КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 22-11-00071

НазваниеАппроксимация аналитическими функциями, интерполяция и сэмплинг, свойства L-емкостей

РуководительФедоровский Константин Юрьевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет", г Санкт-Петербург

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2024 г.

Конкурс№68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые словаАппроксимация, эллиптическое уравнение, L-емкость, сингулярный интегральный оператор, неванлинновская область, задача Дирихле, канонические системы, неделимые интервалы, инвариантные подпространства, теория потенциала, меры Карлесона

Код ГРНТИ27.27.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на исследование широкого спектра актуальных задач современного математического анализа, относящихся к различным аспектам теории приближений аналитическими функциями, и состоит из нескольких направлений, объединенных близкими методами и идеями. Основные направления проекта: А) Исследование задач аппроксимации функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами и систем таких уравнений, а также элементами полиномиальных и рациональных модулей полианалитического типа в нормах пространств непрерывных и гладких функций на компактах на плоскости и в пространстве. Это классическое направление, восходящее к работам К. Вейерштрасса и К. Рунге и получившее свое развитие в середине 20-го столетия в исследованиях Д. Уолша, М.В. Келдыша, С.Н. Мергеляна, А.Г. Витушкина, посвященных задачам аппроксимации голоморфными и гармоническими функциями и многочленами. В последние десятилетия активно исследуется тематика аппроксимации функций решениями общих однородных эллиптических уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Отметим работы А. Буаве, Д. Вердеры, С. Гардинера, П.М. Готье, А.Б. Зайцева, Д. Кармоны, М.Я. Мазалова (участник проекта), А.Г. О'Фаррела, П.В. Парамонова (участник проекта), Н.Н. Тарханова, К.Ю. Федоровского (руководитель проекта), В.П. Хавина и Н.А. Широкова. При этом остается большое число важных нерешенных проблем, среди которых можно выделить получение критериев равномерной аппроксимации функций полиномиальными решениями систем эллиптических уравнений второго порядка. Нужно отметить также задачу об описании генераторов рациональных модулей, для которых выполнено утверждение о тривиальности условий приближаемости для классов функций. Эта задача – естественное развитие известной проблемы Д. Вердеры об аппроксимации бианалитическими функциями, недавно решенной М.Я. Мазаловым. Важное место в данной проблематике занимают задачи, связанные со специальными аналитическими классами плоских односвязных областей, которые возникают в критериях равномерной полиномиальной аппроксимации (неванлинновские и L-специальные области). Недавно возникло новое направление исследований, связанное с изучением условий приближаемости функций решениями эллиптических уравнений порядка выше двух в пространствах Гельдера с показателями между 0 и 1. Б) Другое направление проекта, тесно связанное с предыдущим, – это изучение свойств L-емкостей множеств в пространствах R^N, N>1, определяемых эллиптическими дифференциальными операторами L второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами. Решения уравнения Lf=0 мы будем называть L-аналитическими функциями. Такие емкости возникают в задачах равномерной аппроксимации L-аналитическими функциями: в этих терминах формулируются критерии приближаемости. Интересными, важными и трудными задачами являются описание CL-емкостей (L-емкостей, определяемых непрерывными L-аналитическими функциями) в метрических терминах, вопрос о соизмеримости CL-емкостей с классическими гармоническими емкостями, вопросы о полуаддитивности CL-емкостей. Исследования по этой тематике естественно рассматривать как развитие исследований о свойствах аналитической и C^1-гармонической емкостей, которые активно велись и ведутся в течении последних пятидесяти лет и которые привели к таким прорывным результатам, как недавнее решение Х. Толсой проблем полуаддитивности аналитической и C^1-гармонической емкостей. Эти вопросы были открыты с середины 1960-х годов. В) Еще