множественностью распространяющихся волн. Подобные задачи никогда и никем не исследовались. Планируется обеспечить почти полное прохождение через перемычку продольной и поперечной волн. Существенные различия в процедуре настройки размеров перемычки возникают из-за разного строения поименованных волн. В первую очередь задачи будут рассмотрены для изотропных однородных материалов, но будут предприняты попытки распространить результаты на анизотропные и композиционные материалы, а также на трехмерные волноводы. 2) Квантовые волноводы. В этом направлении будут решены разнообразные по физической постановке задачи. 2.1) Будут рассмотрены периодические сетки тонких квантовых волноводов различных геометрических форм конечного размера с целью усреднения соответствующей спектральной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Условия Дирихле (а не привычные в задачах усреднения условия Неймана) привносят серьезные осложнения в асимптотический анализ, на который оказывает влияние положительность точки отсечки и наличие дискретного спектра в модельной задаче о пограничном слое около узлов сетки. Спектр модельной задачи, поставленной на объединении нескольких полубесконечных цилиндров, исследован в полной мере в рамках предыдущего гранта РНФ. Поэтому возможно предсказать, что результатом процедуры усреднения во всех ситуациях оказывается спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа в плоской области, однако асимптотическое строение собственных функций на исходной сетке различное: порожденные дискретным спектром собственные функции сугубо локализованы около узлов, но связанные с пороговым резонансом распределены на звеньях сетки оставляют узлы в относительном покое. Обоснование асимптотики также требует разработки новых и сложных технических приемов. 2.2) Будет рассмотрена квантовая задача рассеяния четырех одномерных частиц как для случая короткодействующих, так и для случая кулоновских парных потенциалов взаимодействия. При наличии двух сильно локализованных двухчастичных кластеров в начальном состоянии и при энергии рассеяния ниже порога развала, но с учетом возможной перестройки кластеров такая задача приводит к сочленению областей разной размерности в эффективном конфигурационном пространстве. Для решения задачи предполагается разработка двух наиболее перспективных подходов: дифракционный, являющийся наиболее "прямым" в смысле вычислительных реализаций, и подход, связанный с исследованием асимптотических свойств ядра резольвенты оператора Шредингера и основанный на альтернирующем методе Шварца. 2.3) Будет рассмотрено уравнение Гельмгольца для области: тонкая пластина с входящим в нее конечным числом тонких цилиндров. Для данной волноводной системы с естественными граничными условиями предполагается получить асимптотики решения при упомянутых малых характерных размерах, развивая классическую альтернирующую схему Шварца. 3) Сочленения упругих тел с тонкими стержнями. Во всех рассматриваемых, как спектральных, так и статических, задачах обоснование асимптотики проводится при помощи доказанных ранее, в том числе и в предыдущем гранте РНФ, весовых анизотропных неравенств Корна. 3.1) Сочленения семейств тонких стержней произвольной конфигурации. При помощи анализа явления пограничного слоя будут построены одномерные модели семейств стержней. Особое внимание уделяется условиям сопряжения в узлах, для вывода которых используются конструкции с симметричной положительно определенной матрицей поляризации, позволяющей правильно избрать эффективные длины одномерных изображений стержней и поставить корректные условия сопряжения типа Кирхгофа-Робэна. 3.2) Будет исследовано сочленение тонкой изотропной пластины с несколькими упругими стержнями, закрепленными по внешним концам (стол), требующее применения наиболее сложного асимптотического анализа. Будут построены пограничные слои с логарифмическими сингулярностями, а гибридная 2D-1D модель изучается при помощи техники весовых пространств с отделенной асимптотикой. Основная цель асимптотического анализа - выяснить зависимость деформированного состояния сочленения от количества и конфигурации стержней, а также попытаться решить оптимизационные задачи. 3.3) Путем построения гибридной 2D-1D модели и исследования явления пограничного слоя будет изучено зонное строение спектра периодического упругого анизотропного волновода, который составлен из бесконечного набора идентичных двумерных упругих тел, соединенных тонкими упругими балками. В отличие от скалярных задач для акустических волноводов указанного строения строение спектра существенно зависит от расположения соединительных балок. Цель - выяснить зависимость строения спектра и размеров лакун в нем от количества, расположения точек крепления и углов наклона балок. Актуальность решения планируемых задач обусловлена как развитием математических исследований, так и возможностью применить полученные асимптотические формулы в практических инженерных вопросах. Все ожидаемые результаты и предлагаемые подходы окажутся новыми и сопоставимыми с передовыми разработками мировой науки.

