КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 19-11-00001

НазваниеФеномен сумм произведений и задачи теории чисел

РуководительКоролев Максим Александрович, Доктор физико-математических наук

Прежний руководитель Шкредов Илья Дмитриевич, дата замены: 08.06.2023

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (35).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-103 - Теория чисел

Ключевые словаТеория чисел, аддитивная комбинаторика, комбинаторная теория чисел, цепные дроби, мультипликативные подгруппы, тригонометрические суммы

Код ГРНТИ27.15.00

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Настоящий проект посвящен решению актуальных проблем теории чисел. В своих исследованиях мы используем комбинаторные, аналитические методы, методы геометрии чисел и эргодической теории. Проект является естественным продолжением этапа 2019-2021 гг. С помощью нового, некоммутативного подхода, связанного с ростом в модулярной группе, мы усилим оценку Коробова в задаче Зарембы, а именно, докажем, что для любого простого числа p найдется такое ненулевое a<p, что все неполные частные числа a/p ограничены величиной O(\log p/\log \log p). Кроме того, мы найдем оптимальную (с точностью до произвольно малого \eps>0) оценку в модулярной гипотезе Зарембы, получим несколько дальнейших обобщений модулярной гипотезы Зарембы с ненулевыми остатками по простому модулю. Мы изучим рост в произвольной группе Шевалле G(q) относительно ее параболических подгрупп, получим нетривиальную верхнюю оценку на энергию произвольных множеств в многообразиях, получим первую нетривиальную оценку на размер максимального множества Сидона в множестве А, относительно операции сложения/умножения. Мы продолжим наши исследования коротких сумм Клоостермана по простому модулю p и уточним полученные ранее оценки для сумм, длина которых существенно меньше корня квадратного из модуля p. Мы получим новые тождества, выражающие значения дзета-функции Римана, L-рядов Дирихле и их степеней в целых точках в виде бесконечных быстро сходящихся рядов. Мы докажем аналоги классических теорем Фреймана, Кузика и др. о структуре спектров Маркова и Лагранжа, показав существование пропусков в спектре Минковского, связанного с выпуклой оболочкой наилучших приближений к иррациональным числам, а также его замкнутость. Мы построим пример последовательности попарно взаимно простых чисел, расстояния между соседними членами которой существенно меньше, чем расстояния между последовательными простыми числами. Мы исследуем поведение многочленов Тейлора элементарных функций над полем характеристики p и получим верхнюю оценку числа элементов множеств уровней для многочленов Тейлора степеней логарифма, экспоненты и некоторых других элементарных функций при условии, что переменная принадлежит подгруппе мультипликативной группы поля, а также обобщим эти оценки на функции, заданные пересечении аддитивных сдвигов мультипликативной подгруппы. Ожидается получить продвижение в задачах о распределении факториалов по простым модулям, поведении простых делителей чисел вида n! + 1, уточнить остаточные члены в некоторых перечислительных задачах аддитивной комбинаторики, таких как число различных множеств вида A+A по простому модулю, а также в нелинейных задачах о раскрасках. Мы изучим парные комбинаторные экспандеры. Мы опишем новые примеры недвудольных графов, для которых верна расширенная гипотеза Сидоренко, а также изучим вопрос о точности полученных неравенств. Мы исследуем поведение постоянных Дирихле в задачах о совместных приближениях двух и большего количества вещественных чисел и другие близкие проблемы, связанные с равномерными приближениями, получим новые результаты о взаимном поведении функций мер иррациональности нескольких вещественных чисел. В рамках Проекта 2022-2023 гг. планируется разработать новые подходы к задачам теории чисел и аддитивной комбинаторики. Помимо развития предшествующих методов, мы планируем детально исследовать выявленную на этапе Проекта 2019--2021 гг. новую неожиданную связь между некоммутативными теоретико-числовыми и аддитивно-комбинаторными методами и задачами теории диофантовых приближений (гипотеза Зарембы), теорией сумм произведений и оценками сумм Клоостермана.

