КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 22-17-00114

НазваниеВычислительные задачи геофизической магнитогидродинамики

РуководительЖелиговский Владислав Александрович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук (ИТПЗ РАН), г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ 2022 г. - 2024 г. 

Конкурс№68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 07 - Науки о Земле, 07-405 - Геомагнитное поле, геодинамо, палеомагнетизм

Ключевые словаМагнитное поле Земли, магнитные инверсии, магнитное динамо, разделение масштабов, альфа-эффект, турбулентная диффузия

Код ГРНТИ37.15.25

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Геомагнитное поле - необходимое условие существования жизни на поверхности Земли. Оно препятствует срыву атмосферы Земли солнечным ветром и попаданию на нее потоков высокоэнергетических космических частиц. По современным научным представлениям, магнитное поле Земли, как и многих других астрофизических объектов, создается конвекцией электропроводного расплава во внешнем ядре. Это динамический процесс; по палеомагнитным данным раз в несколько сот тысяч - миллион лет происходят инверсии геомагнитного поля, в которых его полярность изменяется на противоположную. Остается ли магнитное поле на протяжении всей инверсии достаточно сильным для сохранения своих рассеивающих и защитных свойств, неизвестно. По результатам палеомагнитных исследований, 795 тысяч лет назад начался период неустойчивости магнитного поля, продолжавшийся 22 тысячи лет, в течение которых проходили увеличение и уменьшение напряженности поля, экскурсии магнитного полюса и коллапс дипольной компоненты поля, после чего 773 тысячи лет назад инверсия закончилась и началась современная эпоха Брюнес постоянной ориентации геомагнитного диполя. Некоторые измерения свидетельствуют, что в настоящее время, возможно, наблюдается начало новой инверсии (высказываются и противоположные точки зрения, см., например, Brown et al., PNAS 115, 2018, 5111-5116, www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1722110115 PNAS). Это придает практическую значимость и актуальность углубленному изучению процесса инверсии и механизмов гидромагнитной генерации магнитного поля как в линейной, так и нелинейной постановках. С этой целью, в данном проекте будут рассмотрены следующие задачи геофизической магнитогидродинамики (МГД). (1) Моделирование процесса инверсии посредством численного решения уравнений конвективного гидромагнитного динамо в плоском вращающемся слое. Постановка задачи в плоском слое с условием периодичности в горизонтальных направлениях позволяет выделить фундаментальные свойства решений, не связанные со специальной геометрией (сферический слой) объема электропроводного расплава во внешнем ядре Земли, а также существенно упрощает вычисления. Цель работы - численно найти и изучить достаточно большое число случаев инверсии магнитного поля, чтобы получить представление об их различных возможных сценариях. Направление оси вращения слоя будет варьироваться от вертикального (перпендикулярного слою жидкости) до горизонтального (параллельного слою) для моделирования процесса генерации в сегментах внешнего ядра, расположенных на различных широтах, от приполярных до приэкваториальных, соответственно. В отличие от известных в литературе подходов, мы не планируем приближаться как можно ближе к области параметров, характеризующих условия во внешнем ядре Земли, а будем использовать величины, при которых качественно поведение решений уже подобно поведению геомагнитного поля, но которые не требуют чрезмерных вычислительных ресурсов (времени расчета одного режима и пространственного разрешения). Этот подход даст возможность исследовать достаточно детально зависимость поведения системы от параметров задачи, и, в частности, выявить один или несколько характерных типов поведения магнитного поля во время инверсии. Ранее такая задача исследователями не ставилась. С точки зрения теории динамических систем, инверсия связана с симметрией системы относительно обращения магнитного поля B→-B и наличием гетероклинических циклов, связывающих слабо-неустойчивые МГД режимы, в которых магнитное поле противоположно. Сценарий (последовательность бифуркаций), приводящий к инверсиям магнитного поля, был предложен в работе Podvigina (GAFD, 97, 2003, 149-174), где также приведен пример системы, в которой этот сценарий реализован. Поиск режимов, содержащих инверсии магнитного поля, мы планируем проводить, следуя идеям этой работы. Опора на математическое понимание природы инверсий облегчит поиск режимов конвективного динамо, в которых они наблюдаются, и также является оригинальной чертой планируемого исследования. Расчет существенного числа инверсий, который становится возможен, когда расчеты проводятся для умеренных величин параметров, позволит рассмотреть задачу о поиске предвестников геомагнитных инверсий. Согласно современной научной парадигме, катастрофические события в сложной нелинейной системе часто являются кульминацией последовательности малых изменений в ней. Таким образом, прогностический интерес может представлять исследование процессов подготовки инверсии на достаточно малых пространственных и временных масштабах. В качестве примера отметим, что магнитные данные последнего периода стабильной полярности достоверно указывают на экскурсии геомагнитного поля, которые можно понимать как неполные инверсии, и в первом приближении продолжительность и масштаб экскурсий информативны при сравнении