Ожидаемые результаты
1.1) Туннельный эффект - аномальное прохождение волн через щелевые отверстия - был описан в работах G. Kriegsmann (США), J. Lin, H. Zhang (США) и др., однако разработанная в серии публикаций С. Назарова и Л. Шенеля новая процедура настройки параметров тонкой перемычки между массивными полубесконечными акустическими волноводами позволяет соорудить перемычку, обеспечивающую нужный эффект почти полного прохождения на заданной наперед частоте или нескольких частотах, причем не только в двумерной, но и в трехмерной ситуациях. Впрочем, все предыдущие исследования относятся к простой геометрии: прямые полуполосы или полуцилиндры. Планируемые результаты для акустических волноводов произвольной формы требуют разработки новых технических приемов анализа тонких перемычек, в том числе изучения пограничных слоев, и подходов к обоснованию асимптотических формул. Планируется вывести в любой размерности критерий возможности соединить полубесконечные акустические волноводы произвольной формы тонкой перемычкой, обеспечивающей почти полное прохождение волны на заданной частоте. Будет исследованы коэффициенты прохождения и отражения в случае нарушения процедуры настройки (туннельный эффект) и сформулированы задачи оптимизации формы (вариация длин, сечений и точек присоединения перемычки). Решения последних задач важны для использования в инженерных приложениях. 1.2) Изучение аналогичных эффектов для упругих волноводов связано с преодолением новых серьезных трудностей, которые происходят от векторного характера задач теории упругости, порождающего, в частности, волны двух типов (продольные и поперечные), существенно различающиеся по своим свойствам, но перемешивающиеся при изменении сечения волновода (образовании перемычки). Планируется при простой геометрии плоских изотропных волноводов создать процедуру настройки размеров тонкой перемычки из того же материала, обеспечивающей нужный эффект. Будут предприняты попытки приспособить процедуру к анизотропным, композитным и пространственным волноводам, однако прогнозировать результаты для них пока невозможно. 2.1) Несмотря на то, что усреднение краевых задач в разнообразных постановках планомерно изучалось на протяжении десятилетий во многих странах, рассмотрение с этих позиций конечных решеток тонких квантовых волноводов конечных размеров (спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа) не проводилось никогда. Основная проблема связана с тем, что в модельной задаче о пограничном слое возникает дискретный спектр, провоцирующий сугубо локализованные колебания узлов решетки, взаимодействие которых осуществляется на экспоненциально малых членах, что привносит трудности как в формальную процедуру осреднения, так и в вывод оценок асимптотических остатков. Будет произведено усреднение решетки и в другом диапазоне изменения спектрального параметра, для которого характерно иное поведение собственных функций исходной задачи - ощутимые колебания сегментов решетки и относительный покой ее узлов. Будет полностью изучена прямоугольная решетка, но разработка процедур построения и обоснования асимптотики собственных чисел и функций открывает неограниченные перспективы для анализа решеток другой формы, например, гексагональных, привлекающих большой интерес после открытия графена. 2.2) Задача о распространении волн в квантовых волноводах и задача рассеяния нескольких квантовых частиц допускают сходную математическую формулировку. На основе анализа в рамках дифракционного подхода и более строго анализа координатных асимптотик ядра резольвенты оператора Шредингера предполагается получить асимптотики собственных функций абсолютно непрерывного спектра оператора Шредингера задачи рассеяния двух кластеров двух одномерных квантовых частиц. Эти результаты, с одной стороны, весьма интересны в атомной и молекулярной физике при описании экспериментов кластерного рассеяния в сильных магнитных полях. С другой стороны, эти результаты имеют естественную интерпретацию в задаче о распространении волн в квантовых волноводах. 2.3) Предполагается построить асимптотики решения граничной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в области, объединяющей тонкую плоскость и систему узких трансверсальных цилиндров, используя классический альтернирующий метод Шварца. Такие результаты будут новыми и позволят проследить за эволюцией решения при стремлении к нулю малых параметров задачи. Это, в свою очередь, позволит моделировать возможные резонансные явления при распространении волн в волноводах указанного типа. 3) Асимптотические конструкции в векторных задачах теории упругости устроены намного более сложно, чем в скалярных задачах, по причине разной реакции тонких тел на продольные и поперечные нагрузки: пластину или стержень легче изогнуть, чем растянуть. Это обстоятельство и предопределяет набор новых результатов, которые будут получены в проекте для сочленения упругих тел со стержнями. Такие сочленения повсеместно встречаются в упругих конструкциях и результаты полученные в проекте могут быть использованы не только для разработки теоретических основ современной инженерной практики, но и для непосредственного применения к задачам строительной механики. 