КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 22-11-00070

НазваниеРазвитие современных методов математической физики: интегрируемые системы и формализм задачи Римана-Гильберта, спектральный анализ дифференциальных и интегральных операторов, задачи рассеяния и их приложения

РуководительЛялинов Михаил Анатольевич, Доктор физико-математических наук

Прежний руководитель Яфаев Дмитрий Рауэльевич, дата замены: 26.09.2022

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет", г Санкт-Петербург

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2024 г.

Конкурс№68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика

Ключевые словаинтегрируемые системы, задача Римана-Гильберта, спектральная теория и теория рассеяния, асимптотическая теория ортогональных полиномов

Код ГРНТИ27.35.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Проект (22_24) в значительной степени продолжает исследования, начатые в рамках предыдущего, 19_21 РНФ гранта. Он преследует ту же общую цель развития новых методов математической физики, основанных на синтезе таких традиционных областей анализа как спектральная теория дифференциальных и интегральных операторов и теория рассеяния и дифракции с идеями и методами современной теории интегрируемых систем. Наряду с исследованиями, продолжающими уже начатые исследования в предыдущий период, в новом проекте существенное место занимает и анализ новых задач, не связанных непосредственно с предыдущим проектом. В рамках этой основной цели в Проекте 22 _ 24 предлагается сконцентрировать усилия на следующих пяти, взаимно связанных направлениях: (I) Исследование асимптотического поведения решения задачи Коши для цилиндрического уравнения Кортевега –де Фриза. Данное уравнение интегрируется методом обратной задачи и имеет соответствующую L-A пару. В отличие от обычного уравнения Кортевега –де Фриза, для цилиндрического уравнения оператором L является оператор Штарка с потенциалом в виде суммы линейной и быстро убывающей функций. Предполагается изучить связь между асимптотиками решения цилиндрического уравнения Кортевега –де Фриза при больших и малых временах. Изучение задач Римана-Гильберта для спектральных обратных задач, связанных с оператором Шредингера на полуоси. Предполагается рассмотреть новые важные для приложений потенциалы, например, суммы кулоновского или отрицательного параболического потенциалов и функции из класса Шварца. (II) Спектральная теория оператора Мёлера M (это интегральный оператор с ядром 1/[\pi(x+y)] на интервале (0,1)) и его возмущений компактными интегральными операторами T с относительно гладкими ядрами. Исследование дискретных и непрерывных спектров интегральных операторов M+T. Условия возникновения дискретного спектра M+T и его конечности. Структура собственных функций непрерывного спектра и теория рассеяния. Асимптотическое поведение решений соответствующего эволюционного уравнения. Исследование связи этой теории со спектральными свойствами функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфными коэффициентами. Ожидается использование этих результатов для описания асимптотики собственных функций оператора Лапласа с сингулярным потенциалом, сосредоточенным на конических или клиновидных поверхностях. Предполагается также дальнейшее развитие метода Фокаса решения задач дифракции для многоугольных плоских областей и выявления его связей с классической теорией Малюжинца. Кроме того, предлагается проанализировать параллели теории Малюжинца и теории точно решаемых моделей квантовой теории поля. Эта часть проекта имеет пересечения в используемых методах с частями (I) и (III). (III) Спектральный анализ операторов Якоби и асимптотическое поведение ортогональных полиномов. Основная цель состоит в изучении случая растущих рекуррентных коэффициентов, содержащем, в частности, классические полиномы Эрмита и Лагерра. Mы планируем также рассмотреть рекуррентные коэффициенты, растущие так быстро, что соответствующее разностное уравнение оказывается в ситуации предельной окружности. (IV) Построение асимптотической теории определителей сумм теплицевых и ганкелевых матриц в случае, когда слагаемые задаются различными символами. Во всех предыдущих исследованиях теплицев и ганкелев символы предполагались или совпадающими, или связанными определенными жесткими соотношениями. Как важное приложение, предполагается вычислить спектральные асимптотики ганкелевых матриц. Предполагается также вычислить асимптотики хвостов функций распределения Трэйси - Видома для произвольного бета ансамбля случайных матриц. Упомянутая функция распределения является одной из основных функций распределения современной теории стохастических процессов. Относительно асимптотики ее хвостов для произвольного бета пока имеются только гипотезы. Эта часть проекта имеет пересечения в рассматриваемых задачах с частью (III); при этом подходы развиваемые в этих частях методологически дополнительны к друг другу. (V) Развитие математической теории рассеяния для системы теории упругости в волноводе с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность. Предполагается, что в каждом выходе характеристики среды стабилизируются с экспоненциальной скоростью к функциям, зависящим от точки на сечении. Схема исследования остается той же, что была использована нашей группой для построения математической теории рассеяния для квантовых, акустических и электромагнитных волноводов. Распространение полученных ранее результатов по теории рассеяния в волноводах на случай, когда коэффициенты задачи стабилизируются на бесконечности со степенной скоростью. В этой ситуации все составные части теории требуют пересмотра. Однако, по сравнению со случаем, когда стабилизация коэффициентов происходит сколь угодно медленно, имеется возможность получить конкретные аналитические результаты. В предлагаемом проекте мы планируем рассмотреть акустические и квантовые волноводы. Эти части проекта пересекаются с частью (II).

