Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Построена двумодовая эредитарная модель, в которой генерация тороидальной моды из полоидальной осуществляется за счет крупномасштабного движения среды (ω-эффект) и мелкомасштабных пульсаций (α-эффект). Генерация полоидальной моды из тороидальной обеспечивается только α-эффектом, такой механизм известен как α2ω-динамо. В модели реализовано эредитарное подавление α-эффекта общего вида квадратичной формой от компонент поля. Функционал подавления включает ядро достаточно общего вида. Модельные уравнения представляют из себя интегро-дифференциальную систему уравнений для амплитуд мод. Доказана теорема о существовании и единственности решения начальной задачи. Доказано, что если ядро функционала подавления является решением однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то интегральные члены могут быть исключены. Разработана неявная разностная схема для численного решения модельных уравнений. Аппроксимация дифференциальной части проводилась согласно неявному методу Рунге-Кутты второго порядка. Интегральная часть - формулой трапеций. Схема была реализована на C++. Известный характер динамики системы Лоренца при различных параметрах позволил провести верификацию схемы и кода. Была разработана стохастическая модель двумодового αω-динамо с памятью. В полученной двумодовой модели кинематического динамо учтены два генератора магнитного поля: крупномасштабный, обеспечивающий генерацию за счет дифференциального вращения среды (ω-эффект); мелкомасштабный, за счет нелинейного взаимодействия турбулентных пульсаций (α-эффект). Для получения ограниченных решений в модель введена обратная связь в виде подавления α-эффекта квадратичной формой от амплитуд мод. В реальной физической динамо-системе данное подавление обеспечивается влиянием силы Лоренца на движение среды. Модельный механизм подавления носит эредитарный характер, поскольку подавление обеспечивается средневзвешенным значением квадратичной формы по всей предыстории системы. Также в механизм подавления введен случайный процесс, который моделирует влияние на турбулентный генератор спонтанно образующийся и разрушающихся когерентных структур из мелкомасштабных, явно не учитываемых в модели мод. Была проведена серия вычислительных экспериментов с данной моделью, основной целью которых был расчет статистических характеристик модельной шкалы инверсий. Определялись эмпирические распределения (гистограммы) времени ожиданий инверсий, фрактальная размерность ряда инверсий и связанный с ней показатель Херста. Проводилось сопоставление полученных результатов с аналогичными характеристиками реальной шкалы геомагнитной полярности известными по палеомагнитным данным. Результаты расчетов показали, что при подходящих параметрах в модели воспроизводятся следующие основные свойства реальной палеомагнитной шкалы: степенная асимптотика распределения времени ожидания инверсий, фрактальный характер шкалы геомагнитной полярности. Расчет фрактальной размерности показал бифрактальную структуру шкалы полярности с изменением размерности шкалы на временных масштабах порядка 3 млн. лет. Наличие двух размерностей и их числовые значения хорошо согласуются с аналогичными параметрами реальной шкалы. Расчеты показали, что наибольшее влияние на фрактальную размерность шкалы оказывает такой параметр модели, как показатель степенного закона распределения времени ожидания когерентной структуры в стохастическом члене. Разработана статистическая модель для выделения последовательностей форшоков главных событий заданной энергии. На основании выбранных критериев, связанных с характеристиками среды области подготовки и энергией землетрясения, разработан алгоритм и построены форшоковые кластеры. Получены функции распределения относительной частоты появления форшоков в зависимости от времени до главного удара. На основании дробной модели процессов релаксации функции распределения аппроксимированы с помощью дробной функции Миттаг-Леффлёра (МЛ) со степенным аргументом, которая учитывает историю процесса и свойство нестационарности. Варьирование трёх дробных параметров функции МЛ позволило получить приближение для эмпирических функций с более высокой точностью, чем с помощью экспоненты. На основании полученных результатов можно сделать вывод о процессе деформации в рассматриваемой области как о нестационарном и близком к стандартному пуассоновскому процессу. Разработана компьютерная программа, реализующая численный алгоритм статистической модели для выделения последовательностей форшоков главных событий заданной энергии. Разработана математическая модель высокочастотной геоакустической эмиссии (ГА) приповерхностных осадочных пород, регистрируемой на Камчатке. В основе модели лежит система связанных осцилляторов. Каждый осциллятор описывает дислокационный источник ГА. Модель строится на основании предположения, что взаимодействие между источниками осуществляется только через излучение. В работе рассматриваются два взаимодействующих между собой дислокационных источника ГА. Математическое описание этих источников представлено в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка. Методом Розенброка найдены численные решения модели при различных значениях коэффициента связи между источниками, построены расчетные