Аннотация результатов, полученных в 2022 году
I. Теория усреднения • Изучалось усреднение уравнений типа Шрёдингера в R^d. Пусть A_ε – матричный сильно эллиптический ДО второго порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от x/ε. Известно, что при ε → 0 экспонента exp(-i t A_ε) сходится по операторной норме из H^3 в L_2 к экспоненте от эффективного оператора A^0, а погрешность оценивается через C(1+|t|)ε. Мы занимались построением более точного приближения к экспоненте exp(-i t A_ε) по (H^s→L_2)-норме (с подходящим s), а также приближением в энергетической норме. Эти приближения удалось построить для «подправленной» экспоненты exp(-i t A_ε) (I + ε K(ε)). Оператор K(ε) содержит некоторый быстро осциллирующий множитель, ДО первого порядка и сглаживающий оператор. Для «подправленной» экспоненты получено приближение по (H^6→L_2)-норме с погрешностью порядка (1+|t|)^2 ε^2, а также приближение по (H^4→H^1)-норме с погрешностью порядка (1+|t|)ε. В общем случае результаты точны по типу нормы и в отношении зависимости оценок от t, но при дополнительных условиях получено усиление. Результаты применены к усреднению задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера (с оператором A_ε) с начальными данными из специального класса. • Изучалось усреднение нелокального оператора Шрёдингера Н_ε u (x) = ε^{-d-2} ∫a((x-y)/ε) m(x/ε,y/ε) (u(x) - u(y)) dy в L_2(R^d). Предполагалось, что a(x) = a(-x) ≥ 0, причем функция (1+|x|)^3 a(x) суммируема. Коэффициент m(x,y) = m(y,x) положительно определен, ограничен и периодичен по каждой переменной. Мы доказали сходимость резольвенты Н_ε по операторной норме в L_2 к резольвенте эффективного оператора H^0 = - div g^0 grad и получили оценку погрешности точного порядка ε. • Изучалось усреднение вблизи края лакуны эллиптического ДО A_ε = D g(x/ε) D + ε^{-2} p(x/ε) в R^1 с периодическими коэффициентами. Пусть ε^{-2} ν – правый край некоторой лакуны в спектре A_ε. Построена аппроксимация резольвенты A_ε в точке (ε^{-2} ν - δ) по (L_2→H^1)-норме с погрешностью точного порядка ε. • Изучалось усреднение параболического уравнения вблизи края лакуны. В R^d рассматривался эллиптический ДО A_ε = - div g(x/ε) grad + ε^{-2} p(x/ε) с периодическими коэффициентами. Пусть ε^{-2} ν – правый край некоторой лакуны в спектре A_ε, а E_ε – спектральный проектор, отвечающий полуоси [ε^{-2} ν, ∞). Получена аппроксимация оператора exp(-A_ε t) E_ε по (L_2→L_2)-норме при фиксированном t > 0 и малом ε с остатком точного порядка ε (по модулю множителя exp(- ε^{-2} ν t)), а также более точная аппроксимация с корректором. • Исследовано усреднение матричного сильно эллиптического локально периодического ДО A_ε = D* a(x,x/ε) D в липшицевой области с достаточно общими граничными условиями. Коэффициенты предполагались гёльдеровыми по «медленной» переменной с показателем s > 0 – всюду вне липшицевой кривой Γ, а на Γ имели разрыв. По «быстрой» переменной должна быть лишь периодичность и ограниченность. Предполагалось, что для эффективного оператора A^0 справедливо повышение гладкости: резольвента A^0 непрерывно отображает L_2 в пространство Липшица–Бесова Λ_2^(1+s). Для резольвенты A_ε мы получили приближения по (L_2→L_2)-норме с погрешностью порядка ε^s и по (L_2→H^1)-норме с погрешностью порядка ε^(s/2). II. Спектральная теория периодических операторов и смежные вопросы • Изучался оператор Лапласа в d-мерном параллелепипеде с периодическими краевыми условиями. Его спектр совпадает с множеством значений квадратичной формы некоторой положительной матрицы A на целочисленных векторах. Мы рассматриваем случай целочисленной матрицы A. Было известно, что при d = 2 длины лакун в этом множестве не ограничены, а при d ≥ 4 – ограничены. Удалось доказать, что и при d = 3 они ограничены. • Гипотеза Пойа гласит, что выполняется равномерная оценка считающей функции собственных значений оператора Лапласа в ограниченной области в R^d с условием Дирихле или Неймана через главный член вейлевской асимптотики. Удалось доказать гипотезу Пойа для задачи Дирихле и задачи Неймана в круговом секторе произвольного раствора, а также для задачи Дирихле в шаре