КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

НазваниеРазработка математического аппарата и методов решения обратных задач динамики систем и приложения

РуководительСолодуша Светлана Витальевна, Доктор технических наук

Организация финансирования, регионФедеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук, Иркутская обл

КонкурсКонкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Аннотация
В современных условиях развитие теории динамических систем и их применение к прикладным задачам требуют разработки новых математических методов. К ним, например, относятся теоремы о разрешимости неклассических вольтерровых уравнений I рода и свойствах решений соответствующих уравнений. В целях развития новых математических методов в настоящем проекте предполагается получить утверждения о существовании решений таких уравнений, об их устойчивости к малым возмущениям исходных данных. Разрабатываемый аппарат предполагается применить при исследовании обратных задач динамики управляемых систем с векторным входом, описывающих математические модели технических объектов тепло- и электроэнергетики. Будут проведены исследования новых классов интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче идентификации переходных характеристик (в том числе с учётом предыстории), и их систем, связанных с проблемой автоматического управления нелинейными динамическими объектами. За счет применения разработанных инструментов исследования планируется получить следующие результаты. Для систем с запаздыванием планируется получить условия разрешимости многомерных интегральных уравнений. Для управляемых систем, возникающих в моделях тепло- и электроэнергетики, планируется получить условия их управляемости и разработать алгоритмы для численного решения интегральных уравнений, описывающих динамику этих систем. Все предполагаемые теоретические результаты обусловлены проблемами, возникающими при исследовании конкретных моделей тепло- и электроэнергетики, а также имеют самостоятельное значение. Все ожидаемые результаты будут новыми. Предполагается опубликовать их в ведущих научных журналах.

Ожидаемые результаты
Настоящий проект нацелен на разработку и применение математического аппарата исследования обратных задач теории динамических систем. В рамках настоящего проекта планируется исследование задачи идентификации переходных характеристик и задачи восстановления входных сигналов, связанной с проблемой автоматического управления динамических систем, описываемых уравнениями типа «вход-выход». Для управляемых систем, моделирующих теплоэнергетические процессы гидрорециркуляционных электростанций, планируется исследование вопросов разрешимости и построения алгоритмов численного решения. Для динамики, описываемой уравнениями Вольтерра I рода, возникающих в задаче идентификации несимметричных ядер в случае тестовых сигналов, имеющих фронт нарастания, планируется исследовать вопросы существования и единственности решения. Предполагается разработать численные методы решения соответствующих интегральных уравнений Вольтерра и изучить устойчивость вычислительных процедур. Для систем с запаздыванием в случае векторного входного сигнала планируется получить утверждения о существовании и единственности решений трёхмерных уравнений Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования в классе непрерывных функций. Установить условия согласования, обеспечивающие нужную гладкость решения. Планируется разработать вычислительные алгоритмы для построения решения неклассических интегральных уравнений с предысторией. Для получения перечисленных выше результатов и проведения соответствующих исследований возникает необходимость изучения теории и численных методов решения полиномиальных уравнений и их систем. Предполагается обобщить постановку задачи поиска входного сигнала на случай, когда x(t) есть вектор-функция, состоящая из m компонент. Планируется получить неулучшаемые оценки решений специальных классов нелинейных интегральных неравенств.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В отчётном периоде работа по проекту выполнялась по следующим направлениям: 1. Развитие теории и модификация численных методов решения трёхмерных уравнений Вольтерра I рода с переменными нижними пределами интегрирования вида t-h (h - шаг дискретизации по времени), возникающих в задаче идентификации несимметричных ядер Вольтерра K(s1,s2,s3) с помощью кусочно-постоянных тестовых сигналов длительностью h. 2. Исследование одномерного уравнения Вольтерра I рода с переменными нижними пределами интегрирования, которое возникает в задаче идентификации нестационарных ядер Вольтерра K(t,s) с помощью кусочно-линейных тестовых сигналов. Разработка новых численных методов решения таких уравнений, в том числе основанных на аппроксимации производных второго порядка. 3. Продвижение в области теоретических исследований полиномиальных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче восстановления векторного входного сигнала. 4. Разработка соответствующего программного обеспечения и его применение для решения актуальных задач тепло- и электроэнергетики, в том числе при моделировании динамики теплотехнического оборудования крупной электроэнергетической системы. В рамках исследований по теме проекта был организован и проведён семинар с международным участием «Неустойчивые задачи вычислительной математики» (15-19 августа 2022, г. Иркутск): https://usem-site.hostman.site/index.html. За отчётный период работы по проекту получены следующие научные результаты: 1. Был исследован новый класс линейных трёхмерных интегральных уравнений Вольтерра I рода с предысторией относительно ядер K(s1,s2,s3). Получены явные формулы обращения; сформулированы достаточные условия существования и единственности решения таких уравнений в классе несимметричных и частично-симметричных непрерывных функций. 2. Выделен класс линейных одномерных уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования относительно ядра K(t,s). Сформулированы достаточные условия существования и единственности решения таких уравнений в классе непрерывных функций. Для численного решения предложены алгоритмы, порождённые квадратурной формулой средних прямоугольников, методом product integration, также на основе аппроксимации производных сглаживающим сплайном. Получена новая формула обращения для двумерного интегрального уравнения Вольтерра I рода, порождённого применением входных сигналов кусочно-линейного вида в задаче идентификации симметричного ядра K(s1,s2). 3. Выделено тестовое кубичное уравнение Вольтерра I рода, возникающее в задаче восстановления входных сигналов x(t), обеспечивающих требуемый отклик y(t). Для оценки области существования решения (правой границы отрезка [0,T]) рассмотрено специальное мажорантное уравнение. Предложена серия модельных примеров систем полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода, где x(t) – вектор-функция. В отличие от рассмотренных ранее систем полиномиальных уравнений, компоненты векторного выхода y(t) динамического объекта имеют один и тот же физический смысл. 4. На тестовой математической динамической системе выполнен сравнительный анализ областей применимости квадратичных полиномов Вольтерра, задача идентификации переходных характеристик в которых решена с помощью входных сигналов кусочно-постоянного и кусочно-линейного вида. Аппарат сглаживающих кубических сплайнов был успешно применен для моделирования нелинейной динамики элемента теплоэнергетической установки. Разработаны, протестированы и используются два пакета прикладных программ, прошедших государственную регистрацию программ для ЭВМ в Роспатенте.