осциллограммы, спектры сигналов и фазовые траектории. Анализ решений показывает, что при увеличении коэффициента связи наблюдается устойчивый обмен энергией между осцилляторами. Разработана математическая модель на основе дробных осцилляторов. Предложен численный алгоритм на основе метода Адамса-Башфорта-Моултона (АБМ). Разработана компьютерная программа, реализующая численный алгоритм, проведено тестирование алгоритма на примерах, построены осциллограммы, фазовые траектории, а также спектры сигналов ГА. Предложена нелинейная дробная динамическая система Селькова (ДДСС), для описания микросейсмических явлений. Эта система известна в классическом случае наличием автоколебательных режимов. ДДСС учитывает эффект наследственности и описывается с помощью производных дробных порядков. В работе с помощью численного метода АБМ исследуется ДДСС с постоянной и переменной памятью, построены осциллограммы и фазовые траектории, исследованы точки покоя. Показано, что ДДСС может обладать релаксационными и затухающими колебаниями, а также хаотическими режимами. Разработана математическая модель динамики насыщения с учетом памяти на основе дробного уравнения Риккати с производной дробного переменного порядка. Для предложенной математической модели, была разработана нелокальная неявная конечно-разностная схема. Доказаны теоремы устойчивости и сходимости схемы. Проведены тестовые примеры. Разработана компьютерная программа «FDRE 3.0», реализующая численный алгоритм. В качестве приложений модели была выбрана задача, связанная с динамикой накопления радона в камере на пунктах регистрации на Камчатки. В результаты моделирования с учетом экспериментальных данных показали адекватность модели. В работе предложена математическая наследственная модель для восстановления временной эволюции мощности амбиентного эквивалента дозы γ-излучения во время дождевых эпизодов в зависимости от плотности потока радона с поверхности почвы, а также продолжительности и интенсивности дождя. Эта модель представляет собой задачу Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с производными дробных порядков. Система имеет аналитическое решение, которое записывается в терминах специальной функции типа МЛ. На основе предложенной модели был разработан алгоритм восстановления динамики мощности амбиентной эквивалентной дозы γ-излучения в период осадков. На основании полученных результатов были сделаны предположения, откуда происходит вымывание радионуклидов. Исследовано влияние соотношения радионуклидов на увеличение мощности суммарной дозы γ-излучения. Было проведено сопоставление с ранее полученными результатами.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Были проведены численные исследования эредитарного двумодового α2ω-динамо. Для этого были разработаны 2 разностные схемы, в которых скомбинированы схемы для дифференциальной части модели и квадратурные формулы для интегральной части. Полученные схемы имеют первый порядок точности. На основе схем разработаны программы численного моделирования. Проведена верификация схем и программ на частных случаях модели, когда она допускает сведение к равносильным дифференциальным уравнениям из общей интегро-дифференциальной системы. В серии вычислительных экспериментов были исследованы различные динамические режимы, возникающие в системе при варьировании основных управляющих параметров — динамо числа и временного масштаба ядра. Построены карты динамических режимов на плоскости этих параметров с выделением областей асимптотически стационарных режимов, квазипериодических режимов и хаотических режимов. Оказалось, что области хаоса и регулярных режимов сложным образом чередуются на плоскости. Разработана спектральная эредитарная модель геодинамо, пространственное распределение скорости в которой согласовано с 6-ячейковой конвекцией в жидком ядре Земли. В модели реализована обратная связь в виде подавления турбулентного генератора (альфа-эффекта) энергией поля. Разработаны алгоритмы комбинированных численно-символьных вычислений для расчета коэффициентов уравнений модели. Алгоритмы реализованы в системе Maple. В модель введены флуктуации параметров, которые моделируют влияние спонтанно формирующихся и разрушающихся когерентных структур из мелкомасштабных мод. Проведено численное моделирование. Установлено, что введение эредитарности позволяет воспроизвести в модели динамические режимы типа всплесков. Также в модели реализуются режимы асимптотически стационарной генерации, осцилляции поля. За счет флуктуаций возникают и промежутки временной остановки работы динамо, с последующим его восстановлением. Были исследованы хаотические и регулярные режимы дробной динамической системы Селькова с переменной памятью. Сначала проводится численный анализ с помощью метода Адамса-Башфорта-Мултона. Далее над полученным решением проводится предварительная обработка (модификация), которая заключается в отборе из данных значений, соответствующих локальным экстремумам. Далее прореженный таким образом набор значений поступает на вход алгоритма Тест 0-1. Основная идея алгоритма Тест 0-1 заключается в вычислении статистических характеристик дискретного временного ряда: стандартного среднеквадратического отклонения, а также его асимптотической скорости роста через корреляцию (ковариацию и вариацию) между