Ожидаемые результаты
• Будет получена асимптотика решения соответствующей задачи Римана-Гильберта при малых временах. • Будет установлено асимптотическое поведение решения задачи Коши для цилиндрического уравнения Кортевега-де Фриза с гладким, хорошо убывающим начальным данным при малых временах. • Будет найдена связь асимптотических решений цилиндрического уравнения Кортевега-де Фриза при больших и малых временах, как результат соответствующего нелинейного рассеяния. • Будет расширен класс начальных данных и проведено асимптотическое исследование новой задачи Римана на лучах. Будут выделены новые режимы в асимптотике и изучено поведение решений в переходных областях, установлена связь с трансцендентами Пенлеве и уравнением КПШ. • Будет исследована задача Римана-Гильберта для спектральной обратной задачи для оператора Шредингера с вещественным потенциалом в виде суммы кулоновского потенциала и функции из класса Шварца. • Будет исследована задача Римана-Гильберта для спектральной обратной задачи для оператора Шредингера с вещественным потенциалом в виде суммы параболы с ветвями вниз и функции из класса Шварца. • Ожидается полное описание связи задач построения асимптотик собственных функций в конусовидных и клиновидных областях со характеристическими задачами для функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфным потенциалом из специального класса. • Предполагается исследовать упомянутый класс функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфным потенциалом с помощью редукции к интегральным уравнениям с возмущенным оператором Мёлера M+T. • Изучить условия существования (возникновения) непрерывного и точечного (существенного и дискретного) спектров этого оператора. Условия конечности дискретного спектра будут описаны в терминах возмущения. • Изучить собственные функции непрерывного спектра возмущенного оператора Мёлера M+T и построить теорию рассеяния. • Будет изучен оператор эволюции, отвечающий оператору Мёлера M и его возмущениям M+T, а также асимптотика нестационарной задачи Коши для этого оператора на больших временах. • Будет установлена связь ‘’глобального условия’’ - ключевого элемента схемы Фокаса, и функциональных уравнений Малюжинца. Предполагается использование метода задачи Римана для включения произвольных граничных условий в изучение распространения акустических волн на клине. Ожидается также выявление связи уравнений Малюжинца с функциональными уравнениями Трэйси - Видома для термодинамического анзатца Бете и уравнениями Смирнова в теории бутстрапа в квантовой модели синус - Гордон. .• Ожидается вычисление, методом задачи Римана, коэффициентов рассеяния рэлеевских волн на границе четверть плоскости. • Основная задача состоит в получении асимптотических формул при больших номерах n для ортогональных полиномов P_n (z) с растущими на бесконечности недиагональными рекуррентными коэффициентами а_ n. Это включает классические полиномы Эрмита и Лагерра. • Параллельно предполагается построить спектральную теорию операторов Якоби с рекуррентными коэффициентами такого типа. Результаты должны существенно зависеть от скорости роста коэффициентов a_n при больших n, а также от соотношений между диагональными b_n и недиагональными a_n рекуррентными коэффициентами. • В случае очень быстрого роста коэффициентов a_n классическое условие Карлемана не выполняется и оператор Якоби не является в существенном самосопряженным. Мы планируем эффективно описать все его самосопряженные расширения и построить их резольвенты. • Критический случай, когда коэффициенты a_n и b_n имеют общий порядок роста, требует специального рассмотрения. Ожидается, что в этом случае асимптотические формулы будут далеко идущими обобщениями классических формул для полиномов Лагерра. • Вывод аналога тождества Кристоффеля - Дарбу и получение на его основе дифференциальных тождеств связывающих определители сумм теплицевых и ганкелевых матриц с решениями соответствующей задачи Римана. Вычисление асимптотики самих T+Х (Тёплиц + Ганкель) определителей. • Распространение формализма задачи Римана на T+Х определители, чьи символы имеют особенности . • Применение полученных результатов к модели Изинга в полуплоскости и к вычислению асимптотики характеристического определителя матриц Ганкеля. • Установление глобальной разрешимости задачи Римана, отвечающей найденному в рамках предыдущего проекта решению системы Калоджеро - Пенлеве. Доказательство, что тау-функция построенного решения действительно описывает распределение Трэйси – Видома для значения параметра beta=6. • Вычисление постоянного члена асимптотики тау-функции и, тем самым, завершение строгого вывода асимптотика хвоста функции распределения Трэйси - Видома для бета ансамбля с бета = 6. Будет также рассмотрена возможность обобщения развитого подхода на случай произвольного четного значения параметра бета. • Будет установлен принцип предельного поглощения для волноводов теории упругости при экспоненциальной стабилизации коэффициентов, с его помощью будут получены спектральные разложения операторов возмущенной и невозмущенной задач, вычислены волновые операторы и оператор рассеяния. В качестве возмущенной выступает задача в волноводе, а невозмущенная задача ставится в объединении соответствующих цилиндров. • Будут изучены краевые задачи для скалярного дифференциального оператора второго порядка в областях с несколькими цилиндрическими концами при степенной стабилизации коэффициентов на бесконечности. В частности, будет дано подробное описание асимптотики решений таких задач на бесконечности и будет предложена корректная постановка таких задач с естественными условиями излучения. • Будет построена математическая теория рассеяния для квантовых и акустических волноводов при степенной стабилизации коэффициентов на бесконечности (принцип предельного поглощения, спектральные разложения, формулы для волновых операторов и оператора рассеяния). Ожидается, что все полученные результаты будут соответствовать мировому уровню.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---