произвольной размерности. • Мы рассматриваем уравнение –Δu(x,y) + V(x,y)u(x,y) = 0 в полуцилиндре [0,∞)x(0,a)^d. Функции u и V – вещественнозначные, u – гладкая, V – ограниченная. На боковой поверхности ставятся периодические граничные условия. При d ≥ 3 мы построили пример нетривиального решения u, убывающего как exp(-c x^{4/3}). Известно, что более быстрое убывание невозможно. III. Спектральная теория квазипериодических разностных операторов Изучались разностные квазипериодические операторы Шрёдингера в ℓ_2(Z) вида Af(k) = f(k+1) + f(k-1) + v(ωk+θ) f(k), где 0 < ω < 1 и 0 ≤ θ < 1. Предполагалось, что v – непрерывная 1-периодическая функция, а частота ω иррациональна. Рассматривался также оператор B в L_2(R) вида Bψ(x) = ψ(x+ω) + ψ(x-ω) + v(х) ψ(x). Для почти всех θ спектры A и B (с одним v) cовпадают. • Модель Сарнака. Изучался оператор A с потенциалом v(x) = λ exp (-2π i x), где λ > 1. При условии, что сходится ряд Σ_(n>1) exp(-ξ / (ω_0 ω_1 ω_2 … ω_(n-1))) / ω_n, где ω_(j+1) = {1/ ω_j}, ω_0 = ω, 2π ξ = ln (λ), а { . } – дробная часть, показано, что A имеет собственные значения E(n) = 2 cos (2π (ωn+θ+iξ)), где n – целое. Соответствующие собственные функции строятся с помощью метода монодромизации. Решение уравнения Af = Ef можно выразить через решение перенормированного уравнения с новыми параметрами вместо ω, θ, λ и E. После m перенормировок решение полученного уравнения при 0 ≤ k ω_m + θ_m < 1 определяет решение исходного уравнения для всех k на интервале длины порядка L_m = 1/(ω_0 ω_1 ω_2 … ω_m). При E = E(n), для подпоследовательности m_j → ∞ при подходящем выборе решений m_j-х уравнений, решения исходного уравнения на интервалах длины порядка L_m сходятся в ℓ_2 к собственной функции оператора A. Эта конструкция собственных функций новая и должна позволить описать их многомасштабную самоподобную структуру. • Решение уравнения Шрёдингера Bψ = E ψ называется блоховским, если оно инвариантно относительно сдвига на 1 с точностью до ω-периодического множителя. Мы доказали, что E находится в резольвентном множестве оператора B тогда и только тогда, когда существуют два линейно независимых блоховских решения этого уравнения, экспоненциально убывающих в противоположных направлениях. Изучая блоховские решения, мы показали, что оператор B не имеет точечного спектра. • Модель Ганешана–Пиксли–Дас Сарма. Мы исследовали оператор B с потенциалом v(x) = λ / (1+ ε cos(2π x)), где 0 < ε < 1 и 0 < λ << 1. В пространстве мероморфных решений уравнения Bψ = E ψ построен базис, для которого матрица монодромии оказывается унимодулярной мероморфной 1-периодической матрицей-функцией, имеющей два простых полюса на периоде и стремящейся к постоянным при Im x →±∞. Положение полюсов известно. Эти свойства матрицы монодромии и свойства, вытекающие из вещественности v на R, определяют матрицу монодромии с точностью до двух постоянных коэффициентов, асимптотику которых при λ → 0 мы нашли. Это позволяет асимптотически описать несколько лакун в спектре. • Изучалась модельная задача о распространении звука в узком водном клине вблизи берега моря. Звук распространяется в нижней полуплоскости P. Процесс описывается уравнением Гельмгольца ∆ U + k^2 U = 0, где показатель преломления k – кусочно-постоянная функция, равная k_0 > 1 в «водном клине» – узком угле внутри P, примыкающем к границе, и равная 1 в «дне» – оставшейся части P. На границе P ставится условие Дирихле, а на границе «вода-дно» решение и его нормальная производная непрерывны. Мы изучаем решение U, которое в клине, достаточно далеко от его вершины, допускает при ε → 0 асимптотическое разложение типа адиабатической нормальной волны (ε – тангенс угла раствора клина). Старший член пропорционален собственной функции оператора Штурма–Лиувилля, зависящего от горизонтальной переменной x как от параметра. При приближении x к вершине клина соответствующее собственное значение движется к краю непрерывного спектра и, достигнув его, исчезает. Для U в дне вблизи «момента» исчезновения собственного значения мы получили равномерную асимптотику. Она упрощается в пограничном слое, где старший член выражается через функции Эйри и экспоненту от многочленов погранслойных координат.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
