Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Получены следующие результаты по ряду направлений проекта. В совокупности они существенно превосходят наши ожидания на первый год. Приведём кратко основные математические результаты, полученные в рамках проекта. Граф с весами на ребрах, равными плюс или минус 1, называется реберно-доминированным, если для каждого ребра сумма его веса и весов всех смежных с ним ребер положительна. Нижняя оценка на сумму весов всех ребер в реберно-доминированном графе на n вершинах улучшена до -1/30 n^2. Рассмотрим диск единичного диаметра на плоскости. Пусть группа других конгруэнтных дисков касается исходного; назовём эту группу первым слоем. Пусть ещё одна группа дисков касается каких-то дисков первого слоя, назовём эту группу вторым слоем; и так далее. Если число слоёв есть n, и никакие два диска не пересекаются по внутренностям, то нас интересует наибольшее возможное число дисков в упаковке. Мы доказали гипотезу Ласло Фейеша Тота о том что при n=3 это число равно 37. Рассмотрим набор из n разложимых 3-тензоров x_i\otimes y_i\otimes z_i, где x_i, y_i, z_i выбираются из некоторых линейных пространств X,Y,Z над полем K. Предположим, что для любого k=1,...,n линейная комбинация любых k 2-тензоров вида y_i\otimes z_i с ненулевыми коэффициентами имеет ранг хотя бы min(k,n-d+2), где d есть размерность линейной оболочки векторов x_i. Кроме того, предположим что все x_i ненулевые и никакие два из них не пропорциональны. Тогда сумма всех n наших тензоров не может быть представлена в виде суммы менее чем n разложимых тензоров, и представление в виде суммы n разложимых тензоров единственно. Свойство графов – это множество графов, замкнутое относительно изоморфизма. Свойство называется анти-вероятностным, если доля графов на n вершинах, для которых оно выполнено, стремится к 0 с ростом n, но при этом доля графов, в которых достаточно изменить всего одно ребро, чтобы это свойство стало выполнено, стремится к 1. Если избавиться от требования замкнутости относительно изоморфизма, то из работ Кабатянского и Панченко известно, что минимальная вероятность такого свойства асимптотически равна 2/n^2. Нам удалось доказать, что таже асимптотика справедлива и при наложении требовании замкнутости относительно изоморфизма - асимптотика наименьшей вероятности анти-вероятностного свойства равна 2/n^2, где n – количество вершин графа. Кроме того, мы доказали нижнюю (1/nlnn) и верхнюю (2/nlnn) оценку асимптотики вероятности свойства анти-вероятностного свойства, выраженного сугубо в терминах последовательности степеней графа. Говорят, что семейство графов F обладает свойством КЗИПХ (наличия конечного числа запрещённых индуцированных подграфов, характеризующих данное семейство), если для некоторого конечного семейства графов H семейство F состоит в точности из графов, не имеющих индуцированных подграфов из H. Мы явно описали все m, для которых семейство графов с наименьшим собственным значением по крайней мере -m обладает свойством КЗИПХ. Также мы экстраполировали этот подход и применили его для графов со знаками. В частности, мы нашли те m, для которых семейство графов со знаком с наибольшим собственным значением не превосходящим m обладает свойством КЗИПХ. Также мы описали множество таких m, что существует n такое, что если у симметричной матрицы с целыми элементами и нулевыми диагоналями все собственные значения не превосходят m, то найдётся главный минор размера n с собственными значениями не превосходящими m. Также мы обнаружили связь с задачей о числе точек в множестве с двумя фиксированными расстояниями. Гипотеза Эрдеша о паросочетаниях спрашивает, на каких семействах достигается максимум размера семейства к-элементных подмножеств в множестве первых n натуральных чисел, не содержащих паросочетания размера s. Эрдеш предположил конкретный вид этих семейств. При n относительно большом по сравнению с sk этот экстремум должен достигаться на семействе всех k-элементных множеств, содержащих одно из s-1 первых натуральных чисел. Когда же sk близко к n, то есть паросочетание покрывает почти все элементы базового множества, то экстремальным семейством, в соответствии с гипотезой, должно является семейство всех k-элементных