Ожидаемые результаты
Мощевитин--Шкредов. Усилить оценку Коробова в задаче Зарембы. А именно, будет доказано, что для любого простого числа p найдется такое ненулевое a<p, что все неполные частные числа a/p ограничены величиной O(\log p/\log \log p). Задача Зарембы --- это классический вопрос теории диофвнтовых приближений, связанный и имеющий приложения к численному интегрированию двумерных функций. В разное время им занимались различные математики Заремба, Коробов, Хенсли, Чанг, Нидеррайтер, Джекинсон, Полликот и т.д. В настоящее время интерес к этой проблематике не угас, упомянем знаменитое недавнее доказательство гипотезы Зарембы для почти всех чисел Бургана--Конторовича и их последователей: Кан, Фроленков, Хуанг, Мэги-О-Винтер и др. Таким образом, нами будет получено первое (с 70х гг. прошлого столетия) продвижение в столь актуальной гипотезе, которое будет касаться не почти всех, но всех чисел. Шкредов. 1) Найти оптимальную (с точностью до произвольно малого \eps>0) оценку в модулярной гипотезе Зарембы. А именно, будет доказано, что для любого простого числа p найдется такое кратное ему число q, q= O(p^{1+\eps})  так, что для некоторого a, (a,q)=1 все неполные частные числа a/q ограничены величиной O_\eps (1). Также будет доказана слабая гипотеза Хенсли для канторовских множеств действительных чисел, у которых все неполные частные принадлежат конечному алфавиту A. Изучить рост в произвольной группе Шевалле G(q) относительно ее параболических подгрупп, и доказать, что для любого подмножества A размера |G(q)|/q^{r+1+\eps}, где r -- ранг группы G(q) найдется n = n (\eps) такое, что A^n \cap P \neq \emptyset для любой параболической подгруппы P \le G(q). Этот результат внесет свой вклад в один вариант известной гипотезы Бабаи (недавние сильные результаты в направлении этой гипотезы были получены Пайбером, Сабо, Грином, Бройаром, Тао, Хельфготтом, Гауэрсом и т.д.) о росте в небелевых простых группах. 2) Получить нетривиальную верхнюю оценку на энергию произвольных множеств в многообразиях, а именно доказать, что если G -- конечная алгебраическая группа над конечным полем F_q и V\subseteq G -- его подмногообразие и \Gamma -- максимальная алгебраическая подгруппа из многообразий \{сV\}, с -- пробегает всю группу G, то для любого подмножества A \subseteq V, имеющего размер |A|\ge |\Gamma|^{1+\eps}, существует нетривиальная верхняя оценка на мультипликативную энергию E(A) вида E(A) \le |A|^{3-\delta}, где \delta = \delta (\eps). В частности, нетривиальная оценка на мультипликативную энергию для самого многообразия V имеет место тогда и только тогда, когда размер максимального класса смежности алгебраических подгрупп в V есть o(|V|). Вывести отсюда чисто алгебраическое следствие о размерах максимального класса смежности алгебраических подгрупп и максимального класса смежности всех подгрупп. Эта проблематика связана с, так называемым, restriction phenomenon, находящимся на пересечении теории чисел, геометрии инциденций, теории функций, аддитивной комбинаторики и теории чисел, и которым занимались такие специалисты, как Бурган, Тао, Гут, Деметр и др. Все это еще раз указывает на актуальность нашей темы. 3) Доказать такой чисто аддитивно--комбинаторный структурный результат: пусть A --- подмножество абелевой группы G и \delta, \eps \in (0,1) -- некоторые параметры. Тогда найдется натуральное число k=k(\delta,\eps) так, что либо E_k (A) \le |A|^{k+\delta} (E_k (A) := \sum_{x} |A\cap (A-x)|^k --- k-я энергия множества A), либо множество A имеет очень жесткую структуру, а именно существуют два множества H,Z \subsem G, |H| \gg |A|^{\delta(1-\eps)}, |H+H| \ll |A|^\eps |H|, |Z||H| \ll |A|^{1+\eps} и |A\cap (H\dotplus Z)| \gg |A|^{1-\eps}, где сумма H\dotplus Z --- прямая. Также мы планируем найти приложения данного результата к классическому объекту теории чисел и аддитивной комбинаторики -- множествам Сидона S. Этим замечательным семейством, связанным с вопросами теории функций, занимались такие специалисты как Эрдеш, Ружа, Бурган, Натансон, Гауэрс, Силлируелло, Фокс, Прендивиль и др. Интерес к нему вызван, в частности, тем, что каждый его представитель является, в некотором смысле, более случайным, чем случайное множество и, следовательно, обладает необычными свойствами. Мы планируем доказать, что размер максимального множества Сидона в множестве А, относительно операции сложения или же операции умножения --- не меньше, чем |A|^{1/2+c}, где c>0 --- некоторая абсолютная константа. Также мы получим, что оценка сверху здесь O(|A|^{2/3}). Мощевитин. Планируется провести детальное исследование спектра Дирихле для совместных приближений двух вещественных чисел, в частности существенно уточнить теорему Ахунжанова-Шацкого о спектре Дирихле для приближений в евклидовом норме. Мы исследуем вопросы достижимости постоянных Дирихле для вещественных векторов в задаче о совместных приближениях. Планируется доказать аналог одномерной теоремы об осцилляции разности функций мер иррациональности двух несоизмеримых вещественных чисел для случая большего количества функций. Гайфулин. Планируется доказать существование пропусков в спектре Минковского, связанного с выпуклой оболочкой наилучших приближений к иррациональным числам, его замкнутость. Эти результаты станут аналогами классических теорем Фреймана, Кузика и других математиков о структуре спектров Маркова и Лагранжа. Вьюгин. Будут продолжены исследования по методу Степанову -- классическому теоретико-числовому подходу к получению верхних оценок