одно направление – получить описание (вещественных) множеств интерполяции и сэмплинга для подпространств L^2 на вещественной оси, инвариантных относительно целочисленных сдвигов. Такие подпространства порождены целочисленными сдвигами одной фиксированной функции (генератора подпространства). Предполагается изучить как новые аналитические генераторы, так и бесконечно дифференцируемые генераторы из класса Шварца. Еще одна задача – это описание резонансов для оператора Шредингера на конечном интервале. Хорошо известно, что все резонансы лежат вне некоторой логарифмической полосы. В ходе выполнения проекта планируется найти другие ограничения на расположение резонансов. В частности, планируется получить описание множества резонансов в угле Штольца и охарактеризовать соответствующие порождающие функции из класса Эрмита-Билера. Выделим еще одну задачу проекта: найти количественные ограничения на расположение неделимых интервалов для канонических систем с целочисленным спектром. Недавно участник проекта Ю.С. Белов (совместно с А.А. Боричевым) установили следующий качественный результат: если каноническая система на конечном интервале имеет целочисленный спектр (один из двух спектров совпадает с множеством целых чисел), то соответствующий гамильтониан может содержать неделимый интервал, но не может содержать двух неделимых интервалов подряд. В рамках запланированных исследований предполагается найти ограничения на возможное расположение неделимого интервала. В частности, найти верхнюю оценку на возможную длину неделимого интервала в естественной параметризации системы с единичным следом гамильтониана. Г) Следующее направление работы по проекту связано с теоремами вложения для различных гильбертовых пространств аналитических и гармонических функций в диске, в шаре и в полидиске. Естественно возникает целая группа задач, которая включает в себя получение конформно-инвариантной версии теоремы вложения для аналитического пространства Дирихле в диске, описание карлесоновых мер для пространства Друри-Арвесона на шаре с помощью дискретизации и построения подходящего аналога этого пространства на графах, а также получение двухвесовых оценок для оператора Харди в трехмерном пространстве в линейном случае. Д) Кроме этих направлений в рамках проекта планируется исследование вопроса о вейлевской или квази-вейлевской асимптотике спектра канонических систем, решить задачу характеризации систем с вейлевской асимптотикой. Будут изучены вопросы об интерпретации формул суммирования типа Пуассона и Вороного в терминах спектральной теории и выводе новых формул такого типа, а также об их приложениях в аналитической теории чисел. Большинство участников проекта – ключевые исполнители успешно завершенного проекта РНФ 17-11-01064 (с продлением) «Аппроксимация аналитическими функциями». Ряд задач нового проекта возникли в результате развития проведенных исследований. Среди таких задач необходимо отметить задачи о свойствах L-емкостей. Также в ходе выполнения названного проекта были разработаны новые методы и подходы, которые составляют основу научного задела для предлагаемых исследований. Кроме того, была сформирована активно работающая научная группа, имеющая на данный момент значительный успешный опыт совместной работы (доказательство гипотезы Ньюмана-Шапиро – участник проекта Ю.С. Белов совместно с А.А. Боричевым, Journal of the European Mathematical Society, Q1; решение задачи о размерности границ неванлинновских областей – участники проекта Ю.С. Белов и К.Ю. Федоровский совместно с А.А. Боричевым, Journal of Functional Analysis, Q1; Lip^m-непрерывность оператора гармонического отражения – участники проекта П.В. Парамонов и К.Ю. Федоровский, журнал Analysis and Mathematical Physics, Q1). Два молодых участника группы проекта 17-11-01064 – И.А. Бочков и А.И. Куликов, – входящие также в число исполнителей данной заявки, получили в 2020 и 2021 гг. медали РАН и премии для молодых ученых (И.А. Бочков за доказательство гипотезы Валента, а А.И. Куликов – за работы по интерполяции Фурье). В 2021 году они оба стали лауреатами премии молодым математикам России, учрежденной Образовательным центром «Сириус».