подмножеств множества {1,…,sk-1}. Заметим, что его размер не зависит от n. Мы установили справедливость этой гипотезы в диапазоне sk<=n<=(k+1/100k)s и s>101k^3. Было сформулировано новое обобщение комбинаторной теоремы о нулях, и показано, как из него следуют основные результаты недавней работы Б. Ника и аналоги обобщений комбинаторной теоремы о нулях в случае кратных корней. Пусть функция f_c(n, r) обозначает наибольшее число f такое, что для любого графа на f вершинах, в котором хроматическое число любой окрестности радиуса r не превосходит c, хроматическое число всего графа не превышает n. При фиксированном n была известна полиномиальная (относительно r) оценка на f_c(n, r) степени [(n - 1)/(c - 1)]. В рамках выполнения проекта была получена серия примеров, показывающая точность показателя степени [(n - 1)/(c - 1)]; в частности, отсюда следует, что при значениях вида n = k(c-1) + 1 происходит «скачок» этого показателя на 1. Более точно, построен граф на O((2r)^{k-1}c^k) вершинах, в котором хроматическое число любой окрестности радиуса r не превосходит c, а хроматическое число всего графа не меньше, чем k(c -1) + 1. Пусть g(n) есть наибольшее значение наименьшего общего кратного нескольких натуральных чисел, сумма которых не превосходит n, при условии что эти числа служат разностями некоторых попарно не пересекающихся бесконечных двусторонних целочисленных арифметических прогрессий. Мы доказали, что log^3 g(n) ведёт себя как (1/4+o(1)) n log^{2} n. Мы доказали, что если A --- множество, состоящее из n вещественных чисел, то минимальное значение |A+sqrt(2)A| есть (3+2sqrt(2)+o(1))n. Получен ответ на вопрос о точной нижней оценке меры множеств вида A+TA, где T --- данное линейное отображение в R^n, а A - компакт единичной меры: эта точная оценка есть prod(1+|lambda_i|), где lambda_i --- собственные числа оператора T.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Назовём числом покрытия семейства размер наименьшего множества, пересекающего все множества семейства. Пусть F -- это пересекающееся подсемейство в замкнутом вниз семействе D. Пусть при этом число покрытия F равно двум. Тогда размер F не превосходит размера наибольшей звезды в D (звездой называется семейство множеств с непустым пересечением). Для достаточно плотных случайных графов доказана сходимость масштабированного максимального количества симметричных расширений к невырожденному распределению (при этом оно может не принадлежать семейству распределению Гумбеля). Были изучены числа насыщения графов Кнезера для паттерна-треугольника. А именно, были найдены точные значения для небольших графов Кнезера, а также найдена асимптотика чисел насыщения графов Кнезера. Доказана гипотеза Энди Фингерхута. А именно, рассмотрим для четного набора точек на плоскости совершенное паросочетание, которое максимизирует сумму евклидовых расстояний между ребрами, Для каждого ребра этого паросочетания рассмотрим эллипс с фокусами в вершинах ребра и эксцентриситетом \sqrt{3}/2. Тогда выпуклые множества, ограниченные этими эллипсами, имеют непустое пересечение. Показано, что степенной (вершинный) перечислитель остовных деревьев связного взвешенного графа G (с комплексными коэффициентами) является устойчивым многочленом тогда и только тогда, когда G может быть получен из графа с одной вершиной путем сохраняющих веса копирований вершин (с добавлением ребра произвольного положительного веса или без него), сочленений двух взвешенно устойчивых графов по вершине и умножения весов всех ребер, выходящих из одной вершины, на положительное число, а также домножений всех весов ребер графа на некоторую (комплексную) константу. Рассмотрим класс знаковых реберно-доминируемых графов, таких что любое ребро, соединяющее вершины с положительной и отрицательной суммами весов смежных ребер, имеет вес -1. Тогда сумма весов ребер в таком графе на n вершинах не менее (3 - 2sqrt(2))n^2, причем эта оценка является асимптотически точной. Доказано, что для целого алгебраического t нижний предел отношения |A+tA|/|A| равен произведению |a_i|+|b_i|, где произведение сомножителей (a_i*x+b_i) -- полная факторизация над полем комплексных чисел минимального неприводимого многочлена над кольцом целых чисел с корнем t.