КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 22-11-00173

НазваниеИсследование и создание численных методов для интегральных и интегро-алгебраических уравнений с приложением к задачам энергетики

РуководительБулатов Михаил Валерьянович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, Иркутская обл

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2024 г.

Конкурс№68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-206 - Вычислительная математика

Ключевые словачисленные методы, интегральные уравнения первого рода, интегро-алгебраические уравнения, переменные пределы интегрирования, математические модели электроэнергетических систем, некорректные задачи

Код ГРНТИ27.41.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
К настоящему времени проблемы энергосбережения являются одними из ключевых в российской и мировой экономике. Для решения таких задач широко применяются методы математического моделирования. Существующие подходы в недостаточном объеме учитывают специфику технических объектов в энергетике, которая включает, в том числе, требования к быстродействию и эффективности вычислительных алгоритмов. Заявленные в проекте математические модели описывают целый ряд тепло- и электроэнергетических систем и включают в себя различные классы интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода с переменными верхним и нижним пределами интегрирования; уравнений, связанных с использованием рядов Вольтерра; системы взаимосвязанных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов, в том числе с двумя переменными пределами интегрирования и различными особенностями в ядре. Последний тип таких задач можно записать в виде системы интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Такие постановки задач принципиально отличаются от классических задач второго рода: они являются некорректными, т.е. могут либо не иметь решения, либо иметь множество решений, и нет непрерывной зависимости от возмущения входных данных. Здесь под решением понимается классическое решение или обобщенное решение. К настоящему времени для задач, обозначенных в проекте, качественная теория - вопросы существования, единственности решения - являются малоизученными, а численные методы для такого типа задач практически не развиты. Исключение составляют только некоторые виды интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Основное направление проекта - это формулировка условий существования (существования и единственности) решения заявленных задач в различных классах функций и создание численных методов приближенного их решения с учетом специфики. Полученные теоретические результаты предполагается применить для идентификации и моделирования динамических (развивающихся) систем в тепло- и электроэнергетике.

Ожидаемые результаты
По качественной теории будут сформулированы достаточные условия существования (существования и единственности) решения как для различных классов многомерных ИУВ первого рода и систем таких уравнений (обобщение рядов Вольтерра), так и для интегро-алгебраических уравнений (ИАУ). Будут рассмотрены ИАУ следующих типов: квазилинейные задачи, задачи с двумя переменными пределами интегрирования, задачи с различного вида сингулярностями, многомерные задачи. По численным методам решения ожидается создать алгоритмы для решения ИАУ. Данные методы будут использовать блочные алгоритмы, неявные безытерационные алгоритмы для квазилинейных задач (линейные относительно главной части и нелинейные относительно интегрального слагаемого), а также методы регуляризации. Основной упор будет сделан на создание коллокационно-вариационных методов. Теоретический и практический уровень ожидаемых результатов проекта находится на мировом уровне, что подтверждается публикациями коллектива авторов проекта в математических журналах с высокими рейтингами, а также выступлениями на различных международных конференциях и семинарах. Ожидаемые результаты существенно продвинут качественную теорию и теорию численного решения интегральных уравнений, не разрешенных относительно главной части. Практическая значимость результатов заключается в том, что они позволят надежно и быстро решать такие важные прикладные задачи, как расчет плотности микроскопических пузырьков в неоднородной жидкости, моделирование долгосрочных стратегий развития электроэнергетических систем, процессов в гидродинамике, вязкоупругости, теории фильтрации, теории полупроводников и т.д. Особое внимание в проекте будет уделено интегральным уравнениям и ИАУ, которые встречаются при математическом моделировании процессов, протекающих в теплоэнергетических установках. Планируемые научные результаты по разработке теории и численным методам будут внедрены в учебные курсы и использованы при подготовке и повышении квалификации профильных специалистов. Научные результаты выполненных работ будут опубликованы в высокорейтинговых зарубежных и российских журналах и материалах международных и российских конференций. По результатам выполненных работ планируется подготовка кандидатской диссертации.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
За отчетный период была проведена следующая работа по проекту: 1. Была исследована возможность построения дискретных методов решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра (ИУВ) второго рода, предназначенных для задач, содержащих жесткие и быстроосциллирующие компоненты. Для численного решения таких уравнений было создано и обосновано семейство оригинальных неявных одношаговых алгоритмов второго порядка, зависящих от параметров. Предложенные методы, в отличие от ранее разработанных, являются безытерационными. Получены условия на параметры, что позволило конкретизировать семейства A- и L-устойчивых методов. Выделены условия для конструирования P-устойчивых методов (аналогов ОДУ, содержащих быстроосциллирующие компоненты). 2. В терминах матричных пучков сформулированы достаточные условия существования и единственности решения интегро-алгебраических уравнений (ИАУ) со слабой особенностью в случае, когда матричные коэффициенты являются постоянными. 3. Был исследован новый класс двумерных линейных ИУВ первого рода относительно симметричного на квадрате Ω ядра K(s1,s2). Данные интегральные уравнения связаны с задачей идентификации переходных характеристик нелинейной динамической системы типа "вход-выход", представленной в виде конечного отрезка (полинома) интегро-степенного ряда Вольтерра, с помощью кусочно-линейных тестовых сигналов. 4. Предложен алгоритм численного решения ИАУ второго порядка на основе коллокационно-вариационного подхода. 5. Выделен класс трехмерных ИУВ первого рода с предысторией, имеющих единственное достаточно гладкое решение, для которого предложены дискретные алгоритмы, основанные на известных формулах численного интегрирования. 6. Проведены исследования о существовании и единственности решения нового класса систем двумерных ИУВ первого рода с переменными нижним и верхним пределами интегрирования. 7. Практическое использование интегральных моделей на базе полиномов Вольтерра показало необходимость их адаптации для параметров режимов, отличающихся от тех, которые участвовали в процессе идентификации ядер Вольтерра, поэтому была предложена модификация полиномов Вольтерра за счет привлечения аппарата цепных дробей. Данный способ показал свою перспективность на тестовых примерах. 8. Выделена серия модельных примеров систем ИУВ первого рода. Для численного решения сеточных аналогов полиномиальных систем ИУВ первого рода предложен безытерационный алгоритм. В настоящее время выполняется экспериментальная часть работы, связанная с построением интегральных моделей с векторным входом.

