Аннотация результатов, полученных в 2022 году
За отчетный период в рамках работ по проекту были проведены многочисленные компьютерные эксперименты с целью изучения свойств топологического типа амебы многочлена нескольких комплексных переменных как функции его носителя и характера его зависимости от коэффициентов многочлена. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение позволили выявить наиболее перспективные классы многочленов нескольких комплексных переменных, которые могут оказаться контрпримерами к гипотезе Пассаре. К их числу относятся, в частности, многочлены, носителями которых являются зонотопы в высоких размерностях. Результаты расчета и визуализации амеб оптимальных гипергеометрических многочленов с носителями в зонотопах представлены на сайте http://amoebas.ru/. Алгоритмы визуализации амеб многочленов нескольких комплексных переменных в размерности 3 и более высоких размерностях изложены в научной статье «Вычисление связных компонент дополнения к амебе многочлена от нескольких комплексных переменных», принятом к печати в журнале, индексируемом библиометрическими системами Scopus и Web of Science. Промежуточные результаты выполнения проекта были представлены в очном докладе на международной конференции "Computer Algebra in Scientific Computing", (август 2022 г., Технический университет г. Гебзе, Турция), а также на международной научной конференции "Computing in topological structures: foundations and implementations" (27 июня - 1 июля 2022 г., Математический центр "Сириус", г. Сочи).

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
За отчетный период работы над проектом исследований класс многочленов нескольких комплексных переменных, имеющих сплошные амебы, изучался путем их погружения в пространства решений регулярных голономных систем дифференциальных уравнений, зависящих от комплексных параметров и разложений обратных к ним функций в кратные степенные ряды. Данный подход опирается на построение порождающих решений и универсальных базисов регулярных голономных резонансных систем дифференциальных уравнений в частных производных с помощью многомерных вычетов, а также явное вычисление их решений в виде так называемых многочленов Фробениуса-Пюизо, то есть, элементов кольца формальных степенных рядов, полиномиальным образом зависящих от конечного числа мономов Пюизо и логарифмов независимых переменных. За отчетный период работы получены, в частности, следующие результаты. Пусть x - n-мерный вектор комплексных переменных. Обозначим через A квадратную матрицу размера n>1 и через h - аналитическую функцию, заданную в непустой области D в комплексной плоскости. Рассмотрим отображение f=(f_1,...,f_n) из n-мерного комплексного пространства в себя, определенное формулой f[A,h](x) := x + h(Ax) с координатами f_j : x -> x_j + h(< A_j, x >), j = 1,...,n, якобиан которого тождественно равен ненулевой постоянной всюду, где каждая из координат f_j корректно определена. Здесь < A_j, x > обозначает скалярное произведение j-й строки матрицы A на вектор переменных x. Пусть U - квадратная матрица, такая, что якобиан отображения f[U,h](x) равен ненулевой постоянной для всех x из области определения и, более того, для всевозможных аналитических функций h, голоморфных в области D. Показано, что любая такая матрица U задается выбором целочисленного разбиения размерности n на m слагаемых и перестановкой длины m однозначно с точностью до перестановочного подобия матриц. Для произвольного d=2,3,... построено n-параметрическое семейство квадратных матриц H(s), таких, что для любой матрицы U, удовлетворяющей вышеперечисленным условиям, отображение x+((U*H(s))x)^d, заданное произведением Адамара U*H(s), имеет единичный якобиан. Установлено, что обратное к нему отображение является полиномиальным и предложена рекурсивная формула для его вычисления. Достигнутые в ходе выполнения проекта научные результаты были представлены участниками проекта на следующих научных конференциях: 1. Polynomial Computer Algebra 2023. 17-22 апреля 2023 года. Международный математический институт Л. Эйлера, Санкт-Петербург. Сайт конференции: https://pca-pdmi.ru/2023/. Программа конференции: https://pca-pdmi.ru/2023/program. 2. International workshop “Complex tropical geometry and beyond“, Xiamen University Malaysia, г. Куала-Лумпур, Малайзия. 30 апреля - 12 мая 2023 года. Подробная информация о докладе и представленных в нем результатах размещена по адресу https://www.xmu.edu.my/TalksAndEvents/list.htm. 3. 25th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing (см. сайт конференции http://casc-conference.org/), 28 августа - 1 сентября 2023 года, университет г. Гавана, Куба. Программа конференции: https://casc-conference.org/2023/schedule.html.