Ожидаемые результаты
1) Получение новых результатов о свойствах BL- и CL-емкостей, т.е. емкостей, определяемых ограниченными и непрерывными L-аналитическими функциями соответственно. Для широкого класса эллиптических операторов L второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами будут получены метрические описания BL- и CL-емкостей, определяемых потенциалами положительных борелевских мер. В частности, будут решены вопросы о полуаддитивности таких емкостей и об их соизмеримости с соответствующими гармоническими емкостями. Будут также получены новые результаты метрического характера о свойствах обычных BL- и CL-емкостей. 2) Получение новых необходимых и достаточных условий равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и систем таких уравнений на компактах в комплексной плоскости. В частности, планируется изучить вопрос о плотности многочленов из ядра соответствующего эллиптического оператора в пространствах непрерывных функций на границах областей Каратеодори в комплексной плоскости. Получение новых свойств L-специальных областей (специальный аналитический класс областей в плоскости, в терминах которых формулируются известные результаты о полиномиальных приближениях). 3) Получение новых результатов о приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами порядка выше двух на компактных подмножествах комплексной плоскости в нормах пространств Гельдера с показателями между 0 и 1. 4) Доказательство новых критериев равномерной приближаемости функций на компактах в комплексной плоскости элементами полиномиальных и рациональных модулей полианалитического типа. В этом направлении планируется изучить вопрос об описании компактов, для которых условие рациональной аппроксимации для классов функций тривиально (т.е. для которых справедлив аналог гипотезы Д. Вердеры). Кроме того, планируется найти и изучить новые аналитические классы областей, возникающие в связи с задачей о плотности элементов рассматриваемых полиномиальных модулей в пространствах непрерывных функций на границах плоских областей. 5) Найти новые классы сэмплинг последовательностей для подпространств инвариантных относительно целочисленных сдвигов с аналитическими генераторами и другими генераторами из класса Шварца. Доказать, что любая последовательность в угле Штольца может быть множеством резонансов для оператора Шредингера на конечном интервале. Найти количественные ограничения на возможное расположение неделимого интервала для канонических систем с целочисленным спектром. 6) Найти необходимые и достаточные условия на меру, удовлетворяющую теореме вложения для дискретного пространства Дирихле на единичном круге в конформно-инвариантной постановке. Изучить поведение карлесоновых мер пространства Друри-Арвесона на шаре с точки зрения дискретной модели. Получить условия для пар весов в задаче об ограниченности оператора Харди в трехмерном пространстве в линейном случае. 7) Изучить вопрос о вейлевской асимптотике спектра канонических систем. Описать все канонические системы, обладающих такой асимптотикой, или найти необходимые и достаточные условия, близкие к оптимальным. Разработать аппарат получения формул типа Пуассона и Вороного, применимых к задачам аналитической теории чисел. Все эти задачи хорошо известны на мировом уровне, постановки многих из них опубликованы в ведущих математических журналах. Они давно привлекают внимание специалистов и требуют глубоких исследований. Планируемые результаты проекта не только соответствуют мировому уровню, но и в ряде случаев его определяют. Эти результаты планируется опубликовать в ведущих международных и российских математических журналах, а также представить на международных конференциях по математическому анализу и математической физике.