Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Построен транспортный граф города Петрозаводск, в котором вершинами являются перекрестки, ребрами — участки автомобильных дорог между ними; веса вершин выражают суммарное число жителей, проживающих рядом с перекрестком, веса ребер выражают длины участков автомобильных дорог; вершины объединены в районы города согласно территориально-административному устройству. Дополнительные данные для анализа получены обработкой результата опроса жителей города. На основе гравитационной и энтропийной моделей построена матрица корреспонденций. Полная и упрощенная версии транспортного графа использовались для анализа всеми разработанными алгоритмами. Для выявления важных сегментов дорожной системы были определены центральности вершин дорожного графа. При этом использовались разработанные авторами меры центральности вершин и групп вершин графа на основе интеграла Шоке и неаддитивных мер, реализован алгоритм ее вычисления. Реализован алгоритм вычисления центральности по посредничеству групп вершин и путей в графе, а также программа имитационного моделирования ситуаций удаления подмножеств ребер из транспортного графа с сохранением его связности и соответствующего изменения центральностей и визуализации центральностей и их изменений в транспортном графе. Реализован алгоритм вычисления матрицы корреспонденций на основе гравитационной модели. Алгоритмы реализованы на языке R и апробированы на транспортном графе г. Петрозаводск. Исследована модель Вардропа с разделяемым трафиком и внешними факторами (экстерналиями). Экстерналии вводятся в функции задержки игроков как инструмент влияния системы на равновесное распределение потоков трафика, а также на значения цены анархии. Показано, что для ряда типов транспортной системы существуют такие значения внешних эффектов, что равновесный и оптимальный профили совпадут друг с другом, а значение цены анархии будет равно 1. Предложена процедура социализации поведения пользователей, для которой транспортная система обеспечивает оптимальный профиль пользовательского поведения и такое же значение социальных издержек, как и в оптимальном профиле с начальными значениями экстерналий. Для оценки загруженности транспортной сети были использованы функции задержки полиномиального вида, а также специальное внимание было уделено задержкам типа M/M/k (модель Клейнрока), где поток характеризуется своей интенсивностью. При этом, если в моделях массового обслуживания интенсивность задается как параметр, то в проекте было проведено исследование, в котором параметр интенсивности возникает как решение теоретико-игровой задачи. В этой игре жители (игроки) выбирают время начала обслуживания, и в результате этого образуется поток пассажиров. Предложены методы нахождения равновесия в таких задачах для ряда типов обслуживания клиентов. Для случаев, рассмотренных в численных примерах, найдены значения социально-оптимальной и равновесной полезности и соответствующие значения цены анархии. Результаты проекта вызвали интерес в обществе и неоднократно освещались в средствах массовой информации 1. https://sampotv360.ru/2022/04/15/karelskie-uchyonye-sozdayut-sistemu-monitoringa-i-modelirovaniya-transportnoj-sistemy-v-petrozavodske/ 2. http://www.krc.karelia.ru/news.php?id=4606&plang=r 3. https://rk.karelia.ru/transport/sistemu-modelirovaniya-transportnyh-potokov-petrozavodska-razrabatyvayut-uchenye/ 4. https://sampotv360.ru/2022/07/15/professor-vladimir-mazalov-sovremenniki-15-07-2022/

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Уточнен и дополнен транспортный граф города Петрозаводск, используемый для анализа всеми разработанными алгоритмами. Доработан веб-сервис визуализации транспортного графа и полученных результатов его анализа. Реализована программная система на языке Python для расчета и визуализации равновесных по Вардропу транспортных потоков на транспортном графе большой размерности (граф г. Петрозаводска). Процедура нахождения равновесия реализована на основе проекционного алгоритма с генерацией маршрутов. Проведены численные эксперименты по нахождению и сравнению равновесных и оптимальных для системы распределений транспортных потоков для текущего состояния дорожного графа и проектируемого с реконструкцией участка на улице Достоевского между улицами Зайцева и Боровой и строительством тоннеля под железнодорожными путями к улице Халтурина. Эксперименты