3.1) Будут построены одномерные модели сочленения систем тонких стержней произвольной конфигурации. В математических моделях сочленений упругих тел важнейшую роль условия сопряжения, существенно отличающиеся условий сопряжения в скалярных задачах. В ранее известных моделях стержневых конструкций использовались классические условия Кирхгофа, приспособленные к упругим сочленениям. Существенным недостатком таких моделей являются необходимые геометрические ограничения, отвергающие, например, стержневые цепочки типа пружин. Усреднение таких тонких упругих цепочек является целью работ этого направления. Предварительные расчеты показывают, что такие стержневые конструкции описываются новой одномерная моделью, являющейся системой обыкновенных дифференциальных уравнений. 3.2) Упругие конструкции из пластин и стержней встречаются повсеместно, как в инженерных конструкциях, так и в живой природе. Вместе с тем известно немного результатов в создании их гибридных 1D-2D моделей: пластины с одним стержнем (гриб) или осреднение сочленения пластины с двоякопериодическим семейством тонких стержней (щетка). Планируемые результаты относятся к сочленению пластины с несколькими стержнями (интересны случаи 3, 4 и 6 стержней), причем пластина зафиксирована исключительно при помощи стержней (у предшественников пластина всегда закреплялась по краю). В результате смещение пластины определяется не только внешними нагрузками, но и расположением стержней с зажатыми внешними концами. Будут построены разнородные пограничные слои и гибридная модель 2D-1D, исследование которой при помощи техники весовых пространств с отделенной асимптотикой позволяет определить влияние расположения стержней и точек их соединения с пластиной на напряженно-деформированное состояние тонкого трехмерного объекта. Обоснование асимптотики будет проведено при помощи ранее полученных весовых анизотропных неравенств Корна. 3.3) Если в предыдущем пункте рассматриваются статические задачи, то в этом гибридное моделирование применяется для изучения зонного строения двумерного периодического упругого волновода, образованного бесконечным набором идентичным плоских тел (пластин), которые соединены посредством тонких балок (стержней). Из-за логарифмических особенностей тензора Грина именно в размерности два асимптотический анализ оказывается наиболее сложным. Планируется создать модели волновода, обслуживающие разные диапазоны спектра: низкие частоты, при которых массивным частям дозволены смещения как жесткого целого, и средние частоты, при которых массивные части находятся в относительном покое. Основная цель - выяснения наличия спектральных лакун (зон торможения упругих волн), для чего формальные асимптотики нуждаются в оправдании, которое осложнено присутствием в задаче на ячейке периодичности параметра Флоке. Именно вывод равномерных по параметру Флоке оценок асимптотических остатков в разных диапазонах спектра и представляет собой наиболее сложную и трудоемкую работу в этой части проекта.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1) При помощи метода сращиваемых асимптотических разложений построена формальная асимптотика акустических полей в волноводе, моделируемом спектральной задачей Неймана для оператора Лапласа и состоящем из двух массивных полубесконечных рукавов произвольной формы, которые соединены тонким изогнутым каналом переменного сечения. Найдены необходимые и достаточные условия обеспечения эффекта почти полного прохождения волны через перемычку – эти условия включают некоторые интегральные характеристики задач для изолированных рукавов (обобщенные функции Грина), одномерной модели перемычки (специальные решения неоднородной задачи Дирихле) и пограничных слоев (линейно растущие на бесконечности решения задачи Неймана в сочленении полуцилиндра и полупространства). Получены примеры реализации найденных условий. Опубликована статья в журнале Прикладная математика и механика, в которой изучен эффект почти полного прохождения волны через тонкую упругую перемычку, соединяющую два плоских изотропных однородных упругих волноводов в форме полуполос единичной ширины. При помощи постановки искусственных краевых условий на продольной линии симметрии волновода задача сведена к исследованию продольных волн. Разработана процедура подгонки длины тонкой перемычки для обеспечения эффекта почти полного прохождения при учете феномена пограничного слоя, описываемого посредством решений задач теории упругости на сочленении полуплоскости и перпендикулярной ей полуполосы. Обоснование асимптотики получено при помощи априорных весовых оценок решений на сочленении тонких областей и массивных тел. Исследованы спектральные характеристики плоского квантового волновода с широким "окном Неймана" (смешанная краевая задача для оператора Лапласа). Получены асимптотические формулы для собственных чисел, критических длин окна, при которых возникают пороговые резонансы. В отличие от предыдущих работ, посвященных похожим задачам, основным аппаратом анализа служат методы механики трещин. Тем самым подготовлен базис для исследования задач теории упругости о плоских изотропных волноводах с продольными трещинами, в которых не работает абсолютное большинство приемов, созданных для скалярных задач. 