моделей и реальности. Известно, что задача прямого поиска предвестников в реальных палео- и археомагнитных магнитных данных сегодня выглядит нереалистичной, однако это обстоятельство может быть следствием физической специфики этих данных: они имеют очень ограниченное разрешение по времени и пространству деталей главного магнитного поля Земли, - что не исключает возможность существования предвестников, связанных с поведением поля на малых масштабах. Напротив, численные решения дают возможность изучать явление инверсии на малых масштабах и вычислять временные ряды для любого мелкомасштабного параметра. Более того, такие же временные ряды можно строить по результатам измерений реального геомагнитного поля, поэтому, по крайней мере в принципе, в дальнейшем можно будет определить, прогнозирует ли такой гипотетический предвестник инверсию геомагнитного поля по поведению главного магнитного поля в настоящее время (определенные сложности могут быть связаны с выделением из измеренного поля компоненты, относящейся ко главному полю). (2) Еще одним направлением для исследования указанных выше пространственно-периодических решений будет сравнительное исследование их разложений по функциональным базисам. В настоящее время имеется некоторое количество вычислительных решений уравнений магнитной гидродинамики в их сферической версии (имитирующих реальную геометрию строения Земли). Появилась принципиальная возможность оценки нетривиальных асимптотик коэффициентов разложения поля по пространственным масштабам (например, разложений по сферическим гармоникам). Сравнение с аналогичными разложениями решений для пространственно-периодических (и квазипериодических) течений может быть основой для общего характеристического описания различных режимов магнитного динамо. (3) Задаваемые в рамках кинематического подхода поля скорости электропроводной жидкости призваны имитировать ее турбулентные течения. При рассмотрении процессов, на которые не влияют размеры содержащего жидкость контейнера, часто поле скорости считают стационарным и пространственно-периодическим. Однако течения на масштабах турбулентности стохастичны, а не периодичны по пространству. В данной задаче мы сделаем шаг навстречу турбулентности, задавая квазипериодичное (т.е. имеющее две несоизмеримые пространственные частоты по каждому координатному направлению) течение. При этом оно может иметь стационарное, периодическое по времени (тогда для определения магнитных мод и их инкрементов роста необходимо решить задачу Флоке) или квазипериодическое по времени (т.е., имеющее две или более несоизмеримые частоты) поле скорости, что также ближе по свойствам к турбулентным течениям. Для решения задачи на собственные значения для оператора магнитной индукции для определения инкремента роста доминирующей магнитной моды (задача кинематического динамо) применимы псевдоспектральные методы с разложением магнитной моды в индивидуальный ряд Фурье по каждой пространственной и временной (когда течение нестационарно) базисной частоте. При выборе таких полей скорости определенной структуры задача оказывается естественно параллелизуема для ведения расчетов на кластерах. Будут проведены расчеты как короткомасштабных динамо, так и длинномасштабных, где действуют механизмы магнитного α-эффекта или отрицательной вихревой диффузии. (4) Классическое понятие α-эффекта основано на предположении о существенном разделении пространственных масштабов между возмущаемым состоянием и генерируемой модой неустойчивости (например, между магнитной модой и генерирующем течением в задаче кинематического динамо). Мы изучим, насколько верно это предположение. Пространственно-периодическое течение может генерировать квазипериодические магнитные поля типа блоховских мод, имеющих вид произведения периодического поля на плоскую волну с несоизмеримыми пространственными периодами; такой же вид могут иметь и моды неустойчивости периодических гидродинамических и МГД состояний. Сомножители, представляющие собой плоскую волну, имеют вид гармоник Фурье. В задаче на собственные значения, описывающей моды неустойчивости и их инкременты роста, при дифференцировании эти гармоники дают новые члены, линейные и квадратичные по волновому вектору плоской волны, и сокращаются из уравнений. Соответственно, задача преобразуется в задачу на собственные значения для поля такой же пространственной периодичности, что и у поля скорости течения в задаче кинематического динамо, или у возмущаемого состояния в задачах гидродинамической и МГД неустойчивости, что сильно упрощает вычисления. Вычисляя максимум инкремента роста возмущения по волновому вектору плоской волны, можно узнать, насколько велико разделение пространственных масштабов между доминирующей модой неустойчивости и возмущаемым состоянием. В задачах (3) и (4) будут рассмотрены генерирующие течения и возмущаемые МГД состояния, у которых будут псевдослучайные коэффициенты разложений в ряд Фурье и заданные энергетические спектры различного типа: экспоненциально затухающий или колмогоровский, или состоящие из нескольких ненулевых гармоник Фурье. Так будет моделироваться фрагмент турбулентного МГД состояния в определенном диапазоне пространственных масштабов: в диссипативном и инерционном интервалах, а также на масштабах крупных вихрей. Постановки всех описанных задач оригинальны и находятся на переднем крае науки, а их решения, которые предполагается построить в процессе выполнения проекта, будут в полной мере характеризоваться научной новизной.

