Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Сформулированы различные постановки прямых краевых задач о деформировании и колебаниях неоднородных структур в рамках классических и градиентных моделей (стержень, пластинка, биморф, цилиндр, полоса) изготовленных из ФГМ (функционально-градиентных материалов) или слоистых композитов, с учетом полей температур, реологии, пористости, возможного остаточного напряженного состояния и дефектов, а также при наличии пьезоэлектрических свойств. Построены соответствующие уточненные математические и компьютерные модели деформирования рассматриваемых функционально-градиентных (ФГ) и составных структур. На базе сочетания различных аналитических, асимптотических и численных подходов построены решения сформулированных задач в рамках классических и градиентных моделей, учитывающих влияние градиентов полей. Сформулировано понятие чувствительности по отношению к функциям неоднородности, характеризующим переменные свойства среды, построены соответствующие краевые задачи, получены формулы для АЧХ, проведены вычислительные эксперименты по исследованию чувствительности в зависимости от частоты колебаний для неоднородных стержней. Решена контактная задача для неоднородной ортотропной полосы, разработан численно-аналитический способ построения ядра интегрального уравнения относительно контактного давления на основе сочетания интегральной преобразования Фурье и метода пристрелки. Показано на основе метода Вишика-Люстерника, что главная часть интегрального оператора имеет логарифмическую особенность. Разработана экономичная схема его решения, которая осуществлена на основе метода граничных элементов, предложены простые способы построения зависимости сила-внедрение. Представлены результаты вычислительных экспериментов для разных законов неоднородности. Решены задачи о колебаниях неоднородных пьезоэлектрических стержней и биморфов при различных типах поляризации, построены упрощенные модели, проведено исследование первых резонансных и антирезонансных частот, обнаружен новый тип антирезонансов при некоторых законах неоднородности. Проведено сравнение с КЭ-расчетами. Исследованы задачи о колебаниях неоднородных термовязкоупругих стержней и цилиндров. Построены прикладные теории в рамках градиентных моделей для неоднородных тел, которые учитывают масштабные эффекты. В рамках градиентной модели электроупругости проведено исследование двух задач: 1) изгиб неоднородной пьезоэлектрической балки, для нахождения изгибающего момента и прогиба срединной линии однородной балки сформулирована каноническая задача для операторного уравнения 1-го порядка, решение которого построено методом пристрелки. 2) деформирование сплошного пьезоцилиндра с покрытием, которая сведена к задаче градиентной теории упругости с ужесточенными модулями упругости. В случае однородного покрытия получены аналитические выражения для нахождения радиальных смещений и напряжений. В случае неоднородного покрытия численное решение построено на основе метода пристрелки. Проведено исследование плоской и антиплоской задач об установившихся колебаниях изотропной упругой полосы с отслоением на нижней границе в рамках неклассической градиентной теории упругости, в частности, однопараметрической модели Айфантиса. Построены граничные интегральные уравнения (ГИУ) относительно функций раскрытия трещины или их производных. Осуществлен сравнительный анализ результатов, полученных на основе классической линейной теории упругости и градиентной теории упругости. Показано, что использование градиентной модели существенно меняет структуру решения ГИУ в окрестности концентратора напряжений Проведен анализ граничных интегральных уравнений в зависимости от соотношения малых параметров в случае отслоения малой относительной длины, получены явные выражения для функций расслоения. Проведены численные расчеты. Определены зоны работоспособности асимптотического подхода в зависимости от соотношения градиентного параметра и длины отслоения. Исследована смешанная задача для электроупругой полосы с электродом конечной длины на верхней границе на базе моделей линейной и градиентной теории электроупругости. Исследование направлено на анализ электростатического поля в окрестности вершин электрода и построении функции скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции на электроде. Решение поставленной задачи осуществлено на основе метода граничных интегральных уравнений и его дискретного варианта - метода граничных элементов. Осуществлен сравнительный анализ результатов, полученных на основе моделей классической и градиентной электроупругости в зависимости от значений градиентного параметра.