для числа решений различных уравнений в F_p. Мы продолжаем исследования начатые Конягиным, Шпарлинским, Хиф-Брауном, Митькиным, Постниковым, а также Шкредовым, Вьюгиным с учениками и другими математиками. Как недавно обнаружилось, данные исследования по мультипликативным подгруппам связаны также и с распределением Марковских троек (Бурган-Гамбурд-Сарнак) -- другому классическому объекту теории чисел. Имеются также приложения к оценкам тригонометрических сумм, криптографическим задачам и аддитивной комбинаторике. В нашем Проекте планируется исследовать поведение многочленов Тейлора элементарных функций над полем характеристики p. В частности планируется доказать верхнюю оценку числа элементов множества уровня f(x)=C для многочленов Тейлора f(x) степени t логарифма, экспоненты и некоторых других элементарных функций при условии, что x принадлежит подгруппе порядка t мультипликативной группы поля. В дальнейшем мы планируем обобщить эти оценки на функции, заданные на более сложных множествах, таких как пересечение аддитивных сдвигов мультипликативной подгруппы. Ольмезов. Планируется развить метод анализа расширенной версии гипотезы Сидоренко для специфичных свёрточных графов, отражающих аддитивную структуру конечного множества, ранее предложенный в работе К. И. Ольмезов, “Элементарный аналог операторного метода в аддитивной комбинаторике”, Матем. заметки, 109:1 (2021), 117–128. Гипотеза Сидоренко о безусловной оценке числа вхождений подграфа в произвольный граф была сформулирована 1986 году для двудольных подграфов и ныне доказана лишь для немногих из таковых. В то же время, её специфичный вариант для треугольного (т. е. недвудольного) подграфа и свёрточных графов фактически представляет собой неравенство между числом решений систем линейных уравнений в конечном множестве, обобщающих понятие аддитивной энергии. Этот результат был впервые доказан в работах Шкредова и позволил получить нетривиальные следствия для задач аддитивной комбинаторике. Мы формулируем гипотезу, обобщающая его результат по образу гипотезы Сидоренко (далее – расширенная гипотеза Сидоренко). Дальнейшая разработка этой гипотезы может пролить свет на другие системы линейных уравнений, а значит – создать потенциал для формулирования и доказательства новых количественных и структурных аддитивно-комбинаторных результатов. Лямкин. Планируется изучить задачу о модулярной гипотезе Зарембы -- вопроса идущего от Хенсли, получившего здесь первые результаты. Развивая подход Мощевитина-Шкредова и Шкредова, мы рассмотрим вариант модулярной гипотезы с условием ненулевого вычета по модулю p, а именно, докажем, что для всякого eps>0 найдется константа M = M(eps), такая что для любого простого p и u \in. {0,1,...,p − 1} существуют q = O_\eps (p^{2+\eps}),q ≡ u (mod p) и натуральное число a : (a,q) = 1 так, что все неполные частные цепной дроби a/q ограничены сверху числом M. Помимо развития и обобщения предыдущих результатов, наша теорема существенным образом уточняет также недавний результат Мэги-О-Винтера о приложении методов аффинного решета (теории, созданной Бурганом-Гамбурдом-Сарнаком) к вопросам распределения цепных дробей, также она является, в некотором смысле, количественной формой последних исследований А. Конторовича (разумеется, лишь в частном случае модулярной группы). Все это указывает, что к данным задачам имеется большой интерес, а тема наших исследований -- актуальна. Семченков. Ожидается получить продвижение в задачах о распределении факториалов по простым модулям, поведении простых делителей чисел вида n! + 1, уточнить остаточные члены в некоторых перечислительных задачах аддитивной комбинаторики, таких как число различных множеств вида A+A по простому модулю, а также в нелинейных задачах о раскрасках. Задачи о факториалах и перечислитильные задачи привлекают активное внимание исследователей на протяжении последних 20 лет, тогда как существенных результатов в нелинейных задачах аддитивной комбинаторики науке известно еще мало, хотя они и вызывают неизменный интерес. Арутюнян. Планируются исследования в области экспандеров -- активно развивающейся актуальной области, в частности, планируется получение общих результатов о парных алгебраических экспандерах, естественным образом обобщающие обыкновенные функции-расширители. Габдуллин. Планируется построить пример последовательности попарно взаимно простых чисел, расстояния между соседними членами которой существенно меньше, чем расстояния между последовательными простыми числами. Данная задача поставлена в недавней работе N.McNew, где аналогичный результат получен для примитивных последовательностей (последовательность называется примитивной, если никакой её элемент не делит другие её элементы). Королев. Планируется дальнейшее исследование коротких сумм Клоостермана по простому модулю p и уточнение полученных ранее оценок для сумм, длина которых существенно меньше корня квадратного из модуля p. Ожидаемые результаты, как представляется, вполне отвечают мировому уровню, поскольку подобные задачи привлекали внимание таких ведущих мировых специалистов, как Ж. Бурган, М.З. Гараев и др. Планируется получение новых тождеств, выражающих значения дзета-функции Римана, L-рядов Дирихле и их степеней в целых точках в виде бесконечных быстро сходящихся рядов. Таким образом, уровень ожидаемых результатов -- мировой, а научные исследования, которые мы предлагаем провести новы и значимы для рассматриваемой области.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---