подтверждают целесообразность выполнения проектной реконструкции, так как равновесие в системе с тоннелем оказывается по величине затрат системы лучше оптимального профиля в системе без тоннеля. Исследована модель Вардропа с разделяемым трафиком применительно к транспортной системе с параллельными каналами и BPR-функциями задержки с попарно симметричными линейными экстерналиями. Доказано, что в случае симметричных экстерналий, когда потоки на каналах попарно симметрично влияют друг на друга, игра оказывается потенциальной, равновесие по Вардропу всегда существует и единственно. Кроме того, для этого случая доказано, что значение цены анархии ограничено величиной 4/3. Разработана и исследована математическая модель транспортной сети с ранжированием и категорированием ребер и маршрутов. Реализован программный пакет на языке R для вычисления модифицированных мер центральности, ранжирования и категорирования ребер и маршрутов в транспортном графе большой размерности (граф г. Петрозаводска). Исследована неоднородная модель маршрутизации с неделимым трафиком, в которой n типов игроков (транспортных средств - участников дорожного движения) имеют различные функции задержки. Доказано аналитически существование потенциала. Построена теоретико-игровая модель односерверной системы массового обслуживания с вытесняющим доступом для случаев, когда количество игроков задано, а выигрыш является фиксированным в случае полного обслуживания, либо пропорционален времени обслуживания до вытеснения. Найдено симметричное равновесие со следующими свойствами. Ненулевая функция плотности моментов поступления в систему определяется на временном интервале [0,t_e]. На интервале времени [t_e,T] поступлений нет. В момент T игроки отправляют свои запросы в систему с некоторой положительной вероятностью p. Для случая двух игроков явно найден аналитический вид равновесия. Проведен ряд численных экспериментов для сравнения равновесия при различных значениях параметров модели. Для системы массового обслуживания с повторными вызовами с орбиты, которая обслуживает поступающие извне заявки, найдено симметричное равновесие для систем с двумя и тремя игроками, в котором в начальный момент игроки обращаются к системе с положительной вероятностью обращения, далее есть интервал времени, на котором никто не отправляет заявки в систему, а начиная с некоторого момента существует положительная плотность распределения моментов обращения к системе. Для игры распределения ресурсов по коммерческим площадям города получены равновесные по Нэшу стратегии в явном виде при аффинных функциях стоимости, когда игроки могут использовать различное количество альтернатив; разработана процедура расчета равновесий Нэша в игре компаний, распределяющих свои ресурсы между городскими востребованными районами; продемонстрирована зависимость средней цены размещения ресурсов от количества игроков и объемов их ресурсов; показано, что на окончательную рыночную цену влияют общий объем ресурсов, количество участников и объемы их ресурсов. Предложен метод ранжирования вершин транспортного графа на основе значений абсолютных потенциалов электрической цепи, вычисленных с использованием законов Кирхгофа с помощью матрицы Лапласа и применением правила Борда. На основе турнирной матрицы, составленной на основе значений абсолютных потенциалов узлов электрической цепи, построена кооперативная игра между игроками - вершинами транспортного графа. Вершины проранжированы в соответствии с найденным решением кооперативной игры в форме Шепли. Предложена мера центральности вершин транспортного графа как решение кооперативной игры, где характеристическая функция задается как число простых путей фиксированной длины в подграфах, соответствующих коалициям. Предложена мера интегральной центральности вершин транспортного графа как значения определенного интеграла от функции дележа. Вычисленные на основе интегральной центральности транспортные потоки на ребрах могут быть использованы в качестве весов ребер и использоваться для определения центральностей вершин. Результаты проекта вызвали интерес в обществе и освещались в средствах массовой информации. 1. https://karelia.rbc.ru/karelia/14/11/2023/655354359a794773b7c1ab66?from=from_main_8 2. http://www.krc.karelia.ru/news.php?id=5313&plang=r 3. https://spbu.ru/news-events/novosti/vo-chto-igrayut-matematiki-v-spbgu-proshla-mezhdunarodnaya-konferenciya-teoriya