Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Для однотипных дифференциальных игр с импульсным управлением первого игрока, в которых один из игроков в момент времени заранее неизвестный противнику, может один раз поменять свою динамику, найдены необходимые и достаточные условия окончания. Построены соответствующие управления игроков. Разработана методика сведения задачи управления параболической системой, описывающей нагрев заданного количества стержней, у которых неизвестны точные функции плотности внутренних источников тепла, к однотипной задаче управления при наличии неопределенности. Для этой задачи найдены необходимые и достаточные условия окончания. Изучено поведение нелинейных управляемых систем на конечном промежутке времени. Получена оценка сверху (в хаусдорфовой метрике) степени изменения интегральных воронок управляемой системы в результате ее варьирования на двух участках времени. Выведена формула для верхней оценки хаусдорфова расстояния между интегральными воронками исходной и проварьированной управляемой систем. Разработан аналитико-численный подход к построению сингулярных множеств функции оптимального результата в задаче управления по быстродействию с круговой вектограммой скоростей для случая невыпуклого целевого множества, граница которого дважды непрерывно дифференцируема и имеет конечное число точек с разрывами производных третьего порядка от координатных функций. Важным элементом разработанного подхода является отыскание для каждой псевдовершины (особой точки границы целевого множества) ее маркеров – числовых характеристик псевдовершины. Показано, что каждый из маркеров может быть найден как неподвижная точка соответствующего отображения. Доказано, что в случае, когда односторонние кривизны в псевдовершине границы целевого множества имеют разные знаки, маркер псевдовершины вычисляется приближенно с помощью рекуррентной формулы классического метода Ньютона. Проведено численное моделирование функции оптимального результата и сингулярных множеств для конкретных примеров задач управления по быстродействию. Развит аппарат построения решений для одного класса пространственных задач управления по быстродействию с шаровой динамикой и невыпуклым целевым множеством. Для случая, когда в качестве целевого множества выступает гладкая пространственная кривая, приведены обобщения понятий псевдовершины кривой и крайней точки рассеивающей поверхности L, порождённой этой псевдовершиной. Доказано, что все крайние точки лежат на прямой, уравнение которой определяется через инварианты кривой и векторы её подвижного канонического репера. Проведено численное моделирование решения ряда задач управления по быстродействию в виде совокупности карт поверхностей уровня функции оптимального результата с выделением множеств их негладкости. При построении рассеивающей поверхности отдельно описаны её кромки и одномерные многообразия, в которых стыкуются гладкие участки поверхности L. Проведено решения ряда задач, в которых целевым множеством выбрана замкнутая параметрически заданная кривая. Изучены две задачи конфликтного управления нелинейной управляемой системой на конечном промежутке времени – задача о сближении с компактным целевым множеством в фазовом пространстве системы и задача об уклонении системы от некоторой ε-окрестности целевого множества. Основу изучения задач составил подход, использующий унификационные конструкции Н.Н. Красовского в теории дифференциальных игр. Предложены схемы приближенного конструирования множеств разрешимости и разрешающих стратегий игроков в этих задачах. Проведено математическое моделирование игровой задачи о сближении на двух конкретных механических системах на плоскости. Рассмотрена линейно-квадратичная задача оптимального управления с конечным горизонтом для динамической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями с дробными производными Капуто. Найдено явное выражение для функционала оптимального результата управления (функционала цены). Предложена пошаговая процедура управления по принципу обратной связи для построения ε-оптимальных управлений с любой наперед заданной точностью ε>0. Основу для получения этих результатов составило исследование свойств решения соответствующего уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана с так называемыми дробными коинвариантными производными. Исследована задача о сближении управляемой системы с целевым множеством в заданный момент времени в том случае, когда некоторый векторный постоянный параметр, присутствующий в управляемой системе, сообщается управляющему лицу только в момент начала движения. Для решения данной задачи в режиме реального времени был разработан алгоритм билинейной интерполяции заранее вычисленных "узловых" программных управлений по двумерному векторному параметру. Доказана оценка погрешности сконструированного алгоритма в виде оценки расстояния между управляемой системой и целевым множеством в конечный момент времени. Для задач группового управления робототехническими