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В 2022 году в рамках проекта 22-11-00071 “Аппроксимация аналитическими функциями, интерполяция и сэмплинг, свойства L-емкостей” рассматривалась задача о свойствах BL- и CL-емкостей, связанных с однородными эллиптическими дифференциальными уравнениями Lf=0 второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами в евклидовых пространствах размерности 3 и выше. Эти емкости, определяются классами ограниченных и непрерывных решений таких уравнений, соответственно. Вместе с ними рассматривались их “положительные” аналоги, которые определяются при помощи потенциалов положительных борелевских мер. Было установлено, что для всех эллиптических операторов рассматриваемого вида соответствующие положительные емкости соизмеримы (с точностью до мультипликативной постоянной, зависящей только от рассматриваемого оператора) с классической гармонической емкостью теории потенциала. При получении этого результата были найдены и использованы ранее не отмечавшиеся свойства фундаментальных решений рассматриваемых уравнений и соответствующих эллиптических квадратичных форм. Полученные результаты являются важным шагом на пути решения общей задачи о соизмеримости L-емкостей с гармонической емкостью (в соответствующей размерности). Доказательство такой соизмеримости позволит полностью понять метрические свойства L-емкостей и получить, в частности, описание их нуль-множеств (которые, в свою очередь, представляют большой интерес, так как являются множествами устранимых особенностей для решений рассматриваемых уравнений в классах непрерывных и ограниченных функций). Были получены новые необходимые и достаточные условия равномерной приближаемости функций на компактах Каратеодори в комплексной плоскости элементами полиномиальных и рациональных модулей полианалитического типа, порождаемых целыми антиголоморфными генераторами. В связи с этой задачей было начато изучение g-неванлинновских областей – специального аналитического класса односвязных областей в комплексной плоскости, определяемого в терминах свойства g-псевдопродолжимости конформного отображений единичного круга на рассматриваемую область. Свойство g-псевдопродолжимости – это новая разновидность хорошо известного свойства псевдопродолжимости. Далее, была исследована конформно-инвариантная постановка теоремы вложения типа Карлесона для пространства Дирихле в единичном круге. Была построена дискретная модель такой задачи на бесконечном двоичном дереве без корня, где следовая мера предполагается заданной на произведении двух таких деревьев. Для меры типа произведения были получены условия на ограниченность вложения, в общем случае было доказано неравенство типа сильного емкостного для емкостей конденсаторов, состоящих из множеств уровня функции на дереве, и показано, что условие субъемкостного типа достаточно для ограниченности внедиагональной части нормы относительно данной меры. Рассмотрена задача Дирихле для сильно эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами в плоских областях, приведенная к каноническому виду с двумя вещественными параметрами. Для жордановых областей с Дини-гладкими границами и для граничных данных из класса Гельдера с показателем 1/2 получен метод нахождения решения в виде равномерно сходящегося функционального ряда по двум указанным параметрам, членами которого являются решения подходящих гармонических задач Дирихле и Пуассона, связанные с рассматриваемой системой и с данной граничной функцией. Наконец, были построены примеры, показывающие что аналог Вейлевской асимптотики для канонических систем порядка, меньшего единицы, не сохраняется при чрезвычайно малых возмущениях. Указан широкий класс матриц Якоби, для которых квази-Вейлевская асимптотика все-таки справедлива.