2) В рамках дифракционного подхода в задаче рассеяния описана структура асимптотики решения задачи квантового рассеяния двух кластеров при условии, что каждый кластер состоит из двух одномерных нейтральных частиц в связанном состоянии при энергиях ниже порога развала 2-->4. Предполагается, что рассматриваемые кластеры допускают перекластеризацию с развалом одного из кластеров 2-->3. В предельном случае большой энергии связи кластера решение задачи моделирует распространение волны в сочлененных областях разной размерности с размытой границей. Для трехчастичной подсистемы (рассеяние двухчастичного кластера на третьей частице) результаты исследования опубликованы в Журнале Экспериментальной и Теоретической Физики (ЖЭТФ). А именно, получена формула связи амплитуд рассеяния 2-->2 и 2-->3. Поставлена граничная задача с условиями излучения на границе круга большого радиуса, в терминах решений которой проводится численный анализ. В рамках численного анализа предложена итерационная процедура для учета дискретного спектра в парных подсистемах. В дополнение к запланированным исследованиям, но в рамках общей постановки задачи была рассмотрена задача об описании асимптотики задачи рассеяния трех трехмерных заряженных частиц в окрестности "опасного" направления, иначе называемого трехчастичным направлением рассеяния вперед. Выделенность этой ситуации связана с тем, что на этом направлении амплитуда рассеяния становится сингулярной даже в двухчастичной задаче кулоновского рассеяния. Ранее характер решения и структура трехчастичной амплитуды рассеяния в окрестности направления рассеяния вперед в кулоновской задаче трех тел был неизвестен. В окрестности этого направления получено изменение поведения решения, в частности – изменение скорости убывания решения на бесконечности по координате по сравнению с поведением стандартной расходящейся шестимерной волны. Именно этот факт позволяет явно выделить характер сингулярности амплитуды рассеяния в направлении рассеяния вперед. Была рассмотрена задача Дирихле для уравнения Гельмгольца на плоскости в области, представляющей собой сочленение широкой полосы с ортогональной тонкой полуполосой. Описана асимптотика решения по малому параметру, равному ширине полуполосы. Решение задачи проводилось методом интегральных уравнений в теории потенциала. Асимптотический анализ решения проведен в рамках альтернирующего метода Шварца. Особенность данной задачи связана с наличием угловых точек в области, что ведет к потере компактности соответствующих интегральных операторов. Однако, это не препятствует нахождению асимптотик с использованием альтернирующего метода. Аналог данной задачи в трехмерном случае (тонкая "столешница" в сочленении с тонкой ножкой) исследован в рамках тех же методов. При помощи процедуры осреднения построена формальная асимптотика собственных пар задачи Дирихле для оператора Лапласа на тонкой сетке конечных размеров, а именно, выведено уравнение второго порядка в частных производных на плоской области, заполняемой в пределе сеткой. Впервые изучен спектр трех пересекающихся взаимно перпендикулярных квантовых волноводов с единичным квадратным сечением. Доказано существование единственного собственного числа ниже точки отсечки 2·π^2 непрерывного спектра. Эта информация позволит перенести результаты, полученные для двумерной задачи, на аналогичную трехмерную задачу. 3) Введено понятие матрицы упругой поляризации M для сочленения N упругих анизотропных полуцилиндров (рукавов) и конечного ядра. Эта симметричная матрица размером 6Nx6N заведомо вырождается на шестимерном подпространстве R, связанного с линеалом жестких смещений упругого тела, но основной результат состоит в проверке возможности путем сдвигов локальных координат на рукавах добиться положительной определенности сужения матрицы M на ортогональное дополнение упомянутого подпространства R. Обоснование свойств матрицы M основано на применении весового неравенства Корна для бесконечных цилиндрических тел, асимптотических представлений упругих полей на бесконечности, использования симплектической формы переноса энергии и условий биортогональности для полиномиальных решений задачи теории упругости в цилиндре (последнее – технически наиболее сложный момент). Подготовлена большая статья для журнала Известия РАН. Серия математическая. Рассмотрены две скалярные задачи с условиями Неймана – спектральная на произвольной сетке из тонких цилиндров и статическая на гофрированном тонком цилиндре. Для первой задачи создана одномерная модель сетки, в которой условия сопряжения типа Кирхгофа-Робэна-Стеклова в вершинах графа содержат матрицу поляризации скалярной задачи Неймана на сочленении нескольких полуцилиндров. Для второй произведено осреднение задачи Неймана на изломанном цилиндре с двумя малыми параметрами – толщиной цилиндра и длиной звеньев гофры. В этой задаче пограничный слой описывается решениями задачи в области с двумя цилиндрическими выходами на бесконечность, а матрица поляризации становится скаляром. Особую сложность представляет процедура обоснования асимптотики, так как для получения априорной оценки решения задачи приходится выводить неравенство Фридрихса с множителем, не зависящим от двух малых параметров задачи. При помощи техники самосопряженных расширений дифференциальных операторов рассмотрено возмущение границы ограниченной области при помощи множества резонаторов Гельмгольца. Резонаторы присоединены к основному резонатору через малые отверстия. Исследован предел при стремлении количества резонаторов к бесконечности. В результате получено энергозависящее граничное условие типа условия Робена. Рассмотрены два типа систем – с границей из полос и барьером из полос. В обоих случаях были получены в явном виде граничные условия предельного оператора. Результаты проверены численно.