системами проведен анализ методов управления. Основаны эти подходы на теории уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана для управляемых эллипсоидальных движений и на геометрических конструкциях для задач управления движением эллипсоидального тела в условиях наличия препятствий. Для линеаризованной динамики робототехнической системы предложены адаптированные для данных систем алгоритмы, позволяющие управлять движениями группы роботов с целью достижения некоторого множества при наличии внешних препятствий и в условиях предотвращения столкновений. В результате работы по проекту получены решения прикладных задач управления, основанных на моделях роста с производственной функцией постоянной эластичности замещения (CES function). В процессе решения проведен анализ существования уровней насыщения роста, построен стабилизатор для гамильтоновой динамики и рассмотрены стабилизированные решения вблизи установившегося состояния. Проведен анализ поведения равновесных траекторий в динамических биматричных играх. Рассмотрены два вида динамики: динамический подход, основанный на идеях гарантированных стратегий Н.Н. Красовского, и репликаторная динамика, которая относится к теории эволюционных игр. Проведено сравнение объективных показателей равновесных траекторий для исследуемых динамических систем. Показано, что траектории, порожденные стратегиями оптимального управления, обладают характеристиками, лучшими по сравнению со свойствами траекторий репликаторной динамики. В качестве примера представлена модель с матрицами выигрышей двух игроков на финансовых рынках акций и облигаций, которая демонстрирует поведение равновесных траекторий в динамических биматричных играх. Разработан новый сеточный алгоритм построения множеств достижимости управляемых систем. В этом алгоритме совмещены процедуры вычисления следующего по времени множества достижимости и прореживания, что позволяет более эффективно использовать ресурсы ЭВМ в процессе расчетов.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Для однотипной дифференциальной игры с многократным изменением динамики получены достаточные условия окончания и найдено соответствующее гарантирующее управление первого игрока. В качестве примера рассмотрена задача группового преследования, в которой изменение в динамике (поломка) может произойти не более чем у заданного количества преследователей. Для однотипных дифференциальных игр найдены необходимые и достаточные условия удержания в n-мерном кольце и построены соответствующие оптимальные управления игроков. В качестве примера рассмотрена задача группового преследования, в которой один преследователь следует за другим преследователем, удерживая вектор своих относительных координат в кольце. Для задачи управления параболической системой при наличии помех, неопределенностей и с выпуклым терминальным множеством найдены необходимые и достаточные условия окончания и построено соответствующее управление. Рассмотрен случай задачи с неизвестным заранее моментом изменения динамики (поломкой) управляемой системы. Для этого случая найдены достаточные условия окончания. Продолжено изучение задач управления интегральными воронками управляемых систем с изменяющейся динамикой. Исследовались сформулированные в общем виде задачи управления интегральными воронками управляемых систем с помощью выбора одного или двух малых промежутков времени с изменённой динамикой системы. Рассмотрен вопрос о таком расположении этих промежутков, при котором достигается минимум хаусдорфова расстояния между интегральными воронками исходной системы и системы, проварьированной на малых промежутках времени. Получены аналитические оценки сверху этого хаусдорфова расстояния. Проведено численное моделирование на ЭВМ конкретных управляемых колебательных механических систем с таким образом изменяющейся динамикой. Разработаны методы аналитико-численного построения решений для нескольких классов задач управления по быстродействию на плоскости и в трехмерном пространстве. Создан алгоритм решения пространственной задачи быстродействия с шаровой вектограммой скоростей для случая, когда целевое множество является невыпуклым и ограничено гладкой поверхностью S. Основным элементом решения является рассевающая поверхность L, на которой функция оптимального результата теряет гладкость. Для конструирования L на поверхности S выделяются характеристические точки – псевдовершины, отвечающие за зарождение L. Доказана теорема о том, что если псевдовершина является эллиптической точкой, то соответствующая ей крайняя точка множества L является центром кривизны одного из главных сечений S в псевдовершине, соответствующего большей по модулю кривизне. Показано, что кривизна главного сечения достигает в псевдовершине локального максимума. Также исследованы задачи быстродействия на плоскости с круговой вектограммой скоростей для специальных случаев, в которых псевдовершина границы плоского целевого множества имеет аномальные свойства. В частности, изучен