Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В ходе выполнения работ на первом году реализации проекта, во-первых, был принципиально решен вопрос об учете взаимодействия мод в рамках метода псевдодифференциальных модовых параболических уравнений (ПДМПУ). С этой целью нами выведено уравнение однонаправленного распространения для амплитуд в модовом представлении акустического поля в трехмерном волноводе мелкого моря. Данное уравнение получено из системы связанных уравнений горизонтальной рефракции для неизвестной вектор-функции, состоящей из амплитуд первых M акустических мод в мелком море (обычно мы ограничиваемся только распространяющимися модами или даже некоторым их подмножеством) с помощью метода формальной факторизации. Полученное уравнение однонаправленного распространения содержит квадратный корень из матрицы, элементы которой являются дифференциальными операторами второго порядка. Решение этого (эволюционного) уравнения может осуществляться с помощью формального вычисления пропагатора (его вычисление составляет один шаг численной схемы). При аппроксимации данного пропагатора рядом Паде и дискретизации дифференциальных операторов по «поперечной» горизонтальной переменной у задача сводится к цепочке обобщенных матричных задач Сильвестра с разреженными матрицами-коэффициентами. На данном этапе нами был реализован простейший способ решения таких матричных уравнений, состоящий в векторизации неизвестной матрицы и переформулировки уравнения Сильвестра в виде системы линейных алгебраических уравнений на подходящем тензорном произведении линейных пространств. Оказалось, что даже такого относительно примитивного способа решения вполне достаточно, чтобы получить работоспособный прототип программного кода (в среде MATLAB) для решения ПДМПУ с учетом взаимодействия акустических мод. Разумеется, данный способ нельзя считать подходящим для реальных приложений, и в ходе следующего года реализации проекта мы намерены разработать, во-первых, основанный на теории подпространств Крылова существенно более эффективный метод решения таких (вспомогательных) обобщенных уравнений Сильвестра. Мы также рассматриваем возможность упрощения этих задач с использованием физических представлений о характере взаимодействия мод. Наш прототип программного кода для решения ПДМПУ, учитывающего взаимодействие мод, был протестирован при решении задачи распространения звука в клине с проницаемым дном. Результаты расчетов показали, что замечательное совпадение с акустическим полем, рассчитанным по методу изображений, получаются как при ориентации оси х вдоль изобат (данный случай обслуживается даже адиабатическими ПДМПУ), так и при выборе направления оси х вдоль градиента глубины (в данном случае адиабатические ПДМПУ «не работают», так как требуется учет взаимодействия мод). Нам также было отмечено, что в двумерном случае ПДМПУ для вектор-функции модовых амплитуд редуцируется к формулам, которые могут быть получены с помощью векторизованного аналога метода ВКБ [1], что само по себе является интересным наблюдением, которое может быть использовано для проведения расчетов приближении несвязанных азимутов. В ходе выполнения работ по проекту было показано, что программная реализация данного варианта метода ВКБ позволяет выполнять расчеты распространения звука с учетом сильного взаимодействия мод в волноводе мелкого моря. Результаты работ по проекту уже представлены нами в виде общедоступного программного кода промышленного класса (на языке C++), реализующего численное решение адиабатического ПДМПУ [2], дополненного граничными условиями прозрачности и подходящими начальными данными (стартером). Нами выполнено тестирование разработанной программы путем решения нескольких тестовых задач, для которых известно аналитическое решение или решение, полученное другими методами. Дальнейшие теоретические результаты, получаемые в рамках проекта, также будут непосредственно использоваться для совершенствования данного комплекса программ, в частности, на втором году выполнения работ мы планируем реализовать в нем возможность выполнения расчетов с учетом взаимодействия мод (как было указанно выше, в настоящее время эта возможность реализована только на уровне MATLAB-прототипа). В ходе участия в воркшопе международном JIP (Кембридж, 13-17 июня 2022 года), посвященном методам оценки антропогенных акустических шумов в океане и их влиянию на морскую фауну, где мы представляли результаты работ по проекту, был выявлен новый консенсус относительно метрик акустических полей, относящихся к способам оценки их влияния на морских животных, который, по-видимому, будет играть важную роль в «экологических» приложениях акустики в ближайшие годы. Данный консенсус состоит в необходимости измерения и учета именно векторных характеристик таких полей (например, ускорения и колебательной скорости). Для повышения актуальности научных исследований в рамках проекта мы выполнили предварительные (ad hoc) расчеты векторных акустических полей для предлагавшихся на воркшопе задач. При этом был сделан ряд наблюдений относительно того, как следует проводить данные расчеты в рамках теории МПУ. Развитие этих методов запланировано на второй год работ по проекту. 1. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0375960122004650 2. https://github.com/GoldFeniks/AMPLE

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1) Разработан эффективный алгоритм для численной реализации решения псевдодифференциальных модовых параболических уравнений (ПДМПУ) с учетом взаимодействия мод (в приближении жидкого дна), полученных на первом году реализации проекта. Ключевым шагом в данном алгоритме является эффективное численное решение семейства обобщенных задач Сильвестра, возникающих при расчете пропагатора в маршевой схеме типа SSP (split-step Pade). 2) Разработан эффективный метод расчета векторых полей колебательных скоростей и колебательных ускорений в акустическом поле, а также векторного поля плотности потока мощности, основанный на решении ПДМПУ и численном дифференцировании собственных функций и амплитуд в модовом представлении поля. 3) Получены аналитические представления векторных акустических полей (колебательная скорость, колебательное ускорение, плотность потока мощности) в случаях, когда уравнения горизонтальной рефракции допускают аналитическое решение. Аналитически исследованы дислокации волнового поля, а также возможность формирования акустических вихрей в вертикальной и горизонтальной плоскости в дальнем поле точечного источника звука в типичных волноводах мелкого моря (волновод с клиновидным дном с малым углом наклона). 4) Разработана методика расчета уровней антропогенных акустических шумов (SEL, энергия в 1/3-октавных полосах частот, в т.ч. с использованием метрик, основанных на векторных акустических полях), формируемых раличными типами морских судов с известной траекторией движения на заданных акваториях, с использованием численного моделирования на основе ПДМПУ и опорных измерений, выполняемых станцией акустического мониторинга. Выполнена апробация методики с использованием данных натурных измерений шумов в децидекадных полосах, производимых сухогрузом, проходящим мимо точки мониторинга. Установлено, что при наличии достаточно точной информации о среде распространения, разработанные нами программные комплексы позволяют с высокой точностью прогнозировать уровни шумов судоходства. 5) Для волновода Пекериса-Эйри получены обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, описывающих зависимость волновых чисел, получаемых из задачи Штурма-Лиувилля, от частоты, глубины моря и геоакустических параметров дна. Показано, что данные дифференциальные уравнения могут быть использованы для ускорения расчетов волновых полей, а также для повышения эффективности сэмплирования апостериорных функций плотности вероятности в задачах геоакустической инверсии. 6) Исследовано влияние гидрологических неоднородностей на время распространения различных модальных составляющих широкополосного акустического сигнала путем интегрирования обратной групповой скорости вдоль горизонтальных собственных лучей, соединяющих местоположения источника и приемника (с использованием программного комплекса AMPLE). Исследована возможность повышения точности решения задач акустической дальнометрии с учетом влияния горизонтальной рефракции на неоднородностях поля скорости звука.