Публикации

1. Будникова О.С., Ботороева М.Н., Соколова Г.К. Построение областей устойчивости неявного метода для численного решения интегро-алгебраического уравнения типа Абеля Сибирский журнал вычислительной математики, - (год публикации - 2023)

2. Солодуша С.В. О новом классе двумерных интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменными пределами интегрирования Труды Института математики и механики УрО РАН, № 4. Т. 28. C. 216–225 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-4-216-225

3. Антипина Е.Д., Булатов М.В., Бирюков В.В. Блочные методы для численного решения интегрального уравнения Вольтерра I род Proceedings of the 7th International Conference on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2022), Irkutsk: ISDCT SB RAS, с. 4-6 (год публикации - 2022)

4. Булатов М. В., Ботороева М. Н. О существовании и единственности непрерывного решения интегро-алгебраических уравнений с переменными пределами интегрирования Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Сборник материалов X Международной научной молодежной школы-семинар имени Е. В. Воскресенского (Саранск, 14-18 июля 2022 г.), с.49-54 (год публикации - 2022)

5. Булатов М. В., Будникова О. С. О построении многошаговых методов для дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка Неустойчивые задачи вычислительной математики: тезисы докладов семинара с международным участием. Иркутск, 15–19 августа 2022 г., с.15 (год публикации - 2022)

6. Булатов М.В. Дифференциально-алгебраические уравнения как класс некорректных задач Неустойчивые задачи вычислительной математики : тезисы докладов семинара с международным участием. Иркутск, 15–19 августа 2022 г., с.13 (год публикации - 2022)

7. Булатов М.В., Ботороева М.Н. Построение и исследование неклассических разностных схем для интегральных уравнений Вольтерра II рода Неустойчивые задачи вычислительной математики : тезисы докладов семинара с международным участием. Иркутск, 15–19 августа 2022 г., с.14 (год публикации - 2022)

8. Булатов М.В., Солодуша С.В. Об одном классе нелинейных интегро-алгебраических уравнений Вольтерра I рода Материалы Междунар. конф. "Теория оптимального управления и приложения"(OCTA-2022), Екатеринбург: ИММ УрО РАН, Изд-во УМЦ УПИ, с. 35-38 (год публикации - 2022)