Ожидаемые результаты
Выполнение проекта расширит теоретические представления о магнитном динамо. Будут получены новые знания о процессах, управляющих магнитным полем во время инверсий геомагнитного поля. При решении задачи (1) будут исследованы следующие вопросы: Как происходит инверсия - уменьшается ли в ее процессе магнитное поле до нуля (что сопровождается временным пропаданием его защитных свойств) с последующим ростом в противоположном направлении, или оно "поворачивается", не затухая? Наблюдаются ли во временной эволюции решения какие-либо предвестники инверсии? Насколько сильно ответы на эти вопросы зависят от величин параметров, при которых вычисляется временная эволюция конвективной МГД системы? Можно ли им будет дать теоретическое объяснение? Имея по своей природе фундаментально-научный характер, эти результаты могут оказаться имеющими первостепенную практическую важность, поскольку сейчас интенсивно обсуждается предположение о том, что в настоящее время начинается инверсия геомагнитного поля, при том, что характеристики прошлых инверсий геомагнитного поля остаются недоступными наблюдению. Изучение зависимости от параметров задачи асимптотик и других характерных свойств коэффициентов разложений магнитного поля, построенных по численным решениям уравнений МГД, (задача (2)) может помочь в оценке и уточнении величин этих неизвестных параметров во внешнем ядре Земли по известным коэффициентам разложения главного магнитного поля по сферическим гармоникам. Это важно, поскольку такие оценки можно сделать только неявно, и такие оценки весьма неточны. В отсутствие удовлетворительной математической теории уравнений гидродинамики и МГД, представляет существенный интерес любая информация об асимптотиках коэффициентов как с точки зрения физика, так и математика - любые найденные экспериментально факты можно пытаться проверить аналитически и/или доказать. Сравнение поведения коэффициентов в различных задачах естественно делать, не ограничивая себя типом геометрии объема жидкости (плоский / сферический слой, условия периодичности / квазипериодичности). Вместе с тем, мы предполагаем, что уже проведенные разными научными командами расчеты прольют свет на достаточно общие закономерности нетривиальных асимптотик коэффициентов разложения магнитного поля, которые потом можно будет проверять в т.ч. и на квазипериодических решениях. В задаче (3) планируется рассмотреть поле скорости вида γv(x)+(1-γ)u(x), где каждое из полей v(x) и u(x) пространственно-периодичны, но по каждой координате периоды v(x) и u(x) несоизмеримы. Соответственно, представляет интерес информация о том, как меняются свойства динамо при изменении параметра γ от 0 до 1 в сравнении с периодическими динамо при γ=0 и 1 - в частности, наблюдаются ли какие-либо общие закономерности таких зависимостей, или характер зависимости свойств динамо от γ существенно зависит от выбора пары v,u. Будет также проверено естественное с физической точки зрения предположение о том, что усложнение течения с увеличением "степени квазипериодичности" ("турбулентности") приводит к увеличению инкремента роста доминирующей моды по сравнению с периодическими течениями при γ=0 и 1. Наконец, данные расчеты будут носить методический характер - в частности, мы проверим, насколько эффективны псевдоспектральные методы в применении к задачам с условием пространственной квазипериодичности. Понимание этого важно, например, для выбора метода пространственной дискретизации в расчетах эволюции пространственно-квазипериодических решений систем полных нелинейных уравнений, описывающих конвективные динамо во вращающемся слое. Такие расчеты, скорее всего, выйдут за рамки предлагаемого проекта, однако желательно провести их в будущем для пространственно-квазипериодических режимов конвективного динамо. Рассмотрение генерирующих течений со скоростями вида γv(x)+(1-γ)u(x,t), где u(x,t) периодично или квазипериодично по времени, даст ответы на аналогичные вопросы относительно влияния такого вида зависимостей от времени. Анализируя результаты экспериментов с лабораторными динамо, Pétrélis, Mordant & Fauve (GAFD 101, 2007, 289-323) отметили: "Большинство естественных потоков не имеют четкого разделение масштабов, и недавно было показано в нескольких вычислительных эксприментах, что «α-эффект» может быть очень слабым даже в течениях, имеющих большую спиральность, про которые можно было бы ожидать, что они являются эффективными генераторами длинномасштабного магнитного поля". Предварительные результаты Желиговского и Чертовских (Физика Земли №1, 2020, 118-132) подтверждают неэффективность кинематического динамо на основе магнитного α-эффекта вследствие разделения пространственных масштабов: доминирующими (имеющий максимальный