КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 22-21-00166

НазваниеАппроксимируемость теоретико-групповых конструкций корневыми классами и нильпотентными группами относительно равенства и вхождения

РуководительСоколов Евгений Викторович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Ивановский государственный университет", Ивановская обл

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс№64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-102 - Алгебра

Ключевые словакомбинаторная теория групп, аппроксимационные свойства групп, финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными p-группами, аппроксимируемость нильпотентными группами, аппроксимируемость разрешимыми группами, аппроксимируемость корневыми классами, отделимость подгрупп, алгоритмические проблемы в группах, проблема тождества, проблема вхождения, обобщенное свободное произведение, HNN-расширение, древесное произведение, фундаментальная группа графа групп

Код ГРНТИ27.17.17

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Идея аппроксимируемости состоит в том, чтобы использовать для исследования свойств группы некоторый другой, хорошо изученный класс групп. Наибольшую известность получил результат А. И. Мальцева о том, что если конечно определенная группа финитно аппроксимируема относительно некоторого отношения, то в ней разрешима алгоритмическая проблема, заключающаяся в определении того, состоят ли элементы и подмножества группы в данном отношении. Помимо этого, аппроксимируемость классами всех конечных групп и конечных p-групп оказалась тесно связанной с такими свойствами, как линейность, хопфовость, упорядочиваемость, гиперболичность, локальная разрешимость и нильпотентность. Аппроксимируемость нильпотентными и разрешимыми группами имеет приложения в теории многообразий и CW-комплексов, используется при изучении групп кос, узлов и зацеплений. Следует также отметить, что многие аппроксимационные свойства связаны друг с другом, причем аппроксимирующий класс в этом случае вовсе не обязан быть одинаковым. Проект является частью комплексной программы исследования аппроксимируемости свободных конструкций групп (обобщенных свободных произведений, HNN-расширений, древесных произведений, фундаментальных групп графов групп) произвольными корневыми и близкими к ним классами групп относительно различных отношений, подразумевающей выработку методов таких исследований и получение с их помощью конкретных результатов. Первый этап данной программы — развитие и применение методов изучения аппроксимируемости свободных конструкций корневыми классами групп относительно равенства — успешно реализуется научным коллективом уже более 5 лет и был поддержан грантом РФФИ № 18-31-00187. Задачами настоящего проекта являются: 1) продолжение исследований аппроксимируемости свободных конструкций произвольным корневым классом групп: апробация и (при необходимости) корректировка разработанных ранее методов, обобщение уже полученных результатов, расширение списка конструкций и конкретных групп, для которых имеются критерии или достаточные условия аппроксимируемости корневыми классами; 2) выработка систематического подхода к изучению нильпотентной аппроксимируемости свободных конструкций групп с использованием имеющихся результатов об аппроксимируемости таких конструкций корневыми классами; 3) разработка и применение методов исследования отделимости произвольным корневым классом подгрупп свободных конструкций групп. Согласно одному из равносильных определений класс групп называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп, расширений и декартовых степеней, показатели которых совпадают с мощностями групп из данного класса. К числу корневых относятся многие классы групп, аппроксимируемость которыми рассматривается в литературе, например, классы всех конечных групп, всех разрешимых групп, конечных π-групп и периодических π-групп конечного периода для любого множества π простых чисел, а также всевозможные их пересечения. Ключевой особенностью реализуемой программы исследований и настоящего проекта является изучение аппроксимируемости не каким-то одним конкретным классом групп, а сразу целым семейством S классов, удовлетворяющих определенному набору условий. Данный подход позволяет сэкономить усилия и доказать «за раз» несколько утверждений вместо одного. Более важно, однако, то, что он обладает следующими двумя преимуществами. 1. Благодаря фиксированному набору условий, предъявляемых к аппроксимирующим классам групп, получаемые результаты хорошо «складываются» друг с другом и позволяют постепенно продвигаться в направлении усложнения рассматриваемых конструкций и ослабления ограничений, накладываемых на группы, из которых они построены. Если в начале исследований речь шла в основном об уточнении и обобщении известных фактов, то сейчас накопленный багаж позволяет доказывать, в том числе, и новые утверждения о финитной аппроксимируемости групп. 2. Наличие для одной и той же группы результатов о ее аппроксимируемости классами групп из семейства S дает возможность «зажать» очередной аппроксимирующий класс между двумя другими, для которых необходимые и/или достаточные условия аппроксимируемости уже известны. Это позволяет либо сразу получить результат об аппроксимируемости новым классом, либо очень существенно сократить число рассматриваемых случаев. Так как семейство S предполагается фиксированным и используется при изучении аппроксимационных свойств множества различных групп, то описанный прием превращается в полноценный метод (который в настоящем проекте применяется для исследования нильпотентной аппроксимируемости). Хотя идея с одновременным рассмотрением нескольких классов групп не является совершенно оригинальной и время от времени применялась в литературе, каждое такое исследование не выходило за рамки одной статьи и, как следствие, не могло сколько-нибудь существенным образом реализовать перечисленные выше преимущества. Поэтому систематическое применение указанной идеи можно считать новым, более универсальным и в ряде ситуаций более продуктивным подходом к исследованию аппроксимационных свойств. Следует также отметить, что свободные конструкции групп естественным образом возникают в топологии и весьма широко используются как в комбинаторной, так и в геометрической теории групп. Таким образом, упомянутая выше программа и настоящий проект представляют собой немаловажную часть исследований аппроксимационных свойств групп и предлагают комплексный подход к изучению аппроксимируемости различными конкретными классами групп, а результаты их реализации могут иметь достаточно широкое применение в алгебре, математической логике и геометрии.

