Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В 2022 году были получены следующие результаты. Рассмотрена обработка сигналов на симплициальных комплексах. Приведена формула разложения Ходжа для дискретных полей, аналогичная формуле разложения Ходжа для гладких векторных полей. Рассматриваются построение и оценка операторов градиента, дивергенции, ротора и матриц Лапласа для дискретных векторных полей. Выполнено сравнение форм объектов, основанное на построении персистентной гомологии при формировании метрики Вассерштейна. Метод персистентной гомологии из вычислительной топологии обеспечивает баланс между уменьшением размерности данных (в алгебраической топологии) и геометрической характеристикой внутренней структуры объекта. Алгоритмы формирования персистентных баркодов и тропические функции используются для сравнения изображений объектов. Разработаны алгоритмы сравнения динамических систем, основанные на топологическом анализе данных. Рассмотрены методы преобразования персистентных баркодов и персистентных диаграмм в персистентные ландшафтные функции. Рассмотрены математические модели и функции представления объектов персистентного ландшафта, основанные на методе персистентной гомологии. Персистентные ландшафтные функции позволяют отображать персистентные диаграммы в гильбертовом пространстве. Ядро персистентного ландшафта связано с функциями персистентного ландшафта, которые формирует отображение в гильбертово пространство со скалярным произведением. Предложена формула для определения расстояния между персистентными ландшафтами, которая позволяет находить расстояния между изображениями объектов. Согласно предложенной формуле, возможно сравнение объектов (изображений); например, сравнение представленного объекта с объектами, которые являются элементами базы данных. На основе алгебры многочленов в пространстве баркодов, которые используются в качестве координат, расстояния в пространстве баркода определяются путем сравнения интервалов от одного баркода к другому и вычисления штрафных санкций. Для этих целей используются тропические функции, которые учитывают базовую структуру пространства баркодов. Рассмотрены методы построения рациональных тропических функций. Для увеличения разнообразия параметров (признаков машинного обучения) построены фильтры для сканирования объекта по строкам слева направо и сканирования по столбцам снизу вверх. Это добавляет пространственную информацию к топологической информации. Метод построения персистентных ландшафтов совместим с подходом построения тропических рациональных функций при получении персистентных гомологий. Результаты для модулей персистентности с одним параметром распространяются на многопараметрические модули персистентности. Представлены инварианты для многопараметрических модулей персистентности, которые расширяют результаты для однопараметрических модулей персистентности до многопараметрических модулей персистентности. Использование многопараметрических функций персистентного ландшафта увеличивает разнообразие параметров, характеризующих форму объекта, точность определения расстояния между изображениями объектов. Метод топологического анализа данных, основанный на формировании персистентных ландшафтных функций, используется для оценки расстояния между структурами динамических систем и временных рядов выходных сигналов этих динамических систем. На основе функций персистентного ландшафта можно построить отображение персистентных диаграмм и персистентных баркодов в гильбертово пространство со скалярным произведением. Расстояния между соответствующими функциями персистентного ландшафта могут быть определены с использованием p-нормы. Отображение персистентных диаграмм и персистентных баркодов в гильбертово пространство, основанное на формировании персистентных ландшафтных функций с последующим определением расстояния между объектами, имеет преимущество перед другими методами определения расстояния, так как уменьшается количество вычислительных операций. При сравнении структур динамических систем и временных рядов выходных сигналов представленных объектов со структурами динамических систем и временными рядами выходных сигналов объектов, на основе оценки расстояния между динамическими структурами, которые являются элементами базы данных, можно идентифицировать нормальное состояние или отказ представленные объекты. Для анализа временных рядов предложено использование вложения Takens, которое позволяет получить облако точек в d-мерном пространстве на основе информации о временных рядах. Топологический анализ данных с использованием персистентных баркодов и персистентных ландшафтов выполняется из результирующего облака точек. В соответствии с функциями персистентных ландшафтов облаков точек различных объектов (сигналов) эти объекты сравниваются. Сравнение объектов позволяет определить расстояние между объектами путем вычисления p-нормы разницы в функциях персистентных ландшафтов разных объектов. Анализ временных рядов выходной информации динамических систем, основанный на методах внедрения Takens и TDA, может быть использован для выявления штатного функционирования систем и их отказов. Новизна предлагаемых методов построения персистентного ландшафта и топологического анализа данных для получения информации о форме объекта заключается в возможности количественной оценки расстояния между объектами (изображениями объектов). Результаты, полученные в ходе внедрения, соответствуют мировому уровню. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при сравнении (изображений) объектов; при количественном определении расстояний между (изображениями) объектов; преобразование временных рядов выходной информации динамических систем в облака точек с последующим топологическим анализом данных; оценка штатного/нештатного функционирования динамических систем на основе топологического анализа данных.