инкремент роста) оказываются блоховские моды, характеризующиеся слабым разделением пространственных масштабов. При решении задачи (4) результаты Желиговского и Чертовских (2020) будут проверены для модельных течений, имеющих энергетические спектры разного вида, и распространены на случаи МГД и гидродинамической устойчивости. Полученные результаты будут иметь важное значение для анализа роли и существенности α-эффекта при генерации планетарного и солнечного магнитного поля, а также могут представлять определенный интерес для развития вычислительного метода крупных вихрей LES (в котором используются замыкания с применением операторов, подобных оператору α-эффекта). Мировой уровень выполнения проекта гарантируется высоким уровнем научной работы и опытом его основных исполнителей. Естественно ожидать, что участие в проекте специалистов с интересами как в области экспериментальной физики (палеомагнетизм, измерения магнитного поля и их коррекция), так и сугубо теоретиков - прикладных математиков (математическая теория уравнений гидродинамики и магнитогидродинамики, теория динамо, теория динамических систем, вычислительные методы) придаст работе по проекту дополнительный синергетический импульс. Участие в проекте будет также важно в педагогическом отношении для привлеченных для его выполнения трех студентов, прививая им вкус к научной работе и воспитывая у них высокие стандарты ее выполнения.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Разработано и программно реализовано 2 алгоритма вычисления режимов нелинейного конвективного динамо в горизонтальном слое жидкости, вращающемся вокруг оси произвольного направления, для геофизически естественных краевых условий: верхняя граница - диэлектрик, нижняя электропроводна, течение удовлетворяет условию прилипания. Поля считаем периодичными по горизонтальным переменным. Оба алгоритма используют метод Галеркина, т.к. галеркинские приближения минимизируют невязку уравнений. Векторные потенциалы тороидальных и полоидальных компонент течения и магнитного поля, их средние поля и температура (ее отличие от линейного распределения) ищем как ряды произведений линейных комбинаций (от 2 до 5 членов) многочленов Чебышева от вертикальной координаты z и гармоник Фурье от горизонтальных x и y. Они удовлетворяют граничным условиям и образуют базис в функциональном пространстве Лебега с весом. Из-за его неортогональности производные коэффициентов по времени вычисляем, решая линейные системы уравнений для ленточных матриц. Численно изучена эффективность и точность (рис. 1) созданных нами для этого специализированных методов и прогонки. Для тороидальных потенциалов оптимален наш метод на основе аналогии между системой и конечно-разностной аппроксимацией второй производной, для полоидальных - прогонка в обратном направлении. Во втором алгоритме эти системы уравнений не возникают. Диффузионные члены интегрируем по времени неявно, а другие члены уравнений явно, что уменьшает жесткость задачи и позволяет увеличить шаг по времени. Пусть W конечномерное пространство бездивергентных полей с базисом из линейных комбинаций произведений тригонометрических полиномов от x и y и полиномов Чебышева от z, а в V его подпространство, где поля удовлетворяют граничным условиям. Мы вычисляем приближенное решение в W, и коррекцию, принадлежащую ортогональному дополнению к V в W. Вычислительная сложность алгоритма порядка размерности V. 2. Все аттракторы, вычисленные нами при модельных краевых условиях для ячеек периодичности, в 1-4 раза бóльших по горизонтальным направлениям периода стационарного конвективного МГД состояния [7] с квадратной ячейкой периодичности, хаотичны, кроме квазипериодичного в трехпериодных (отношение сторон 1:3) жидких ячейках. Магнитное поле генерируется в нелинейном режиме, если период увеличен только по одному горизонтальному направлению в 2 или 4 раза; найдено 2 МГД аттрактора (рис. 2) и один, соответственно, а гидродинамические аттракторы (с бесконечно затухающим магнитным полем) не обнаружены. Оценки магнитного числа Рейнольдса и средней спиральности не различают генерирующие и не генерирующие аттракторы. Когда оба периода увеличены минимум вдвое, характерные размеры МГД структур сокращаются до малых долей (менее 0.1) периода, течение замедляется, и генерация магнитного поля прекращается. Таким образом, инверсии при вычислительно-комфортных параметрах естественно искать в жидких ячейках, близких ко квадратным достаточно малого размера, либо формы существенно вытянутых прямоугольников. 3. Разработаны алгоритмические принципы статистического анализа сравнения режимов конвективного динамо разной геометрии по материалам выполняемого проекта и другим численным конвективным динамо. Проведен предварительный анализ 2024 числовых рядов численных реализаций сферического магнитного динамо для выявления зависимости характерного времени вековой вариации от параметра пространственного масштаба (т.