Ожидаемые результаты
1. Аппроксимируемость корневыми классами групп относительно равенства. Ранее членами научного коллектива был получен целый ряд результатов об аппроксимируемости корневыми классами обобщенных свободных произведений, HNN-расширений, древесных произведений и фундаментальных групп графов групп. Для этих целей был адаптирован один из основных методов исследования аппроксимируемости свободных конструкций групп, так называемая «фильтрационная» методика Г. Баумслага, а также введена в рассмотрение конструкция обобщенного прямого произведения, ассоциированного с графом групп. В рамках настоящего проекта данные исследования будут продолжены, главным образом, в направлении ослабления накладываемых на вершинные группы и реберные подгруппы ограничений. Предполагается рассмотреть конструкции свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, центральной лишь в одном из свободных множителей, HNN-расширения с нормальными циклическими связанными подгруппами, фундаментальной группы графа групп с центральными циклическими реберными подгруппами и для каждой из них доказать достаточное условие или критерий аппроксимируемости корневыми классами. Целью этой работы является не только получение новых результатов, но и апробация разработанных членами научного коллектива методов и подходов, а также расширение базы для последующего исследования свойств отделимости подгрупп и нильпотентной аппроксимируемости. 2. Аппроксимируемость корневыми классами относительно вхождения (отделимость подгрупп корневыми классами). Известно, что упоминавшаяся выше фильтрационная методика может быть адаптирована для исследования отделимости циклических подгрупп. К настоящему времени это было сделано только в отношении конструкций обобщенного свободного произведения и HNN-расширения и лишь в случаях, когда аппроксимирующий класс совпадает с классом всех конечных групп или конечных p-групп для некоторого простого числа p. В рамках настоящего проекта указанная методика будет обобщена сразу в двух направлениях: распространена на фундаментальные группы произвольных графов групп и использована для изучения отделимости произвольным корневым классом групп. Предполагается также рассмотреть возможность адаптации данного подхода к исследованию отделимости конечно порожденных подгрупп, удовлетворяющих некоторому нетривиальному тождеству (прежде всего абелевых). Разработанные в итоге методы будут применяться для описания отделимых подгрупп в конструкциях, для которых известны условия аппроксимируемости корневыми классами групп. Выбор здесь уже сейчас достаточно большой: свободные произведения двух групп с нормальными объединенными подгруппами, древесные произведения и HNN-расширения с центральными реберными подгруппами, древесные произведения с объединенными ретрактами и др. В рамках настоящего проекта предполагается рассмотреть не менее двух таких конструкций. 3. Аппроксимируемость нильпотентными группами. Нильпотентную аппроксимируемость предполагается изучать, опираясь, с одной стороны, на достаточные условия аппроксимируемости классом всех конечных p-групп и известные критерии отделимости подгрупп этим классом, а с другой — на необходимые условия аппроксимируемости классами нильпотентных и конечных разрешимых π-групп для заданного множества простых чисел π. «Зазор» между указанными необходимыми и достаточными условиями обычно оказывается небольшим и его удается достаточно легко ликвидировать. К настоящему времени уже имеется ряд успешных примеров использования такой схемы рассуждений. В рамках настоящего проекта предполагается получить еще несколько подобных результатов, а затем воспользоваться накопленным опытом для определения границ применения предлагаемого подхода и превращения его в полноценный метод исследования нильпотентной аппроксимируемости свободных конструкций групп. Для оценки возможного эффекта от реализации проекта необходимо заметить, что в настоящее время исследования аппроксимируемости свободных конструкций групп нильпотентными, разрешимыми и конечными p-группами находятся в состоянии стагнации. В первых двух случаях это связано с отсутствием универсальных методов, из-за чего статьи, посвященные данной тематике, можно пересчитать буквально по пальцам. В третьем случае проблема заключается в технических трудностях, которыми оборачивается традиционный подход к изучению аппроксимируемости конечными p-группами. Методы, развиваемые настоящим проектом, позволяют вдохнуть новую жизнь в перечисленные направления исследований и одновременно сделать более продуктивным изучение свойства финитной аппроксимируемости. Следует также отметить, что отделимость тех или иных подгрупп свободных конструкций групп почти всегда выступает одним из необходимых и/или достаточных условий аппроксимируемости этих конструкций. Однако, подавляющее большинство исследований указанного свойства проводились в предположении, что аппроксимирующим является класс всех конечных групп. Настоящий проект позволяет создать базу для того, чтобы сразу изучать отделимость целым семейством классов групп, не повторяя историю с аппроксимируемостью (относительно равенства), когда независимо рассматривались различные конкретные аппроксимирующие классы групп.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---