I. Теория усреднения • Изучалось усреднение гиперболических уравнений в R^d. Пусть A_ε – матричный эллиптический ДО второго порядка с периодическими коэффициентами, зависящими от x/ε. Известно, что при ε → 0 операторы cos (t A_ε^{1/2}) и A_ε^{-1/2} sin (t A_ε^{1/2}) сходятся по (H^2→L_2)- и (H^1→L_2)-нормам соответственно к аналогичным функциям от эффективного оператора A^0, а погрешность оценивается через C(1+|t|)ε. Для A_ε^{-1/2} sin (t A_ε^{1/2}) известно также приближение по (H^2→H^1)-норме. Мы построили приближения к «подправленному» операторному косинусу cos (t A_ε^{1/2}) (I + ε K(ε)), где K(ε) содержит быстро осциллирующий множитель, ДО первого порядка и сглаживающий оператор. Для указанного оператора найдено приближение по (H^4→L_2)-норме с погрешностью порядка (1+|t|)^2 ε^2, а также приближение по (H^3→H^1)-норме с погрешностью порядка (1+|t|)ε. Для оператора A_ε^{-1/2} sin (t A_ε^{1/2}) получено приближение по (H^3→L_2)-норме с погрешностью порядка (1+|t|)^2 ε^2. В общем случае результаты точны по типу нормы и в отношении зависимости оценок от t, но при дополнительных условиях получено усиление. Результаты применены к усреднению задачи Коши с начальными данными из специального класса. • Изучалось усреднение нелокального оператора свёрточного типа Н_ε u (x) = ε^{-d-2} ∫a((x-y)/ε) m(x/ε,y/ε) (u(x) - u(y)) dy в L_2(R^d). Здесь a(x) = a(-x) ≥ 0, функция (1+|x|)^4 a(x) суммируема, функция m(x,y) = m(y,x) положительно определена, ограничена и периодична по каждой переменной. Резольвента Н_ε сходится по операторной норме в L_2 к резольвенте эффективного оператора H^0 = - div g^0 grad; погрешность имеет порядок O(ε). Мы получили более точную аппроксимацию резольвенты с учетом корректора с оценкой погрешности порядка O(ε^2). • Исследовалось усреднение матричных эллиптических операторов A_ε порядка 2p с периодическими коэффициентами в R^d. Наша цель – построить приближение резольвенты A_ε по (L_2→H^p)-норме с погрешностью O(ε^p). Для решения этой задачи мы разработали абстрактную теоретико-операторную схему, в рамках которой получена нужная аппроксимация резольвенты полиномиального неотрицательного операторного пучка. • Изучалось усреднение одномерного оператора B_ε = D^4 + ε^{-4}V(x/ε). Предполагалось, что V(x) – вещественная 1-периодическая функция класса L_1(0,1) и λ = 0 – край спектра оператора B = D^4 + V(x), а первая зонная функция E_1(k) оператора B на периоде имеет ровно две точки минимума k_0 и -k_0, причем E_1(k) ведет себя как b(k-k_0)^2 и b(k+k_0)^2 вблизи этих точек, b >0. Построена аппроксимация резольвенты (B_ε + I)^{-1} по (L_2→L_2)-норме с погрешностью O(ε^2) через сумму двух резольвент (ε^{-2} b D^2 + I)^{-1}, окаймленных подходящими быстро осциллирующими множителями. • Исследовалось усреднение матричных эллиптических ДО вида A_ε = D* a_ε(x) D в липшицевой области O c довольно общими граничными условиями. Область O разделена на липшицевы подобласти O_i, в каждой из которых a_ε(x) имеет вид a(x,x/ε_i(ε)), где ε_i(ε) → 0 при ε → 0. Функция a(x,y) равномерно непрерывна на O_i по x и равномерно ограничена и периодична – по y, причем на O_i модуль непрерывности a(x,y) подчинен функции φ_i(t) → 0 при t → 0. Пусть при 1<p<∞ область определения полуторалинейной формы оператора A_ε есть ω_p^1(O) x ω_p'^1(O), где каждое из двух множеств является подпространством соответствующего класса Соболева, согласованным с выбором граничных условий. Мы считаем, что резольвенты оператора A_ε и эффективного оператора A^0 непрерывны из ω_p^1(O) в ω_p'^1(O)*. Пусть операторный (L_p(O)→L_p(O_i))-модуль непрерывности градиента резольвенты A^0 подчинен функции φ_i, а аналогичное свойство для (A^0)^* выполняется с заменой p на p' и φ_i на некоторую ψ_i. Для резольвенты A_ε установлены приближения по (L_p→L_p)-норме с погрешностью порядка max_i φ_i(ε_i(ε))^1/p ψ_i(ε_i(ε))^1/p' и по (L_p→W_p^1)-норме с погрешностью порядка max_i φ_i(ε_i(ε))^1/p. II. Спектральная теория периодических операторов и смежные вопросы • Гипотеза Пойа гласит, что