е. характерного времени, после которого коэффициент полностью обновляется), в статистических терминах - зависимости масштаба автокорреляции от пространственных характеристик сферической гармоники. Низкая точность оценок, полученных на основе реальных данных, влечет существенное разночтение результатов. Начат аналогичный анализ численных динамо в плоских периодических трехмерных ячейках, но еще неясно, насколько близки соответствующие аппроксимационные зависимости. Проработаны основы нового метода обработки реальных лабораторных данных для улучшения оценок точности реконструкций направлений магнитного поля в изверженных породах. Широко известный метод α95 анализа группового поведения данных по нескольким образцам дает оценку точности в терминах доверительного конуса направления. Рассмотрен альтернативный дополнительный подход [11], основанный на анализе диаграмм Зейдервельда [9]. Специфика нового метода - использование измерений промежуточного размагничивания образцов (данных, обычно не публикуемых, но остающихся как рабочие материалы лабораторий) для более точного выделения медленных вековых вариаций в реальных данных древнего магнитного поля Земли. 4. В 3 задачах линейной устойчивости (кинематического динамо, гидродинамической и МГД устойчивости) вычислены инкременты роста блоховских мод (произведений векторных полей периодичности возмущаемого состояния и плоских волн exp(iqx)), максимальные по блоховскому волновому вектору q, для центрально-симметричных и не симметричных (поддерживающих вихревую вязкость и α-эффект, соответственно) пространственно-периодических стационарных течений и МГД состояний с энергетическими спектрами 3 типов (экспоненциально затухающий, колмогоровский и нулевой для волновых чисел более 2), всего 18 расчетов. Трехмерное пространство векторов q разбивается на области, где инкремент гладко зависит от q (рис. 3). Мы выразили градиент по q и гессиан инкремента через собственные функции оператора линеаризации и сопряженного к нему. Результат использован при расчете максимумов инкремента методом градиентного спуска и в доказательстве, для всех трех задач, что для стационарных центрально-симметричных течений и МГД состояний, или если собственное значение линеаризации вещественно, для полуцелых q (с целыми или полуцелыми компонентами) градиент инкремента равен нулю. Глобально максимальные инкременты при полуцелых q найдены в 12 из 18 расчетов (рис. 4). Найдено, что у мод с максимальными по q инкрементами отношение пространственных масштабов уменьшается с ростом молекулярной диффузии и/или вязкости от ν=0.03 до 0.3; разделение масштабов существенно лишь при относительно больших ν. Длина |q|, отвечающего максимальному инкременту, заключена между 0.36 и 0.71 при ν=0.03 и снижается (обычно не монотонно) до величин от 0.01 до 0.32 при ν=0.3 в отсутствие симметрий, а для центрально-симметричных течений или МГД состояний |q| в диапазоне от 0.43 до 0.87 при ν=0.03 снижается до величин от 0 до 0.20 при ν=0.3 . (Малая длина |q|>0 отвечает большому разделению масштабов, но при q=0 разделения масштабов нет.) Таким образом, в естественной МГД системе каждый диапазон масштабов порождает возмущения с лишь умеренно бóльшими пространственными масштабами. Возникает существенно нелинейный каскад неустойчивостей; каждая порождает несколько больший масштаб, но течения или магнитные поля с сильным разделением масштабов не создаются. Эти результаты ставят под сомнение важность α-эффекта и вихревой диффузии, основанных на разделении пространственных масштабов, для генерации магнитного поля в астрофизике. У магнитного α-эффекта Брагинского в слабо неосесимметричном течении аналогичного недостатка нет. Во всех трех задачах устойчивости центрально-симметричных стационарных состояний (в 7 расчетах из 9) найдены ветви мод с локально максимальными инкрементами, рождающиеся из ветвей для полуцелых q. Изучено ветвление нейтральных мод при q=0 в кинематическом динамо. Построены разложения мод новой ветви и их собственных значений в асимптотические ряды по степеням корня из отклонения коэффициента диффузии от величины в точке бифуркации. Бифуркация происходит, когда два комплексно-сопряженные собственные значения оператора магнитной вихревой диффузии становятся мнимыми, и генерация магнитного поля механизмом отрицательной вихревой диффузии прекращается. Результаты описаны в 7 статьях и рукописях разной степени завершенности. Из них 1 опубликована (Q1 по базе JCR), 3 поданы в печать, 1 будет подана до конца 2022 г., и работа над 2 будет завершена в 2023 г.

