Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Исследуется нерезонансная эволюция угла наклона оси вращения гипотетической экзо-Земли в гравитационном поле звезды, спутника планеты (экзо-Луны) и внешней планеты (экзо-Юпитера). Предполагается, что экзо-Земля является динамически симметричным твердым телом (A =B), эллипсоид инерции которого близок к сфере, экзо-Земля и экзо-Юпитер рассматриваются как материальные точки, движущиеся по кеплеровским эллипсам вокруг звезды. Траектория экзо-Луны -- эволюционирующий эллипс с фокусом в экзо-Земле, при этом медленно эволюционирует долгота восходящего узла орбиты спутника на плоскости «эклиптики» и аргумент перицентра. В предположении, что частоты орбитальных эллиптических движений есть величины порядка единицы, получены канонические усредненные уравнения возмущенных колебаний оси вращения экзо-Земли, содержащие параметры, медленно меняющиеся со временем. В предположении, что массы планет малы по сравнению с массой звезды, получены (в первом приближении метода малого параметра) упрощенные уравнения колебаний оси вращения планеты. Интеграция этих уравнений дает явную зависимость угла наклона оси вращения экзо-Земли от времени в виде квазипериодической функции времени с двумя базисными частотами, одна из которых -- частота невозмущенной прецессии оси вращения экзо-Земли, вторая -- разность частот невозмущенной прецессии оси вращения экзо-Земли и частоты прецессии долготы восходящего узла орбиты экзо-Луны. Гравитационные моменты от внешней планеты формируют вековую, долгопериодическую моду колебаний с частотой, равной частоте невозмущенной прецессии оси собственного вращения экзо-Земли. Влияние экзо-Луны сводится к появлению короткопериодических гармоник с частотой, близкой к частоте прецессии долготы восходящего узла орбиты экзо-Луны. Проведены расчеты для двух экзо-планетных систем: для системы, подобной Солнечной, и для планетной системы 7 Canis Majoris, состоящей из звезды (red giant) и двух экзо-планет 7 Canis Majoris b и 7 Canis Majoris с. Показано, что влияние экзо-Луны в системе Земля–Луна–Солнце–экзо-Юпитер является дестабилизирующим, в том смысле, что Луна увеличивает размах колебаний по углу нутации. Однако эффект дестабилизации уменьшается при увеличении большой полуоси орбиты экзо-Луны. Эффект дестабилизации от гравитационных моментов экзо-Луны наблюдается в системе 7 Canis Majoris, когда экзо-Землей считается планета 7 Canis Majoris с: при увеличении угла наклона плоскости орбиты экзо-Луны к плоскости орбиты экзо-Земли вплоть до значений 48.6 градусов непрерывно возрастает размах колебаний. Обнаружено также, что угол наклона плоскости орбиты внешней планеты к плоскости орбиты экзо-Земли не влияет на размах колебаний по углу нутации. Задача о стабилизирующем (дестабилизирующем) влиянии экзо-Луны на колебания по углу нутации экзо-Земли рассмотрена также в более общей постановке, учитывающей гравитационные моменты со стороны нескольких экзо-планет, входящих в планетную систему. Считаем, что экзо-Земля является почти сферическим твердым телом, для которого разница между наибольшим и наименьшим главными моментами инерции является малым параметром. Звезда, экзо-Луна и экзо-планеты считаются точечными массами, движущимися по квазипериодическим орбитам. Орбита экзо-Луны сохраняет постоянный наклон к эклиптике и испытывает два типа медленных прецессионных движений -- узловых и апсидальных -- с малыми частотами. Предполагаем, что орбитальные частоты экзо-Земли, экзо-планет, входящих в систему, имеют порядок единицы и нерезонансны. Отсутствует также спин-орбитальный резонанс. Максимальный диапазон изменения угла нутации определяется как разница между максимальным и минимальным значениями угла наклона оси вращения экзо-Земли на асимптотически большем промежутке времени. Гамильтониан задачи получен путем разложения в степенной ряд по малому параметру. Показано, что усредненные уравнения содержат шесть параметров Dj, которые являются постоянными в безлунной системе и становятся периодическими функциями времени при добавлении экзо-Луны. Параметры Dj вычисляются с учетом масс и орбит всех небесных тел. Подробно исследована система звезда--планета--спутник. Показано, что при канонической «перигейной» замене координат система становится автономной, интегрируемой. Описано три типа семейства траекторий вектора кинетического момента на единичной сфере. Для каждого из этих случаев аналитически вычислен максимальный диапазон изменения угла нутации в зависимости от начальных условий. Отметить, что первые два типа семейства траекторий вектора кинетического момента уже встречались ранее в теории возмущенных нерезонансных вращений спутника с учетом эволюции орбиты (Beletskii V.V. "Motion of a satellite relative to the center of mass in a gravitational field" Moscow: MSU Press, 1975). Показано, что