КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 19-11-00058

НазваниеГильбертовы пространства аналитических функций

РуководительБелов Юрий Сергеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет", г Санкт-Петербург

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (35).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые словаПространства Фока, пространства де Бранжа, канонические системы, меры Кларка в полидиске, усеченные операторы Теплица, гиперцикличность, пространства Бесова, пространства аналитических функций нескольких комплексных переменных, задачи о полноте.

Код ГРНТИ27.27.15

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Проект посвящен продолжению изучения пространств аналитических (в частности, целых) функций таких как пространства Фока, Бергмана, Пэли-Винера, а также смежным вопросам из анализа Фурье и теории операторов. Первая часть проекта посвящена разложению данного элемента пространства аналитических функций в сумму по системе из воспроизводящих ядер с (по возможности) малой плотностью. Система из воспроизводящих ядер при этом может зависеть от элемента. Предполагается получить результаты в этом направлении для систем из экспонент на отрезке (воспроизводящих ядер в пространстве Пэли-Винера) и частотно-временных сдвигов гауссиана (воспроизводящих ядер в пространстве Фока). Вторая часть проекта посвящена аппроксимативным свойствам наипростейших сумм (т.е. сумм с целыми положительными коэффициентами) фундаментальных решений эллиптических дифференциальных уравнений. В этом направлении будут изучаться аналоги задачи Чуи о минимуме нормы наипростейшей суммы в различных пространствах аналитических функций в единичном круге, а также задачи о плотности наипростейших сумм в таких пространствах. Основное внимание планируется уделить наипростейшим суммам ядер Коши (т.н. наипростейшие дроби), полианалитических ядер (полианалитические наипростейшие дроби) и функций вида log|z-a|. Также планируется изучить асимптотику норм степеней аналитической в круге функции. Этот вопрос мотивирован приложениями к операторам композиции. Для винеровской нормы он был сформулирован ещё Бёрлингом и Каханом в 1950-х годах. Некоторые результаты были получены Каханом для супремум нормы коэффициентов Тейлора. Таким образом, естественно рассматривать соответствующую задачу в аналитических $l^p$ классах. Блюдзе и Шиморин получили в 1993 году для $p$ между 1 и 2 полиномиальную по $N$ асимптотику убывания $l^p$ норм коэффициентов Тейлора для $N$-й степени данной аналитической в круге фунцкии. Для $p$ больше 2, они дали лишь верхнюю оценку. В проекте мы собираемся описать возможные асимптотики $l^p$ норм коэффициентов Тейлора для $N$-й степени для $p$ больше 2, по крайней мере для конечных произведений Бляшке. Представляется, что точное значение порядка полиномиального убывания для $p$ строго между 2 и $\infty$ должно отличаться от значений в оценках, полученных ранее. Следующая часть проекта посвящена новым задачам о мерах Кларка и смежных объектах в многомерной ситуации. Эти задачи в первую очередь связаны с теоремами вложения для больших и малых модельных пространств в единичном шаре, а также для подобных пространств в полидиске. Еще одна тема проекта связана со спектральными свойствами и динамикой операторов Теплица в пространстве Харди и их сужений на модельные подпространства (усеченные операторы Теплица). Несмотря на значительное количество исследований, посвященных усеченным операторам Теплица, их спектральные свойства на данный момент остаются слабо изученными. Планируется исследовать спектральные свойства усеченных операторов Теплица из некоторых естественных и важных для приложений классов, в том числе с рациональными символами. Предполагается описать структуру точечного спектра усеченного оператора Теплица и исследовать вопрос о полноте собственных векторов. Планируется исследовать класс линейных операторов, преобразующих векторнозначные функции из пространства L^2(l^2) в скалярные функции. Рассмотрим подмножество G тех из них, которые являются L^2-сжатиями и удовлетворяют условиям теоремы Ганди для фильтрации Хаара. В работах В.А. Боровицкого, Н.Н. Осипова и А.С. Целищева (2021) доказано, что поведение L^p-норм операторов из G может быть изучено методом функции Беллмана. В частности, из этих результатов следует равномерная L^p-ограниченность операторов из класса G для 1 < p \le 2. Было доказано, что одним из таких операторов является оператор, L^p-ограниченность которого лежит в основе доказательства Н.Н. Осиповым (2016) аналога неравенства Рубио де Франсиа для системы Уолша. Еще одна задача проекта – найти точную константу в L^p-оценках для операторов из теоремы Ганди. В работе [Hare, Klemes, Trans. Am. Math. Soc., 1992] была сформулирована гипотеза о том, что неравенство Рубио де Франсиа будет верным сразу для всех 1 < p < \infty при условии, что длины интервалов, участвующих в разбиении спектра, могут быть упорядочены в виде геометрической прогрессии (по двойственности неравенство будет в этом случае двусторонним). В ходе выполнения проекта планируется доказать эту гипотезу при помощи базиса Уолша и модификации вышеописанной беллмановской теории. Следующая часть проекта - описание пространств аналитических функций через скорость аппроксимации функций многочленами. Эта классическая задача математического анализа восходит к работам Д. Джексона, С. Бернштейна, Дж.Э. Литтлвуда, Р. Пэли, Ю. Марцинкевича, А. Зигмунда и, впоследствии, развивалась Е.М. Дынькиным, В. Тотиком, Н.А. Широковым, М. Йевтичем и М. Павловичем.