соответствующими векторами. После многократного вычисления коэффициента корреляции выбирается ее медианное значение. Если медианное значение достаточно близко к единице, то мы имеем дело с хаотическим режимом, а если к нулю, то с регулярным режимом. Численный алгоритм Адамса-Башфорта-Мултона и модифицированный алгоритм Тест 0-1 были реализованы в системе компьютерной математики MATLAB, а также была проведена визуализация результатов моделирования с помощью бифуркационных диаграмм. Было показано, что с помощью модифицированного алгоритма Тест 0-1 дробная динамическая система Селькова с переменной памятью может обладать хаотическими режимами. Было проведено уточнение математической модели динамики солнечной активности методом решения обратной задачи. В качестве дополнительной информации используются экспериментальные данные по наблюдению за значениями числа Вольфа. Этот параметр солнечной активности отражает число пятен на поверхности солнца, и считается индикатором его активности. Данный процесс характеризуется наблюдаемой цикличностью, периодами роста и спада. Проводится анализ и обработка исходных данных, с целью выделения из временных рядов участков, соответствующих росту солнечной активности. Для описания данного динамического процесса используется ранее предложенная математическая модель описания 23 и 24 циклов. Модель представляет собой задачу Коши для дробного аналога нелинейного уравнения Риккати. Данное модельное уравнение решается численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы. Для уточнения значений порядка дробной производной была решена задача одномерной оптимизации с помощью итерационного метода Левенберга-Марквардта второго порядка, на основе обработанный экспериментальных данных. Для каждой пары значений управляющих параметров решение системы исследовано на устойчивость по Ляпунову в окрестности точки покоя на каждом шаге численной схемы с заданными значениями амплитуды скорости и процесса подавления α-эффекта. Сформулирован критерий неустойчивости решения системы: относительная частота появления устойчивого по Ляпунову решения в объёме полученной выборки не превышает пороговое значение 0,5. Изучено влияние вариации управляющих параметров и ядра эредитарного оператора на динамические режимы. По результатам в четырёхмодовой крупномасштабной модели αΩ динамо с эредитарным подавлением интенсивности α-эффекта смоделированы не только регулярные режимы генерации магнитного поля такие, как стационарный, регулярный, васцилляция, динамо-всплеск, но и хаотический режим с инверсиями, в сравнении с результатами для показательного ядра. Увеличение значения коэффициента затухания b ядра эредитарного оператора увеличивает область устойчивых решений МГД-системы, а увеличение значения частоты a - уменьшает. Такая закономерность приводит к увеличению области генерации неограниченно возрастающего магнитного поля при возрастании параметра a по сравнению с результатами для показательного ядра с таким же значением коэффициента затухания b. Исследованы условия возникновения хаотических колебаний. Определены значения характеристики устойчивости на основании разработанного алгоритма, при которых моделируется хаотический режим. Определены ограничения на значения управляющих параметров и параметров ядра эредитарного оператора, связанные с увеличением амплитуды осцилляций в поле скорости. Получены ограничения на значения управляющих параметров модели 100<Rem<200 и 10<Rα<40, в области изменения которых смоделирован хаотический режим магнитного поля на фоне слабо изменяющегося поля скорости. В качестве источника напряжений рассматривался очаг готовящегося тектонического землетрясения. Модель описана в рамках линейной теории упругости, решения строятся при помощи функций Грина и формулы Вольтерра. В модель введен стохастический компонент, отражающий неоднородность силового воздействия в очаге готовящегося землетрясения. Получены интегралы решения поставленной задачи. Произведено численное моделирование зон геоакустической эмиссии для землетрясений, произошедших у полуострова Камчатка в 2020–2023 годах. Показано, что в случае модели со стохастическим компонентом, зоны отличаются большей асимметрией. В случае, когда стохастический компонент распределен экспоненциально, зоны геоакустической эмиссии могут простираться дальше по направлению к полуострову Камчатка. В случае нормального распределения зоны геоакустической эмиссии не имеют явно выраженного направления асимметрии. Разработана новая математическая модель геоакустической эмиссии с учетом наследственности. Предложенная математическая модель является обобщением ранее изученной модели и описывается с помощью системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с непостоянными затухающими на больших временах коэффициентами и производными дробных порядков в смысле Герасимова-Капуто. Разработана нелокальная явная конечно-разностная схема для нахождения численного решения предложенной модели, которая была реализована в среде компьютерной математике Maple. Проведена визуализация результатов моделирования, построены осциллограммы и фазовые траектории при различных значениях модельных параметров. Показано, что порядки дробных производных отвечают за интенсивность взаимодействия источников геоакустической эмиссии.