Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проведены научные исследования фундаментального характера проблем теории оптимального восстановления и наилучшей аппроксимации функций, операторов и родственных экстремальных задач. Основные полученные результаты следующие. 1. Исследовано несколько взаимосвязанных экстремальных задач для голоморфных функций в поликруге $D^m$, $m\ge 2$. Получено точное неравенство между значением голоморфной функции в $D^m$ и весовыми $L^{p_1}(G_1)$ и $L^{p_0}(G_0)$, $0<p_0, p_1 \le \infty$, нормами ее предельных значений на двух измеримых подмножествах $G_1$ и $G_0=S^m\setminus G_1$ остова $S^m$, являющееся аналогом теоремы братьев Неванлинна о двух константах. Изучено, когда неравенство дает значение модуля непрерывности функционала голоморфного продолжения функции в заданную точку поликруга с части остова $G_1$. В этих случаях решены соответствующие задачи оптимального восстановления функции по приближенно заданным значениям на $G_1$ и наилучшего приближения функционала продолжения функции в поликруг с части остова $G_1$. Полученные результаты перенесены на случай произвольных полицилиндрических областей. 2. Для пространства $(p,q)$-мультипликаторов пары пространств Лебега на $m$-мерном евклидовом пространстве предъявлено преддуальное банахово функциональное пространство. Это пространство описано в терминах, отличных от использованных ранее в подобной ситуации А.Figa-Talamanca и G.I.Gaudry (1967). Построенное пространство применено в задаче Стечкина о приближении оператора дифференцирования ограниченными операторами в пространствах Лебега на оси. 3.1. Изучена задача Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на компакте $K$ с ограничением на расположение корней многочленов, а именно на множестве $P_n(G)$ многочленов степени $n$ с единичным старшим коэффициентом, не обращающихся в нуль в открытом множестве $G$. Получено точное решение для $K = [−1, 1]$ и $G$ - круга с радиусом $R \ge r_n$, где $r_n$ - определенная величина такая, что $r_n^2\ge (\sqrt(5) − 1)/2$. Введено понятие постоянной Чебышева компакта $K$ относительно открытого множества $G$. Для произвольного компакта $K$, принадлежащего замыканию круга и содержащего его центр, доказано, что постоянная Чебышева компакта $K$ относительно круга равна радиусу круга. 3.2. Получено точное неравенство Бернштейна - Сеге для оператора Вейля - Сеге с производной (вещественного) порядка $\alpha\ge 1$ в пространствах $L^p$, $1\le p \le\infty$ для целых функций экспоненциального типа. Доказано, что точная константа неравенства равна $\sigma^\alpha$. 3.3. На множестве тригонометрических полиномов порядка $n$ исследовано неравенство Бернштейна - Сеге для производной Рисса и сопряженной производной Рисса вещественного порядка $\alpha \ge 0$. В каждом из этих случаев для любого $n$ точно описано множество таких значений $\alpha$, для которых точная константа неравенства имеет классическое значение $n^\alpha$ во всех пространствах $L^p$, $0 \le p \le \infty$.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В 2023 году научная группа проводила научные исследования фундаментального характера проблем теории оптимального восстановления и наилучшей аппроксимации функций и операторов и родственных экстремальных задач. 1. Исследованы взаимосвязанные экстремальные задачи для голоморфных функций в $n$-мерном комплексном шаре $B_n$, $n\ge 2$. Получены неравенства между значением голоморфной функции в $B_n$ и весовыми $L^{p_1}(G_1)$ и $L^{p_0}(G_0)$, $0<p_0, p_1 \le \infty$, нормами ее предельных значений на двух измеримых подмножествах $G_1$ и $G_0=S_n\setminus G_1$ сферы $S_n$, являющиеся аналогами теоремы братьев Неванлинна о двух константах, в терминах представляющих мер ($\mathcal{M}$-гармонической и гармонической) подмножеств сферы. В случаях, когда множества разбиения сферы имеют совпадающие представляющие меры (плюригармонические), неравенство является точным, дает значение модуля непрерывности функционала голоморфного продолжения функции в заданную точку поликруга с части сферы $G_1$. В этих случаях решены соответствующие задачи оптимального восстановления функции по приближенно заданным значениям на $G_1$ и наилучшего приближения функционала голоморфного продолжения функции в шар с части сферы $G_1$. (Р.