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
За отчетный период были достигнуты научные результаты. Были сформулированы условия, при выполнении которых ИАУ с переменным нижним пределом интегрирования равным ct (0<c<1) имеет единственное решение. Для такого класса задач был предложен и обоснован приближенный метод решения, который имеет первый порядок. Для линейных дифференциально-алгебраических уравнений с дробной производной и постоянными матричными коэффициентами в терминах входных данных сформулированы необходимые и достаточные условия существования единственного достаточно гладкого решения. Был предложен приближенный метод решения таких уравнений, основанный на методе интегрирования произведений и квадратурной формуле правых прямоугольников. Были сформулированы условия, при выполнении которых квазилинейные ИАУ (линейных относительно главной части и нелинейных относительно подынтегрального выражения) имеют единственное решение в окрестности начальной точки. Для ИУВ первого рода и ИАУ с гладкими входными данными, которые имеют единственное решение, были предложены принципиально новые многошаговые и многостадийные (многоэтапные) численные алгоритмы блочного типа. Детально были исследованы на устойчивость двухстадийные алгоритмы. Предложено дифференциально-алгебраические уравнения второго порядка (начальная задача), имеющие единственное достаточно гладкое решение, переписать в виде интегро-дифференциальной системы уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью, или в виде ИАУ. Далее, для численного решения полученных таким образом задач применять экстраполяционные многошаговые методы. Сравнительный анализ показал преимущества таких подходов над классическими неявными многошаговыми методами для исходной системы ДАУ, когда те содержат жесткие и (или) быстроосциллирующие компоненты. Для систем ИУВ первого рода с двумя переменными пределами интегрирования, линейных относительно искомых двумерных ядер Вольтерра, сформулированы условия существования и единственности решения в классе непрерывных функций. Рассмотренные системы ИУВ возникают в задаче идентификации ядер Вольтерра, с помощью тестовых сигналов, для которых x(0)=0. Выделены специальные классы одномерных и двумерных ИУВ первого рода, имеющие явные формулы обращения. Предложена модификация на базе квадратичного полинома Вольтерра с привлечением аппарата присоединённых цепных дробей. Применение модифицированного вида интегральной модели за счет специального выбора параметра присоединения позволило расширить диапазон амплитуд допустимого семейства входных сигналов. Результаты вычислительного эксперимента на математической динамической системе, а также в задаче моделирования отклонения энтальпии при изменении расхода вещества на входе показали преимущество предлагаемого подхода в случае, когда амплитуда сигнала на входе объекта не принадлежит допустимому семейству тестовых сигналов. Предложено полиномиальное ИУВ, связанное с задачей восстановления скалярного входного сигнала. Специфика исследуемого ИУВ первого рода состоит в локальности области существования решения в классе непрерывных функций. Вычислительный эксперимент по оценке правой границы T области существования решения проводился на откликах тестовой динамической системы. Вопрос о применимости модифицированной модели в задаче восстановления входного сигнала требует дальнейшего изучения, так как, наряду с достоинствами подхода, исходная задача усложняется за счёт увеличения степени нелинейности относительно x(t).

Публикации

1. Ботороева М.Н., Булатов М.В. Исследование устойчивости неклассических разностных схем для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра II рода Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 63, №6. С. 881-890 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.31857/S0044466923060054

2. Булатов М.В. On an Algorithm for the Numerical Solution of Integral-Algebraic Equations Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 44. pp. 542–547 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S1995080223020129

3. Булатов М.В., Индуцкая Т.С. Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений произвольного индекса с производной Римана-Лиувилля Вестник российских университетов. Математика, Т. 28, №141. С. 13-25 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-141-13-25

4. Солодуша С.В. On a System of Linear Volterra Integral Equations with Variable Integration Limits Lobachevskii Journal of Mathematics, т. 44, № 3, с. 1229–1235 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1134/S1995080223030320

5. Солодуша С.В., Коконова Ю.И. Simulation of Nonlinear Dynamic Processes with Volterra Polynomials and Continued Fractions Proceedings - 2023 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), Publisher: IEEE, 2023 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), pp. 967–971 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1109/ICIEAM57311.2023.10139168

6. Солодуша С.В., Коконова Ю.И., Дударева О.В. Integral Models in the Form of Volterra Polynomials and Continued Fractions in the Problem of Identifying Input Signals Mathematics, № 23, T. 11, P. 4724-4734 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.3390/math11234724

7. Ботороева М.Н., Булатов М.В. О численном решении интегро-алгебраических уравнений, оба предела интегрирования которых переменные Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 23-25 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.53980/9785907599970_23

8. Ботороева М.Н., Булатов М.В. Исследование интегро-алгебраических уравнений типа Вольтерра с переменным нижним пределом интегрирования at Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.83-84 (год публикации - 2023)

9. Будникова О.С., Булатов М.В. О построении экстраполяционных двухстадийных многошаговых методах для численного решения интегро-алгебраических уравнений Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.84-85 (год публикации - 2023)

10. Будникова О.С., Булатов М.В. О конструировании двухстадийных методов для численного решения интегро-алгебраических уравнений Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 26-28 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.53980/9785907599970_26

11. Булатов М.В. О методах численного решения интегро-алгебраических уравнений Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 29-31 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.53980/9785907599970_29

12. Булатов М.В., Соловарова Л.С. О разрешимости квазилинейных интегро-алгебраических уравнений Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 32-34 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.53980/9785907599970_32

13. Булатов М.В., Соловарова Л.С., Индуцкая Т.С. О блочных методах для интегро-алгебраических уравнений Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.89-90. (год публикации - 2023)

14. Индуцкая Т.С. Численное решение систем дифференциальных уравнений дробного порядка произвольного индекса Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.189-191 (год публикации - 2023)

15. Солодуша С.В., Коконова Ю.И. Задача идентификации входного сигнала нестационарных динамических систем Материалы 5-й Международной конференции "Динамические системы и компьютерные науки: теория и приложения (DYSC 2023)", Иркутск: Изд-во ИГУ, с. 63-65 (год публикации - 2023)

16. Бирюков В.В., Коконова Ю.И., Солодуша С.В. Программное средство для построения динамической модели с помощью квадратичных полиномов Вольтерра и цепных дробей -, 2023618626 (год публикации - )