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Развиты и усовершенствованы методы решения обратных задач об идентификации различных переменных физических и механических характеристик в изученных на первом этапе проекта функционально-градиентных (ФГ) структурах. Для обратных задач сформулированы постановки трех типов о восстановлении неоднородных характеристик по дополнительной информации о полевых характеристиках; в рамках второй постановки решен ряд новых обратных задач для моделей теории упругости, термоупругости, электроупругости. В новой третьей постановке предполагается, что дополнительная информация задается на части свободной от нагружения области внешней границы тела. Предложен новый способ решения задач такого типа при сужении множества поиска до линейных комбинаций известных линейно независимых функций. Реализованы итерационные процессы, сочетающие решение прямых задач и решение систем операторных уравнений с компактными операторами на основе метода регуляризации. На основе аппарата производных по Фреше введены характеристики чувствительности, отражающие зависимость дополнительной информации от искомых функций, характеризующих неоднородность тела и способ воздействия и позволяющие выявить наиболее информативные режимы нагружения и частотные диапазоны. Решены прямые и обратные задачи для неоднородных упругих и электроупругих ФГ стержней, совершающих установившиеся колебания. Исследованы обратные задачи о восстановлении двух функций (модуля Юнга и плотности) для упругого стержня и об одновременном восстановлении функций упругой податливости и пьезомодуля для продольно поляризованного неоднородного электроупругого стержня. Решения задач построены с помощью итерационного процесса, на каждом шаге которого решается система двух интегральных уравнений Фредгольма первого рода с помощью методов регуляризации А.Н. Тихонова и LSQR. Построены асимптотические разложения для измеряемых характеристик (АЧХ), которые использованы для отыскания начальных приближений. Проведена серия вычислительных экспериментов; показано, что предлагаемые методы могут быть успешно применены для восстановления монотонных и немонотонных законов. Исследованы задачи о восстановлении двумерных законов изменения плотности или модуля сдвига для ФГ пластины и полого цилиндра. Получено двумерное интегральное уравнение Фредгольма 1-го при рассмотрении дополнительной информации об АЧХ, измеренной на нагружаемой части границы; после дискретизации интегральных операторов получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений восстанавливаемой функции двух переменных, для решения которой использован метод А.Н. Тихонова. Предложен альтернативный алгоритм, в котором поиск неизвестных законов осуществляется в определенном классе гладких функций, что позволило существенно понизить размерность решаемой алгебраической системы. Представлены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции. Предложены подходы к идентификации полей неоднородных предварительных напряжений в телах в рамках общей постановки обратной задачи с учетом и без учета информации о малости компонент предварительных напряжений. Представлен способ определения характеристик чувствительности задаваемых граничных функций по отношению к начальным напряжениям, позволивший выявить наиболее эффективные режимы акустического зондирования. Исследована задача об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругого неоднородного стержня при анализе изгибных колебаний под действием изгибающего момента и регистрации АЧХ угла поворота в некотором частотном диапазоне. Операторные соотношения в обратной задаче построены на базе двух моделей – Эйлера-Бернулли и Тимошенко. Обсуждены различные аспекты реализации итерационного процесса и свойств ядер у интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с комплексными ядрами. Представлены результаты вычислительных экспериментов. Исследованы коэффициентные обратные задачи термоупругости для вертикально неоднородного прямоугольника и термоэлектроупругости для поперечно-неоднородного слоя и радиально неоднородного длинного цилиндра. На основе слабой постановки прямых задач в трансформантах и метода линеаризации получены операторные уравнения для решения обратных задач термомеханики. Построена эффективная итерационная схема идентификации одномерных термомеханических характеристик, при этом на каждом этапе итерационного процесса решается прямая задача и интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром или система таких уравнений. Наблюдается быстрая сходимость итерационного процесса реконструкции теплофизических и механических характеристик; процедура реконструкции большинства теплофизических и механических характеристик оказалась устойчива к 1%-му зашумлению. Изучены возможности использования метода граничных элементов применительно к исследованию геометрических обратных задач об идентификации расслоений в ФГ структурах. Исследована модельная задача об установившихся колебаниях ФГ упругой изотропной полосы с горизонтальным расслоением. Сформулированы системы нерегулярных интегральных уравнений относительно скачков полей смещений на дефекте, представлена схема построения ядер и реализация метода граничных элементов. Проведен асимптотический анализ прямой и обратной задач для расслоений малого относительного размера. Реализована схема восстановления параметров дефекта по данным о полях смещений, измеренных на части верхней границы полосы. Рассмотрена задача об установившихся колебаниях пьезоактивного биморфа с неоднородными свойствами по толщине. Изучена обратная коэффициентная задача идентификации параметров неоднородности в зависимости от пористости, где в качестве дополнительной информации использовались первая резонансная частота и амплитуда смещения торца биморфа при электрическом возбуждении. В рамках созданного вычислительного комплекса реализовано два способа решения обратной задачи: на основе построения зависимостей характеристик колебаний биморфа от параметров пористости и на основе генетических алгоритмов. Модельные эксперименты, проведенные в разработанном программном комплексе, показали, что этой информации достаточно для однозначного определения коэффициентов квадратичной аппроксимации законов изменения неоднородности биморфа.