Р.Акопян) 2. В варианте $E_{n,k}(N;r,r;p,p)$ четырехпараметрической задачи Стечкина $E_{n,k}(N;r,s;p,q)$ о наилучшем приближении операторов дифференцирования порядка $k$ на классе $n$ раз дифференцируемых функций $(0<k<n)$ в пространствах Лебега на числовой оси даны конструктивные, близкие между собой двусторонние оценки значения $E_{n,k}(N;r,r;p,p)$ задачи при любых $0<k<n$. В исследовании использована связь задачи Стечкина с аналогичной задачей в преддуальных пространствах $F(p,q)$ для пространств $(p,q)$-мультипликаторов, полученная В.В.Арестовым ранее, и описание преддуальных пространств, полученное в данном проекте в прошлом году. Как следствие, это дает, в частности, близкие к точному неравенства Колмогорова для дифференцируемых функций между равномерными нормами промежуточных производных, $F(r,r)$-нормами функций и $F(p,p)$-нормами старших производных. (В.В.Арестов) 3. Изучена задача Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля относительно $L^p$-средних на отрезке $[−1; 1]$ с ограничением на расположение нулей многочленов, а именно, на множестве многочленов степени $n$ с единичным старшим коэффициентом, не обращающихся в нуль в открытом круге радиуса $R \ge 1$. Получено точное решение для геометрического среднего (при $p = 0$) для всех $R \ge 1$, а также при $0 < p < \infty$ для всех $R \ge 1$ в случае многочленов четной степени. Для многочленов нечетной степени получены двусторонние оценки величины наименьшего уклонения. Найдена точная константа неравенства Маркова - Бернштейна между равномерной нормой на отрезке $[−1; 1]$ производной порядка $k$ многочлена и его средним геометрическим на отрезке $[−1; 1]$ на классе алгебраических многочленов, не обращающихся в нуль в открытом круге радиуса $R \ge 1$. (А.Э.Рокина (Пестовская)) 4. Для класса Бернштейна целых функций экспоненциального типа, ограниченных на вещественной оси, получена интерполяционная формула для производной Рисса порядка $0 < \alpha < 1$ целой функции с положительными коэффициентами. Эта формула имеет неравномерные узлы – нули соответствующей функции Бесселя. С использованием интерполяционной формулы получено точное неравенство Бернштейна для производной Рисса порядка $0 < \alpha < 1$ целых функций экспоненциального типа в пространстве $C(\mathbb{R});$ явно выписаны точная константа неравенства и экстремальная функция (функция, на которой неравенство обращается в равенство), это квадрат функции Бесселя. (А.О.Леонтьева) Полученный результат является прорывным в данной тематике. Неравенства Бернштейна для производных порядка $\alpha \ge 1$ хорошо изучены. Результаты при таких значениях параметра $\alpha$ использовали интерполяционные формулы по равномерной сетке узлов, и были получены в работах М.Рисса (1914) и Г.Сеге (1928), С.Н.Бернштейна (1935), Г.Т.Соколова (1935), П.Сайвина (1941), П.И.Лизоркина (1965), А.И.Козко (1998), О.Л.Виноградова (2007). При $0 < \alpha < 1$ точных результатов ранее не было. Для его получения была построена интерполяционная формула нового типа - по неравномерным узлам. Промежуточные результаты исследований обсуждались на еженедельном научно-исследовательском семинаре «Экстремальные задачи теории функций и операторов» под руководством профессора В.В.Арестова в Уральском федеральном университете (http://kma.kmath.ru/arestov/seminar.html). Полученные научные результаты представлены в докладах на ряде российских и международных научных конференций. По проекту подготовлены и приняты в печать 4 публикации членов научного коллектива в ведущих рецензируемых российских научных журналах.