Публикации

1. Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с ними B- и C-емкости Математический сборник / Sbornik Mathematics, - (год публикации - 2023)

2. Федоровский К.Ю. Nevanlinna domains and uniform approximation by polyanalytic polynomial modules Fields Institute Monographs, - (год публикации - 2023)

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В 2023 году в рамках проекта 22-11-00071 “Аппроксимация аналитическими функциями, интерполяция и сэмплинг, свойства L-емкостей” рассматривалась задача о свойствах BL- и CL-емкостей, связанных с однородными эллиптическими дифференциальными уравнениями Lf=0 второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами в евклидовых пространствах размерности 3 и выше. Эти емкости определяются классами ограниченных и непрерывных решений таких уравнений, соответственно. Вместе с ними рассматривались их “положительные” аналоги, которые определяются при помощи потенциалов положительных борелевских мер. В терминах BL- и CL- емкостей описываются устранимые особенности решений однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами, а также формулируются критерии равномерной приближаемости функций решениями таких уравнений. Одним из основных результатов проекта, полученных в 2023 году, является результат о соизмеримость BL- и CL-емкостей для общих операторов L рассматриваемого вида с гармоническими емкостями в соответствующих размерностях во всех пространствах R^N, N>=2. Получены новые достаточные условия равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями общих эллиптических систем второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на границах областей Каратеодори в комплексной плоскости. Эти условия формулируются в терминах специальных аналитических свойств областей, на границах которых рассматривается аппроксимация (понятие L-специальной области). Несмотря на достаточно частный характер этих результатов они представляют значительный интерес, так как в задаче аппроксимации функций полиномиальными решениями указанных систем общего вида, в отличие от случая систем, соответствующих эллиптическим уравнениям второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами, возникают новые принципиальные трудности и характер соответствующих критериев приближаемости в общем случае пока совершенно неясен. Изучалась модель теории потенциала на 2^d-дереве с потенциальным ядром, соответствующим воспроизводящему ядру пространства Друри-Арвесона. Подобное дискретное ядро представляется в виде произведения дискретного ядра Сеге для 2^d-дерева и обратного к ядру Сеге для обычного двоичного дерева. Такая модель рассматривалась как частный случай модели на произведении деревьев с быстро растущими или убывающими ядрами, где базовое дерево составляет диагональную часть произведения. Были получены оценки емкости для соответствующих ядер, а также проведено сравнение дискретной емкости и ее непрерывного аналога. Для кососимметрических сильно эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами получена функция Грина и интегральное представление типа Пуассона в круге, угле и произвольной полосе. Аналогичные результаты для круга и полуплоскости получены и для общей двухпараметрической сильно эллиптической системы канонического вида, которая рассмотрена как возмущение кососимметрической системы. Исследована разрешимость задачи Дирихле в жордановых областях для этой двухпараметрической системы, причем она рассмотрена как возмущение уравнения Лапласа по одному малому параметру, выражающемуся через два канонических параметра системы. Решение задачи Дирихле найдено в виде функционального ряда по степеням малого параметра. Функции, являющиеся коэффициентами такого ряда, находятся последовательно как решения задач Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона. Доказано, что получающийся ряд сходится равномерно в замыкании области при следующем условии: композиция граничной функции и следа конформного отображения круга на область принадлежит классу Гельдера с показателем выше, чем 1/2. Описано пространство, отвечающее условной мере для детерминантного процесса, связанного с пространством Фока, с фиксированными точками в половине дискретной решетки. Даны два описания этого пространства -- в терминах преобразований Бергмана и Зака и во внутренних терминах. Полученные результаты сопоставлены с решением аналогичной задачи для пространства Пэли-Винера.

Публикации

1. Багапш А.О. Perturbation method for strongly elliptic second order systems with constant coefficients Ufa Mathematical Journal, Vol. 15, No. 4, Pp. 21-30 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.13108/2023-15-4-21

2. Багапш А.О., Федоровский К.Ю., Мазалов М.Я. On Dirichlet problem and uniform approximation by solutions of second-order elliptic systems in R^2 Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 531,Issue 1, Part 2, 127896 (год публикации - 2024) https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2023.127896

3. Мазалов М.Я. О \gamma_L-емкостях канторовых множеств Алгебра и Анализ (переводная версия, индексируемая в базах данных: St. Petersburg Mathematical Journal), Том 35, No. 5, С.171-182 (год публикации - 2023)

4. Мазалов М.Я. О соизмеримости некоторых емкостей с гармоническими Успехи математических наук (переводная версия, индексируемая в базах данных: Russian Mathematical Surveys), Том 78, вып. 5, С.183-184 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.4213/rm10104

5. Н. Аркоцци, П.А. Мозоляко, К.-М. Перфект, Д. Сарфатти Bi-parameter potential theory and Carleson measures for the Dirichlet space on the bidisc Discrete Analysis, - (год публикации - 2024)

6. Федоровский К.Ю. Uniform approximation by polynomial solutions of elliptic systems on boundaries of Caratheodory domains in R^2 Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 44, No. 4, Pp.1299-1310 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S199508022304008X

7. Кармона Д.Д., Федоровский К.Ю. Caratheodory sets in the plane Memoirs of the European Mathematical Society, - (год публикации - 2024)