Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Рассматривалась задача Неймана для системы супердиффузионных уравнений с функциональным эффектом запаздывания. Дробная производная по пространству понимается в смысле Рисса. Производится дискретизация задачи по времени и пространству. Строится аналог метода Кранка-Николсон. Для учета функционального запаздывания используется кусочно-линейная интерполяция с экстраполяцией продолжением. Для аппроксимации производной Рисса используются сдвинутые формулы Грюнвальда-Летникова. Исследовались полученные на каждом шаге времени системы линейных алгебраических уравнений. С помощью теоремы Гершгорина доказана разрешимость систем и абсолютная устойчивость метода. Метод вложен в общую разностную схему систем с последействием. Доказано, что метод имеет второй порядок относительно шага дискретизации по времени и первый порядок относительно шага дискретизации по времени. Рассматривалась задача Неймана для системы диффузионных уравнений с функциональным эффектом запаздывания. При дискретизации задачи использовались интерполяционные и экстраполяционные процедуры для учета эффекта запаздывания. Построены аналоги неявного численного метода и метода Кранка-Николсон. Доказано, что неявный метод имеет первый порядок относительно шага по времени и второй пространственному шагу. Доказано, что метод Кранка-Николсон, при выполнении некоторых условий, имеет второй порядок по временному и пространственному шагам дискретизации. Проведены численные эксперименты по сравнению методов на тестовых и модельных примерах. Рассматривалась начально-краевая задача для субдиффузионного уравнения при наличии дрейфа и функционального эффекта запаздывания. Дробная производная по времени порядка от 0 до 1 понимается в смысле Капуто. Под дрейфом понимается наличие первой производной по времени. Построен аналог метода Алиханова с использованием кусочно-линейной интерполяции и экстраполяции продолжением. С помощью дискретного неравенства Гронуолла и новых вспомогательных неравенств получена оценка погрешности метода. Доказано, что метод имеет второй порядок малости относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Для многомерных по пространству уравнений диффузии с дробными производными по пространству и с функциональным эффектом запаздывания по времени сконструированы методы, основанные на применении по каждой пространственной переменной сдвинутых формул Грюнвальда-Летникова, а также интерполяционных и экстраполяционных процедур для учета эффекта запаздывания. Проведено доказательство сходимости методов на основе вложения алгоритмов в общую разностную схему систем с последействием. Для различных классов задач, содержащих уравнения с дробными производными и эффект запаздывания, разработана методика построения численных методов, основанная на построении разностных схем по времени и Галеркинской аппроксимации по пространству. Так для дробного по пространству и по времени уравнения диффузии с нелинейным эффектом сосредоточенного запаздывания построен алгоритм, основанный на применении L1 метода для аппроксимации дробной производной по времени и разложению по ортогональным многочленам Лежандра по пространственной переменной. С помощью новых вариантов дробных дискретных неравенств Гронуолла и дробных неравенств Халаная получены теоремы о порядках сходимости и устойчивости алгоритмов. Проведены численные эксперименты, показавшие перспективность этих алгоритмов для решения задач с дробной размерностью. Этот подход, названный методом Галеркина/конечных разностей, применялся также для конструирования численных алгоритмов решения уравнений диффузии с переменным дробным порядком по времени и с нелинейным эффектом сосредоточенного запаздывания. В рамках этого подхода разработаны алгоритмы, основанные на линеаризации, получены теоремы сходимости и устойчивости. Численные алгоритмы применялись для сопоставления качественных результатов по исследованию свойств решений таких задач, возникающих в теории популяций, при этом результаты совпадают даже на больших промежутках времени.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Рассматривалась задача об асимптотическом разложении для базовых численных методов решения диффузионных, волновых и супердиффузионных уравнений с функциональным запаздыванием. Для диффузионного уравнения в качестве базового метода сконструирован аналог разностного метода Кранка — Николсон с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Для волнового уравнения в качестве базового метода сконструирован аналог трехслойной схемы с весами с кусочно-кубической интерполяцией. Для супердиффузионного уравнения в качестве базового метода сконструирован аналог разностного метода Кранка - Николсон и аппроксимацией сдвинутыми формулами Грюнвальда - Летникова с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Для всех этих алгоритмов доказано, что они имеют второй порядок малости относительно шагов дискретизации по времени ∆ и пространству h. При определенных предположениях обосновывается законность применение процедуры экстраполяции по Ричардсону и строятся соответствующие методы. Доказано, что новые методы имеют четвертый порядок малости относительно ∆ и h для диффузионных и волновых уравнений и третий порядок малости относительно ∆ и h для супердиффузионных уравнений с эффектом запаздывания. Проведены численные эксперименты для уравнений с различными видами запаздываний, подтверждающие полученные результаты. Для дробных по времени и пространству диффузионных уравнений с запаздыванием сконструирован метод высокого порядка, основанный на разностной аппроксимации Алиханова дробной производной по времени и спектральной аппроксимации Галеркина-Лежандра для дробной производной по пространству. Доказана устойчивость и сходимость метода. Смешанная спектрально-разностная методика численного решения применена к дробной пространственно-временной модели Шнакенберга и к многомерной нелинейной модели Розенау-Бюргерса. Сконструирован неявный численный метод для квазилинейного уравнения супердиффузии с функциональным запаздыванием и нелинейным коэффициентом супердиффузии. На каждом временном слое аппроксимация нелинейного коэффициента супердиффузии и его производных производится с учетом значений искомой функции, полученных на предыдущем временном слое. Для аппроксимации двусторонней дробной производной по пространству используются сдвинутые формулы Грюнвальда-Летникова. На каждом шаге времени метод сводится к решению линейных систем специальной структуры. Доказана сходимость метода. Сконструирован адаптированный аналог спектрального метода коллокации для дробных диффузионных уравнений с запаздыванием типа пантограф в случае негладких решений сконструирован адаптированный аналог спектрального метода коллокации. Получена спектральная скорость сходимости в различных нормах. Для многочленного и распределенного порядка дробного по времени уравнений с дробным лапласианом по пространству сконструированы устойчивые разностные схемы на неравномерных сетках. Доказано, что решения построенных неравномерных разностных схем сходятся к точным решениям, также было показано, что скорость сходимости по времени выше по сравнению с равномерными разностными схемами в случае негладких по времени решений. В задаче о восстановлении функции источника в гиперболическом уравнении с внутренним вырождением сконструирована процедура регуляризации по Тихонову. Для разработки итерационных процедур использовался метод сопряженного градиента в сочетании с алгоритмом Морозова. Доказана сходимость итерационного метода. Для решения дробных дифференциальных уравнений в частных производных на нерегулярных областях разработан новый подход к численному решению, основанный на методе машинного обучения и приближении по подвижному методу наименьших квадратов. Метод реализован для решения дробного уравнения Блоха–Торри, дробного уравнения Грея–Скотта и дробного уравнения Фицхью–Нагумо.