 

Публикации

1. Будылин А.М., Левин С.Б. Quantum Scattering of the Bound Pair on the Third Particle in One-Dimensional Case Journal of Experimental and Theoretical Physics, V. 135, № 5, с.642--646 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1134/S1063776122110152

2. Назаров С.А. Аномальное прохождение упругой волны через тонкую перемычку, соединяющую два плоских изотропных волновода Прикладная математика и механика, том 86, № 6, с. 977–997 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.31857/S003282352206011X

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Найден новый подход к построению уточненных одномерных моделей тонких решеток акустических и квантовых волноводов (частично – для упругих). Этот подход обеспечивает построение двучленных асимптотик решений и двучленных асимптотик собственных пар, а также существенным образом упрощает обоснование асимптотик. Разработанный подход применен к конечным сеткам акустических волноводов произвольной формы, изломанным тонким цилиндрам с мелкими узлами в вершинах ("пружина"), периодическим квантовым и акустическим волноводам с периодически распределенными узлами ("бусы") и аналогичным решеткам квантовых волноводов ("деревянные счеты"). Предельные задачи, описывающие асимптотику решений исходных сингулярно возмущенных задач и собственных пар, или геометрические характеристики зонного строения спектров бесконечных периодических волноводов, зависят от дискретных спектров и пороговых резонансов в модельных задачах о бесконечных волноводах с резонаторами, в частности, изломанных или L- и T-образной формы. Разработаны методы и получены конкретные результаты о спектрах указанных сочленениях квантовых волноводов, а также упругих (кроме пороговых резонансов – открытый вопрос почти для всех форм даже в мировой литературе), позволившие описать возникающие предельные задачи в перечисленных задачах. Созданы модели пониженной размерности для пластин-прокладок и плит, частично или полностью заглубленных в абсолютно жесткое полупространство, – система трехмерных уравнений теории упругости снабжается условиями жесткой фиксации (условия Дирихле в смещениях) соответственно на двух или одном основании пластины. Если боковая поверхность пластины-прокладки жестко защемлена или пластина полностью погружена в полупространство ("могильная плита"), то в пределе при стремлении относительной толщины пластины к нулю собственные частоты и моды колебаний описываются двумерной системой Ламе с условиями Дирихле на краю продольного сечения. Если же боковая поверхность пластины-прокладки или пластины-заплатки свободна от внешних воздействий (условия Неймана в напряжениях), то возникает новый эффект локализации мод собственных колебаний: они концентрируются либо около круговой боковой поверхности (частный случай), либо около точек экстремумов кривизны кромки (общий случай). При этом в качестве предельных уравнений выступают соответственно обыкновенное дифференциальное уравнение на окружности или уравнение гармонического осциллятора на прямой. Изучены смежные вопросы, в частности, спровоцированная концентрацией напряжений инициация процесса разрушения – отслоение пластины от оснований. Другой процесс разрушения связан с удлинением продольной трещины в изотропной полосе с зафиксированными боковыми сторонами: возникновение пороговых резонансов вызывает появление захваченных волн, локализованных около берегов трещины, и сопутствующий рост коэффициентов интенсивности напряжений в ее вершинах. Исследовано зонное строение спектров задач Дирихле для оператора Лапласа в тонкостенном коробе с периодически распределенными перегородками и для системы Ламе трехмерных уравнений теории упругости для периодической мебельной полки - бесконечной пластины с периодически распределенными поперечными перегородками. В обеих задачах обнаружен эффект локализации волн около зон присоединения перегородок к планкам или даже около углов перегородок. Тот или иной тип локализации зависит от относительной толщины перегородки и определяется строением дискретного спектра и наличием/отсутствием пороговых резонансов в модельных задачах о сочленениях полубесконечных полос в форме литер L и T, а также о