в системе звезда--экзо-Земля--экзо-Луна воздействие спутника носит дестабилизирующий характер в сравнении с безлунной системой, так как воздействие экзо-Луны вызывает колебания по углу нутации экзо-Земли. Таким образом, известная гипотеза о стабилизирующем воздействии экзо-Луны не всегда верна. Рассмотрена обобщенная задачи Ситникова. Обобщение заключается в замене пассивно гравитирующей точки на пассивно гравитирующую гантель, состоящую из двух точечных масс, соединённых абсолютно жёстким невесомым и нерастяжимым стержнем. Показано, что существуют равновесия гантели, когда ее стержень ориентирован вдоль оси, перпендикулярной плоскости движения основных тел и проходящей через центр масс основных притягивающих тел. Изучены равновесия симметричной и асимметричной гантели в круговой задаче (e=0) в зависимости от различных длин l гантели: найдено аналитическое выражение для однопараметрического семейства равновесий (l – параметр семейства) в симметричном случае, исследована бифуркация равновесий, построены бифуркационные диаграммы равновесий как в симметричном случае, так и в асимметричном (для разных взаимных отношений точечных масс гантели), построены фазовые портреты колебаний. Один из выводов : тривиальные равновесия, когда геометрический центр стержня находится в центре масс основных тел, существуют только в симметричном случае. Тривиальные равновесия устойчивы при l\le\sqrt(2)/2 и неустойчивы в противном случае. Нетривиальные равновесия симметричной гантели всегда устойчивы. Асимметричная гантель имеет только нетривиальные равновесия, число которых равно единице, либо трем. В первом случае равновесие всегда устойчиво, во втором – устойчивы верхние и нижние равновесия, неустойчиво промежуточное равновесие. Исследована устойчивость тривиального равновесия симметричной гантели в линейном приближении для эллиптической задачи Ситникова для разных значений l, e. Показано, что равновесия неустойчивы по Ляпунову при любом эксцентриситете e основных орбит, если длина гантели превышает некоторое критическое значение 0.983819. Результаты получены на основе применения теоремы Ляпунова по исследованию устойчивости линейного уравнения типа Хилла, и дополнены численными расчетами мультипликаторов системы. Случай l<0.983819 исследовался численно. Написана программа построения мультипликаторов системы, проведены расчеты, получены области параметров, где выполняются достаточные условия устойчивости. Показано, что увеличение длины гантели ведёт к расширению интервалов неустойчивости по эксцентриситету e. Для исследования динамических эффектов поступательно вращательных движений однородного стержня в обобщенной задаче Ситникова были получены усредненные уравнения возмущенного движения стержня в окрестности его относительных равновесий. Изучены эффекты существенного влияния вращательных движений на поступательные, в частности, описано изменение амплитуды прямолинейных колебаний центра масс гантели в зависимости от начальных условий по углу вращения стержня.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Получены новые результаты в классической круговой ограниченная задача трех тел (астероидный вариант). Тело малой массы (астероид) находится под действием притяжения двух массивных точечных тел, движущихся друг относительно друга по круговой орбите, при этом центральное тело (Солнце) имеет превалирующую массу. Невозмущенная траектория астероида -- кеплеровский эллипс с фокусом в Солнце, плоскость эллипса образует с орбитальной плоскостью возмущающего тела (Юпитера) угол , отсутствуют резонансы, большая полуось невозмущенной траектории астероида меньше радиуса орбиты Юпитера. Проводится усреднение пертурбационной функции по двум быстрым переменным -- средней долготе Юпитера и средней долготе невозмущенного движения астероида -- с последующим анализом усредненных эволюционных уравнений движения. Получены новые представления усредненной пертурбационной функции в виде ряда Фурье и в виде степенного ряда по μ, где μ есть отношение больших полуосей орбит астероида и Юпитера. На основе формулы Коши-Адамара проведены расчеты радиуса сходимости ряда в плоскости оскулирующих элементов e,ω при разных значениях параметра μ и фиксированных значениях константы Лидова-Козаи. Радиусы сходимости представлены -- при разных μ -- семейством кривых в плоскости e,ω. Выше каждой кривой расположена область расходимости ряда по μ, когда μ отвечает выделенной кривой, ниже -- область сходимости. Области расходимости обширны: при «больших» μ (0.6 ≤ μ <1) эти области захватывают значения e ≥ 0.45 при этом ω -- любое. Показано, что ряд является асимптотическим по Пуанкаре в областях расходимости: его можно аппроксимировать частичной суммой ряда, содержащей семьдесят членов ряда. Получены необходимые и достаточные условия появления кривых неаналитичности усредненной