выполняется оценка считающей функции собственных значений оператора Лапласа в ограниченной области с условием Дирихле или Неймана через главный член вейлевской асимптотики. а) Обоснован аналог гипотезы Пойа для оператора Шрёдингера с магнитным потенциалом Ааронова-Бома в круге на плоскости. б) Для оператора Лапласа задачи Неймана в двумерной выпуклой области доказано неравенство, аналогичное гипотезе Пойа с константой, которая меньше, чем в самой гипотезе, но больше, чем в известной оценке Крюгера. в) Для задачи Неймана в шаре обоснована гипотеза Пойа для размерностей d = 3 и d ≥ 55. • Мы рассматриваем уравнение Шрёдингера –Δ u + V u = 0 в R^4. Функции u и V – вещественнозначные, u – гладкая, V – ограниченная. Построен пример нетривиального решения, убывающего как exp(-c |x|^{4/3 - ε}) для любого ε > 0. Известно, что убывание со скоростью exp(-N |x|^{4/3}) при всех N невозможно. III. Спектральная теория квазипериодических разностных операторов • Модель Сарнака. Изучался разностный оператор Шрёдингера A с потенциалом j → λ v(jω+θ), где v(x) = exp (-2π i x), а иррациональная частота 0<ω<1, константа связи 0<λ<1 и θ – параметры. Накладывалось условие сходимости ряда Σ_{n>1} exp( ξ / Ω(n) ) / ω(n), Ω(n) = ω(n-1) … ω(1) ω(0), ξ = ln( λ), где ω(0) = ω, а ω(n) – преобразование Гаусса числа ω(n-1), n>0. С помощью метода монодромизации построены обобщенные собственные функции оператора A вида f(j) = exp( i p(ω j+θ)) Φ(ω j+θ), где p не зависит от целочисленной переменной j, а Φ – 1-периодическая функция. Они построены в терминах (регуляризованного) бесконечного произведения матриц, скорость сходимости которого определяется скоростью сходимости ряда из наложенного условия. При этом n-ая матрица произведения строится через решение n-го разностного уравнения, возникающего в процессе перенормировок. Эти уравнения отличаются лишь значениями постоянных параметров, и конструкция явно указывает на самоподобные свойства обобщенных собственных функций. Изучен точечный спектр оператора A c λ>1, получено новое условие его существования и описана конструкция собственных функций, явно отражающая их самоподобное поведение на бесконечности. Исследована геометрия спектра разностного оператора Шрёдингера на оси с потенциалом v для разных значений ω и λ. • Модель Ганешана–Пиксли–Дас Сарма. Исследовался разностный оператор Шрёдингера на R с периодическим вещественно аналитическим потенциалом, имеющим по два простых комплексных полюса на периоде и стремящимся к нулю вдали от вещественной оси. Доказано, что для достаточно малой константы связи в пространстве решений уравнения Шрёдингера существует базис, в котором матрица монодромии – периодическая мероморфная функция, имеющая по два простых полюса на периоде и ограниченная на бесконечности вдали от вещественной оси. Все ее элементы определяются по элементам ее первой строки. Каждый из них определен с точностью до трех постоянных. Эти постоянные удовлетворяют соотношениям, позволяющим восстановить их все по двум вещественным параметрам. Получены асимптотики этих постоянных по константе связи. • Адиабатическая эволюция. Рассматривается одномерное нестационарное уравнение Шрёдингера на полуоси x>0 с малым параметром ε перед производной по времени t. Потенциал представляет собой прямоугольную потенциальную яму шириной 1-t. Стационарный оператор H имеет непрерывный спектр σ_с = [0,∞) и конечное число отрицательных собственных значений, которые со временем подходят к краю σ_с и по очереди исчезают. Изучается решение, близкое в некоторый момент к n-ой собственной функции оператора H. Ранее было показано, что пока n-ое собственное значение существует, решение локализовано внутри потенциальной ямы, и была описана делокализация — поведение решения при исчезновении n-го собственного значения. Мы показали, что после нее в окрестности потенциальной ямы порядка 1/ε решение асимптотически сосредоточено в слое, где ε^{2/3} x~1, имеет там порядок ε^1/3 и убывает экспоненциально быстро c ростом ε^{2/3} x. Около моментов исчезновения собственных значений с номерами, меньшими n, решение в потенциальной яме становится порядка ε^{2/3} вместо ε.