сочленениях половин и четвертушек слоев. Если информация о спектрах задач на сочленениях полуполос, как скалярных, так и векторных, известна в достаточной мере (предыдущие результаты разработчиков проекта), то исследование спектра задач Дирихле для оператора Лапласа и системы Ламе на сочленении частей слоев потребовало разработки новых приемов изучения спектров, а именно пришлось "вручную" построить сингулярные последовательности Вейля и регуляризаторы оператора задачи со спектральным параметром ниже точки отсечки, а также соорудить подходящие пробные (вектор)-функции в минимальным принципе для обнаружения собственных чисел из дискретного спектра. Особенно трудоемким и потребовавшим новых идей оказалось изучение векторной задачи, для которой в отличие от скалярной задачи и по обыкновению для задач теории упругости вопросы о пороговом резонансе и его качестве остались открытыми. Тем не менее для всех упомянутых задач полностью описано строение низкочастотного диапазона спектров – малые спектральные сегменты перемежаются широкими лакунами. Найдена раскрытая лакуна, отделяющая низкочастотный диапазон спектра от среднечастотного, для периодического упругого волновода, состоящего из массивных тел соединенных тонкими перемычками. Требуется "правильное" расположение перемычек – не менее трех балок в плоском случае и не менее шести стержней в пространственном (числа 3 и 6 - размерности линеала жестких смещений). Рассмотрена задача Дирихле для уравнения Лапласа в бесконечной плоской области, представляющей собой объединение полосы с конечным набором ортогональных тонких ответвлений типа полуполос. Построена асимптотика решений по малому параметру (толщине тонких ответвлений). Задача решалась в технике альтернирующего метода Шварца в рамках теории потенциала. Полученные аналитические результаты сравнивались с результатами численного анализа. Рассматривалась задача рассеяния трех одномерных квантовых частиц с финитными парными потенциалами, допускающими связанные состояния в парах. Построена и изучена модель рассеяния 2→2(3), то есть в начальном состоянии пара частиц находится в связанном состоянии и рассеивается на третьей частице. В рамках построенной модели получены координатные асимптотики решения на больших расстояниях. В частности, найдены кластерные амплитуды рассеяния и амплитуда трехчастичного развала. Проведен численный анализ полученных аналитических результатов. Рассмотрено обобщение хорошо известного в физической литературе ВВК-приближения для координатной асимптотики решения задачи рассеяния нескольких трехмерных заряженных квантовых частиц в случае, когда локализованная подсистема находится в состоянии дискретного спектра, а также в случае, когда подсистема (двух или трехчастичная) находится в связанном состоянии. Переход к локализованной подсистеме от решения типа ВВК был рассмотрен с позиции квантования внутренних переменных. Произведено осреднение конечной плоской квадратной густой решетки тонких квантовых волноводов (задача Дирихле для оператора Лапласа с двумя малыми положительными параметрами – периодом и относительной шириной взаимно перпендикулярных полосок). Установлена сходимость нормированных собственных чисел (умножили на произведение квадратов обоих малых параметров) к собственным числам задачи Дирихле для оператора, пропорционального оператору Лапласа, а также найдены асимптотические формулы для собственных чисел и функций исходной задачи. Исследовано строение спектра задачи Дирихле на пересечении трех взаимно перпендикулярных цилиндров с сечениями в форме единичного квадрата – дискретный спектр содержит единственное собственное число, и пороговый резонанс отсутствует. Как следствие описано зонное строение кубической решетки тонких квантовых волноводов (сечения – квадрат со стороной малой длины h), а именно в низкочастотном диапазоне имеется один очень узкий (экспоненциальной относительно 1/h) сегмент, отделенный лакуной шириной O(1/h^2) от среднечастотного диапазона, которые состоит из сегментов длиной O(h), отделенных один от другого лакунами шириной O(1). Эти результаты позволят распространить процедуру осреднения с плоских на трехмерные конечные решетки квантовых волноводов.