пертурбационной функции в виде неравенств на оскулирующие элементы. Показано, что ряд сохраняет асимптотические свойства вдоль кривых неаналитичности. Асимпто-тические свойства ряда пропадают при μ→1. Асимптотичность ряда позволяет использовать традиционные методы теории возмущений в областях расходимости. Исследована эволюция кеплеровских элементов e,ω: построены фазовые портреты колебаний этих элементов в четвертом и шестом приближениях при фиксированных значениях μ и константы Лидова-Козаи. Доказана теорема о точности построения фазового портрета методом малого параметра для уравнений первого приближении метода усреднения. Получены явные асимптотические оценки числа удерживаемых членов ряда, гарантирующие суммарную точность в построении фазового портрета, совпадающую с точностью метода усреднения. 2. Рассмотрена задача о резонансном вращении спутника около центра масс в гравитационном поле трех массивных небесных тел. Спутник считается твердым телом с бесконечно малой массой и с эллипсоидом инерции близким к сфере. Предполагаем, что одно из небесных тел движется по круговой орбите радиуса a с частотой ω вокруг общего центра масс системы (случай солнечной системы). Траектории остальных тел описываются квазипериодическими функциями времени. Исследованы движения, близкие к равномерным спин-орбитальным резонансным вращениям, для которых Ω=2ω, либо Ω=ω/2, где Ω – невозмущенная угловая скорость вращения спутника. Получено выражение для усреднен-ного гамильтониана при резонансах Ω=2ω, Ω=ω/2. Показано, что усредненный гамильтониан зависит от шести постоянных параметров Dj, характеризующих зависимость вращений спутника от орбиты его центра масс. Показано, что уравнения движения с усредненной функцией Гамильтона допускают интеграл энергии и линейный интеграл по обобщенным импульсам вращательных движений. В случае динамически-симметричного спутника сохраняется проекция L вектора кинетического момента на ось динамической симметрии спутника. Линейный интеграл задает, в зависимости от типа резонанса, движение конца вектора кинетического момента по поверхности гиперболоида вращения либо эллипсоида вращения. Законы сохранения L и интеграла энергии описывают траекторию вектора кинетического момента в виде дрейфующей восьмерки, дрейфующей вдоль указанной поверхности. Рассмотрены резонансные вращения КА на естественных гало-орбитах в системе Солнце-Земля-Луна. Предполагается, что орбиты Земли и Луны круговые и расположены в плоскости эклиптики. Подсчитаны коэффициенты Dj для пяти гало-орбит, отличающихся друг от друга значениями амплитуд по оси Z. Сделан вывод о пропорциональном влиянии той или иной планеты на вращение спутника. Были найдены амплитуды колебаний вектора кинетического момента около своего резонансного значения на пяти гало-орбитах. 3. Исследована задача о поступательно-вращательных движениях симметричной гантели малой массы в гравитационном поле двух одинаковых массивных небесных тел, движущихся относительно общего центра масс по круговым орбитам. Получены уравнения движения гантели. Доказано существование интегрального многообразия, на котором центр масс гантели перемещается вдоль нормали OZ к плоскости орбитального движения основных тел, а сама гантель вращается вокруг этой нормали, образуя с ней постоянный угол π/2. Получена система уравнений движения на этом многообразии, получен обобщенный интеграл энергии. Исследован предельный случай гантели бесконечно малой длины: описаны малые нелинейные колебания центра масс гантели вдоль нормали OZ , описаны малые колебания по углу вращения гантели в окрестности устойчивого относительного равновесия. В частности, описан эффект амплитудной модуляции быстрых гармонических колебаний по углу вращения гантели. Исследовано множество относительных стационарных движений гантели, их устойчивость по Ляпунову. 4. Исследована задача о поступательно-вращательных движениях симметричной гантели малой массы в обобщенной эллиптической задаче Ситникова. Получены уравнения движения гантели. Доказано существование интегрального многообразия, на котором центр масс гантели перемещается вдоль нормали OZ к плоскости орбитального движения основных тел, а сама гантель вращается вокруг этой нормали, образуя с ней постоянный угол π/2. Получена система неавтономных уравнений движения на этом многообразии. Составлено уравнение плоских колебаний гантели, когда центр масс гантели совпадает с центром масс основных тел. Показано, что это уравнение совпадает с уравнением Белецкого, если длина гантели равна нулю. Исследуются малые колебания в окрестности устойчивого относительного равновесия при любых длинах гантели. Путем введения двух малых параметров -- e,ε -- получены разные типы линейных уравнений в зависимости от соотношений между малыми параметрами. Здесь ε – характерное значение малой окрестности устойчивого равновесия.