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В отчетном периоде были получены следующие конкретные научные результаты. Рассмотрена обработка сигналов на симплициальных комплексах. Приведена формула разложения Ходжа для дискретных полей, аналогичная формуле разложения Ходжа для гладких векторных полей. Рассматриваются построение и оценка операторов градиента, дивергенции, ротора и матриц Лапласа для дискретных векторных полей. Выполнено сравнение форм объектов, основанное на построении персистентной гомологии при формировании метрики Вассерштейна. Метод персистентной гомологии из вычислительной топологии обеспечивает баланс между уменьшением размерности данных (в алгебраической топологии) и геометрической характеристикой внутренней структуры объекта. Алгоритмы формирования персистентных баркодов и тропические функции используются для сравнения изображений объектов. Разработаны алгоритмы сравнения динамических систем, основанные на топологическом анализе данных. Рассмотрены методы преобразования персистентных баркодов и персистентных диаграмм в персистентные ландшафтные функции. Рассмотрены математические модели и функции представления объектов персистентного ландшафта, основанные на методе персистентной гомологии. Персистентные ландшафтные функции позволяют отображать персистентные диаграммы в гильбертово пространство. Ядро персистентного ландшафта связано с функциями персистентного ландшафта, которые формирует отображение в гильбертово пространство со скалярным произведением. Предложена формула для определения расстояния между персистентными ландшафтами, которая позволяет находить расстояния между изображениями объектов. Согласно предложенной формуле, возможно сравнение объектов. На основе алгебры полиномов в пространстве баркодов расстояния в пространстве баркодов определяются путем сравнения интервалов от одного баркода к другому и вычисления штрафных санкций. Для этих целей используются тропические функции, которые учитывают базовую структуру пространства баркодов. Рассмотрены методы построения рациональных тропических функций. Для увеличения разнообразия параметров построены фильтры для сканирования объекта по строкам слева направо и сканирования по столбцам снизу вверх. Это добавляет пространственную информацию к топологической информации. Метод построения персистентных ландшафтов совместим с подходом построения тропических рациональных функций при получении персистентных гомологий. Результаты для модулей персистентности с одним параметром распространяются на многопараметрические модули персистентности. Представлены инварианты для многопараметрических модулей персистентности, которые расширяют результаты для однопараметрических модулей персистентности до многопараметрических модулей персистентности. Использование многопараметрических функций персистентного ландшафта увеличивает разнообразие параметров, характеризующих форму объекта, точность определения расстояния между изображениями объектов. Метод топологического анализа данных, основанный на формировании персистентных ландшафтных функций, используется для оценки расстояния между структурами динамических систем и временных рядов выходных сигналов этих динамических систем. На основе функций персистентного ландшафта можно построить отображение персистентных диаграмм и персистентных баркодов в гильбертово пространство со скалярным произведением. Расстояния между соответствующими функциями персистентного ландшафта могут быть определены с использованием p-нормы. Отображение персистентных диаграмм и персистентных баркодов в гильбертово пространство, основанное на формировании персистентных ландшафтных функций с последующим определением расстояния между объектами, имеет преимущество перед другими методами определения расстояния, так как уменьшается количество вычислительных операций. При сравнении структур динамических систем и временных рядов выходных сигналов представленных объектов со структурами динамических систем и временными рядами выходных сигналов объектов, на основе оценки расстояния между динамическими структурами, которые являются элементами базы данных, можно идентифицировать нормальное состояние или отказ представленные объекты. Для анализа временных рядов предложено использование вложения Takens, которое позволяет получить облако точек в d-мерном пространстве на основе информации о временных рядах. Топологический анализ данных с использованием персистентных баркодов и персистентных ландшафтов выполняется из результирующего облака точек. В соответствии с функциями персистентных ландшафтов облаков точек различных объектов (сигналов) эти объекты сравниваются. Сравнение объектов позволяет определить расстояние между объектами путем вычисления p-нормы разности функций персистентных ландшафтов разных объектов. Анализ временных рядов выходной информации динамических систем, основанный на методах внедрения Takens и TDA, может быть использован для выявления штатного функционирования систем и их отказов. Проведено исследование ассиметричных ориентированных сетей, дугам которых назначаются веса, методами топологического анализа данных. Так как сети ассиметричные, то веса дуг между одинаковыми узлами в различных направлениях также являются разными. Для исследования топологии таких сетей построены Dowker комплексы (Dowker фильтрации), которые представляют собой обобщение Čech комплекса на случай асимметричных ориентированных сетей. Новизна предлагаемых методов построения персистентного ландшафта и топологического анализа данных для получения информации о форме объекта заключается в возможности количественной оценки расстояния между объектами (изображениями объектов).