вариант псевдовершины, в которой предельные значения односторонних кривизн граничной кривой имеют различные знаки. Доказана теорема о том, что данная псевдовершина может порождать две ветви множества L. Кроме того, предложена основанная на методе Ньютона итерационная процедура численного построения негладкого решения задачи управления по быстродействию на плоскости для случая целевого множества с достаточно гладкой границей. Разработанные алгоритмы оформлены в виде пакета вычислительных программ, с помощью которых осуществлено моделирование решений для конкретных примеров задач быстродействия на плоскости и в трёхмерном пространстве. Предложена новая численная схема решения позиционных дифференциальных игр, опирающаяся на введённое понятие u-стабильного тракта, двойственного к понятию u-стабильного моста и соответствующего записи свойства u-стабильности в терминах так называемого обратного времени. Схема заключается в построении А-системы множеств в фазовом пространстве, аппроксимирующей максимальный u-стабильный тракт. Дано обоснование сходимости, порождаемых этими схемами множеств к максимальным u-стабильным трактам и максимальным u-стабильным мостам. В задаче оптимального управления динамической системой, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями с дробными производными Капуто, на минимум терминального показателя качества установлена связь между необходимым условием оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина и уравнением Гамильтона – Якоби – Беллмана с так называемыми дробными коинвариантными производными. А именно, доказано, что при условии единственности оптимального обобщенного управления, сопряженная переменная из принципа максимума Понтрягина совпадает с точностью до знака с дробным коинвариантным градиентом функционала оптимального результата управления, вычисленным вдоль оптимального движения. Разработан алгоритм линейной интерполяции программного управления по трёхкомпонентному векторному параметру в задаче о сближении динамической системы с целевым множеством в фиксированный момент времени. Для уменьшения погрешности интерполяции "узловые" разрешающие программные управления строились таким образом, чтобы движение системы проходило через выбранные "контрольные" точки при любом "узловом" значении параметра. В конечном итоге, малая погрешность была достигнута за счёт близости траекторий движения управляемой системы, соответствующих различным "узловым" разрешающим управлениям, участвующих в одной выпуклой линейной комбинации при построении искомого разрешающего управления. Зарегистрирован в Росриде программный комплекс, который реализует разработанный алгоритм линейной интерполяции программного управления по скалярному параметру в задаче о сближении. В рамках задач на неограниченном промежутке времени, проведены исследования чувствительности стабилизированных решений гамильтоновых систем по параметру эластичности  производственных функций с постоянной эластичностью замещения, которая используется в модели экономического роста для описания зависимости выпуска от факторов производства. Исследованы предельные случаи, когда параметр  стремиться к 0, а функция вырождается в степенную функцию типа Кобба-Дугласа. Проведенные численные эксперименты иллюстративно подтверждают теоретические выводы о сходимости стабилизированных решений задач управления с производственной функцией с постоянной эластичностью замещения к соответствующим решениям в случае производственной функции Кобба-Дугласа при стремлении параметра  к нулю. Предложены схемы настройки неопределенных (заданных с погрешностью) параметров правых частей динамики модели. На примере двухсекторной модели роста рассмотрены вопросы чувствительности решений к изменениям параметра целевого функционала. Численно получены условия возникновения циклических трендов основных показателей развития регионов. Для задач управления, основанных на моделях роста и включающих фазовые ограничениями на запасы ресурсов, предложена вероятностная интерпретация данных ограничений. Данные условия в несколько модифицированном виде можно характеризовать при помощи базовых понятий теории надежности, аппроксимация которых позволяет вычислить управления и фазовые траектории, являющиеся допустимыми решениями задачи управления. Проведен анализ поведения равновесных траекторий в динамических биматричных координационных играх. Рассмотрены два вида динамики: динамический подход, основанный на идеях гарантированных стратегий Н.Н. Красовского, и репликаторная динамика, которая относится к теории эволюционных игр. Проведено сравнение объективных показателей равновесных траекторий для исследуемых динамических систем. Показано, что траектории, порожденные стратегиями оптимального управления, обладают характеристиками, лучшими по сравнению со свойствами траекторий репликаторной динамики. В качестве примера представлена модель с матрицами выигрышей двух игроков, которые отражают процесс инвестирования средств в два проекта.