 

Публикации

1. Будылин А.М., Левин С.Б. Solution of the Quantum Three-Body Problem in a Neighborhood of the Three-Particle Forward Scattering Direction Mathematical Notes, Том 113, № 3, (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S0001434623030021

2. Будылин А.М., Левин С.Б. О главном члене асимптотики задачи нескольких заряженных частиц при наличии связанных состояний Записки научных семинаров ПОМИ, Том 521, с. 59-78 (год публикации - 2023)

3. Назаров С.А. Асимптотический анализ спектра квантового волновода с широким “окном” Неймана в свете механики трещин Записки научных семинаров ПОМИ, Том 516, с. 176--237 (год публикации - 2023)

4. Назаров С.А. Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными локальными деформациями стенок Журнал вычислительной математики и математической физики, - (год публикации - 2024)

5. Назаров С.А. On the one-dimensional asymptotic models of thin neumann lattices Siberian Mathematical Journal, Том. 64, № 2, с. 356–373. (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S0037446623020106

6. Назаров С.А. Лакуны в спектре тонкостенного прямоугольного бесконечного короба Дирихле с периодическим семейством перегородок Математический сборник, Том 214, № 7, с. 91-133 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.4213/sm9868

7. Назаров С.А. Распределение мод собственных колебаний в пластине, заглубленной в абсолютно жёсткое полупространство Записки научных семинаров ПОМИ, Том 521, с. 154-199 (год публикации - 2023)

8. Назаров С.А., Шенель Л. Spectrum of the Dirichlet Laplacian in a thin cubic lattice ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Том 57, №6, стр. 3251-3273 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1051/m2an/2023082