Публикации

1. Антипина Е.Д. Формулы обращения для трехмерного интегрального уравнения Вольтерра I рода с предысторией Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", т. 41, с. 69-84 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.69

2. Воскобойников Ю.Е., Солодуша С.В., Маркова Е.В., Антипина Е.Д., Боева В.А. Identification of Quadratic Volterra Polynomials in the “Input–Output” Models of Nonlinear Systems Mathematics, № 11, Т. 10, c. 1836-1852 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.3390/math10111836

3. Солодуша С.В., Cуслов К.В. An Approach to Stabilizing the Dynamic Loads of a Wind Turbine Generator Based on the Control of the Blades Setting Angle IFAC-PapersOnLine, № 9, т. 55, c. 76-80 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2022.07.014

4. Антипина Е.Д. Дискретизационный метод решения интегрального уравнения I рода типа Вольтерра Материалы Междунар. конф. "Теория оптимального управления и приложения (OCTA-2022) ", Екатеринбург: ИММ УрО РАН, Изд-во УМЦ УПИ, с. 12-15 (год публикации - 2022)

5. Антипина Е.Д., Солодуша С.В. Идентификация несимметричного ядра Вольтерра на базе метода средних прямоугольников и метода product integration Материалы 4-й Междунар. конф. "Динамические системы и компьютерные науки: теория и приложение" (DYSC2022), c.8-10 (год публикации - 2022)

6. Солодуша С.В. Identification of Symmetric Volterra Kernels Using Piecewise Linear Test Signals Proceedings of 2022 16th International Conference on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference), Publisher: IEEE, 2022 16th International Conference on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference), pp. 1-3 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.1109/STAB54858.2022.9807575

7. Антипина Екатерина Дмитриевна Численное решение одномерного интегрального уравнения в задаче идентификации ядер Вольтерра на базе кусочно-линейных тестовых сигналов -, RU 2022618264 (год публикации - )

8. Воскобойников Юрий Евгеньевич, Боева Василиса Андреевна, Антипина Екатерина Дмитриевна Непараметрическая идентификация линейных стационарных динамических систем при прямоугольном входном сигнале -, RU 2022682577 (год публикации - )