 

Публикации

1. Джеябалан С.Р., Чертовских Р., Гама С., Желиговский В. Nonlinear large-scale perturbations of steady thermal convective dynamo regimes in a plane layer of electrically conducting fluid rotating about the vertical axis Mathematics, Mathematics 2022, 10, 2957 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.3390/math10162957

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Изучены аттракторы системы уравнений тепловой конвекции в плоском слое жидкости, вращающемся относительно горизонтальной или наклонной оси. Показано, что при установлении конвекции критическое число Рэлея, критическое волновое число, наиболее неустойчивая мода, возникающее нелинейное течение вида конвективных валов и инкремент роста кинематически генерируемых ими магнитных мод не зависят от величины горизонтальной компоненты вектора скорости вращения. Однако от нее зависит устойчивость этих валов: с увеличением горизонтальной компоненты скорости вращения растет интервал чисел Рэлея, при которых конвективные валы остаются устойчивыми. Численно найдено, что при потере устойчивости из конвективных валов возникают искривленные валы или бегущая волна, а при дальнейшем увеличении числа Рэлея - периодические или квазипериодические течения. Получены первые численные результаты о генерации магнитного поля конвективными течениями при величинах магнитного числа Прандтля, близких ко критическому. Найдено, что в слое, вращающемся относительно наклонной или горизонтальной оси, генерация магнитного поля может начинаться уже при магнитном числе Прандтля около 2. Когда ось вращения горизонтальна, из искривленных валов в бифуркации Хопфа появляется периодический магнитогидродинамический аттрактор, инвариантный относительно симметрии обращения магнитного поля, поэтому выйти на режим с инверсиями магнитного поля согласно сценарию О. Подвигиной в этом случае невозможно. 2. Численно изучено семейство аттракторов конвективного магнитного динамо в плоском горизонтальном слое жидкости, вращающемся вокруг вертикальной оси, при изменении магнитного числа Прандтля в окрестности критической точки начала генерации магнитного поля, когда течение сохраняет достаточно простую структуру. Детально рассмотрен аттрактор, ячейка периодичности которого - параллелепипед с отношением сторон горизонтального основания 2:1, в котором циклически повторяются следующие пять фаз, характеризующихся течениями разного вида: (i)-(iii) валы с осями под углом 45, 90 и 135 градусов к большей стороне ячейки периодичности, соответственно; (iv) периодическое по времени течение, генерирующее магнитное поле; (v) нерегулярное течение, насыщение процесса генерации магнитного поля. Такая цикличность свидетельствует о том, что траектория следует гетероклиническому циклу, соединяющему 4 гидродинамических слабонеустойчивых квазиаттрактора: 3 типа стационарных валов и периодическое течение. Один цикл последовательности фаз (ii), (iii), (iv), (v), (i) мы назвали "магнитной эрой". Интерес к данному режиму вызван тем, что это пример конвективного динамо, для которого возможно предсказание инверсий гармоник магнитного поля. Его важность определяется тем обстоятельством, что в палеомагнитных данных предвестники инверсий магнитного поля Земли обнаружены не были. В рассматриваемом режиме гармоника Re b1(0,1,0) активизируется в начале магнитной эры и быстро затухает, а Re b1(0,2,0) активизируется приблизительно в середине эры и до ее конца испытывает колебания относительно большой амплитуды. Поведение Re b1(0,1,0) является прогностическим для Re b1(0,2,0): в конце эры № N происходит инверсия тогда и только тогда, когда в эрах № N-1 и № N всплески гармоники Re b1(0,1,0) имеют разный