Ожидаемые результаты
Планируется доказать, что функция общего положения из пространства Пэли-Винера лежит в замкнутой линейной оболочке системы из воспроизводящих ядер с плотностью меньше критической. Также планируется получить аналогичный результат для классического пространства Фока. В ходе выполнения проекта мы ожидаем получить новые результаты о виде конфигураций точек на единичной окружности, при которых достигается минимум нормы наипростейшей суммы ядер Коши, полианалитических ядер, других ядер, связанных с эллиптическими уравнениями, в (весовых) пространствах Бергмана в единичном круге. Будут получены необходимые и достаточные условия плотности наипростейших сумм указанного вида в таких пространствах. Также ожидается получение точных оценок для порядка полиномиального убывания $l^p$ норм последовательностей коэффициентов Тейлора $N$-х степеней конечных произведений Бляшке. Эти результаты должны улучшить предыдущие результаты Блюдзе и Шиморина и должны быть полезны для изучения операторов композиции в соответствующих функциональных пространствах. Планируется доказать новые свойства классических и обратных мер Карлесона в полидиске и единичном шаре. Особое внимание мы хотим уделить соответствующим доминантным множествам, в частности, принципиальной задаче о существовании доминантного множества для малого модельного пространства, соответствующего произвольной внутренней функции в единичном шаре. Планируется найти критерии гиперцикличности для операторов Теплица с полиномиальной аналитической частью символа. Планируется описать спектры усеченных операторов Теплица с полиномиальными и рациональными символами, а также исследовать вопрос о полноте собственных векторов. Планируется получить новые результаты об упорядоченности подпространств, инвариантных относительно деления, в пространствах Коши-де Бранжа для случая, когда все полюса лежат на конечной системе лучей и в, частности на кресте. Предполагается исследовать задачу спектрального синтеза в пространствах Коши-де Бранжа и уточнить оценки для максимального дефекта синтеза. Планируется получить точную константу в L^p-оценках для операторов из экстраполяционной теоремы Ганди. Во-вторых, планируется проверить гипотезу Хейр−Клемеса о неравенстве Литлвуда−Пэли−Рубио де Франсиа для базиса Уолша. Обе задачи являются значимыми, актуальными и находятся на переднем крае исследований в области гармонического анализа. Планируется получить описание пространств аналитических функций через скорость полиномиальных приближений на границе области. Планируется получить критерии ограниченности и компактности коммутаторов максимальных операторов, связанных с интегральными представлениями аналитических функций.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---