знак. В рассчитанной истории эволюции данного конвективного динамо до t=1800 эта закономерность нарушается только однажды - но при этом в обеих эрах в паре, на которой нарушается выявленное правило, ориентация Re b1(0,2,0) плохо определена. Такая особенность поведения гармоник магнитного поля, по-видимому, связана со структурой гетероклинической сети, присутствующей в рассматриваемой динамической системы, которая имеет большую группу симметрий, и/или с величиной инкрементов роста мод возмущений в различных симметрических подпространствах. Выявлена определенная аналогия между прогностическим признаком коллапса дипольной составляющей магнитного поля, обнаруженным в вычислительной модели геодинамо Olson et al., 2009, и найденным нами. 3. Обнаружен и математически обоснован новый механизм ослабления нелинейности у адвекционных слагаемых и силы Лоренца в уравнениях магнитогидродинамики. В них присутствуют пространственные градиенты поля скорости течения и магнитного поля. Если решение - функция, аналитическая по пространственным переменным (для слабых решений уравнений магнитогидродинамики при достаточно гладких начальных условиях это верно при почти всех временах), то эти слагаемые допускают оценку сверху, в которой присутствует лишь половина пространственного градиента (в смысле теории псевдодифференциальных операторов). 4. Для детального анализа эволюции магнитного поля Земли важно иметь данные о палеомагнитном поле максимальной точности, с которой удается извлечь информацию из геологических образцов. Характер проводимых при этом измерений требует привлечения специализированных методов для оценки точности получаемых результатов. В этой области мы продвинулись в двух направлениях. Исследована применимость подхода Р.Фишера к анализу направлений образцов в потоке изверженных пород, и предложен статистический тест гипотезы о наличии направления древнего поля, общего для всех образцов. Создан новый статистический метод оценки направления древнего поля, основанный на использовании информации из диаграмм Зийдервельда. Показано, как можно обнаружить выбросы в выборке направлений путем построения доверительной области (выпуклой, но сложной формы) на сфере направлений. В этой области статистически локализуется общее направление древнего поля для заданного набора образцов из лавового потока. 5. С целью увеличения быстродействия программы расчета режимов конвективного динамо с инверсиями магнитного поля опробованы некоторые современные вычислительные схемы интегрирования жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты разложения искомых полей. Использование вычисленных с малой погрешностью собственных значений дискретизированного лапласиана - главного источника жесткости системы - в рамках алгоритмов с экспоненциальным дифференцированием не привело к желательному существенному ускорению. Использование полунеявных методов интегрирования в совокупности с новым подходом О. Подвигиной к адаптации метода Галёркина с применением базисных функций на основе полиномов Чебышева дает лучшие результаты. 6. Созданы две программы для параллельного кластера, реализующие вычисление доминирующих мод магнитного поля, генерируемого квазипериодическим по пространству или по времени течениями. Аппроксимации магнитных мод представлены в виде конечных рядов Фурье с учетом всех базисных частот, присутствующих в поле скорости, и используются псевдоспектральные методы с применением быстрого преобразования Фурье. Выполнен ряд расчетов. Выяснены математические причины непредвиденной вычислительной сложности этих задач, приводящей к недостаточной эффективности этих программ, предложены специализированные алгоритмы для ускорения этих расчетов.

 

Публикации

1. Толмачев Д., Чертовских Р., Желиговский В. Algorithmic aspects of simulation of magnetic field generation by thermal convection in a plane layer of fluid Mathematics, vol. 11, 808 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.3390/math11040808

2. Хохлов А., Гвоздик Г. The Process of Reconstructing the Ancient Magnetic Field Direction: A New Approach to Paleomagnetic Data for a Better Estimate of Accuracy Applied Sciences, vol. 13, 4717 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.3390/app13084717

3. Хохлов А.В., Гвоздик Г.А., Лебедев И.Е. Вопросы статистической точности палеонаправлений Ученые записки Казанского университета. Серия Естественные науки, - (год публикации - 2023)

4. Чертовских Р., Желиговский В. Linear perturbations of the Bloch type of space-periodic magnetohydrodynamic steady states. I. Mathematical preliminaries Russian Journal of Earth Sciences, vol. 23 №3, ES3001 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.2205/2023es000834

5. Чертовских Р., Желиговский В. Linear perturbations of the Bloch type of space-periodic magnetohydrodynamic steady states. II. Numerical results Russian Journal of Earth Sciences, vol. 23 №4, ES4004 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.2205/2023es000838

6. Чертовских Р., Желиговский В. Linear perturbations of the Bloch type of space-periodic magnetohydrodynamic steady states. III. Asymptotics of branching Russian Journal of Earth Sciences, - (год публикации - 2023) https://doi.org/10.2205/2023ES000841

7. Толмачев Д. Численное моделирование нелинейного конвективного магнитного динамо во вращающемся плоском слое электропроводной жидкости Всероссийская конференция молодых ученых-механиков YSM-2023. Тезисы докладов (4−14 сентября 2023 г., Сочи, «Буревестник» МГУ). М.: Издательство Московского университета, стр. 110 (год публикации - 2023)

8. Хасаева Т.Т. Исследование влияния магниторотационной неустойчивости на генерацию галактических магнитных полей Всероссийская конференция молодых ученых-механиков YSM-2023. Тезисы докладов (4−14 сентября 2023 г., Сочи, «Буревестник» МГУ). М.: Издательство Московского университета, стр. 116 (год публикации - 2023)