КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 22-21-00772
НазваниеУравнения и включения в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями, их приложения к задачам управления и оптимизации
РуководительЖуковский Евгений Семенович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина", Тамбовская обл
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2022 г. - 2023 г. |
Конкурс№64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-204 - Математические проблемы теории управления
Ключевые словамногозначное отображение, включение, точка совпадения, метрическое пространство, упорядоченное пространство, неявное дифференциальное включение, управляемая система, управляемость
Код ГРНТИ27.37.17
СтатусУспешно завершен
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Некоторые физические и биологические процессы (в частности, в механике, робототехнике, электродинамике, теории колебаний, нейробиологии) относят к существенно нелинейным. При моделировании таких процессов бывает необходимо учитывать импульсные воздействия, различные ограничения на параметры, зависимость параметров не только от состояния, но и от скорости его изменения и другие факторы. Для исследования существенно нелинейных систем, например, описываемых неявными дифференциальными уравнениями (прежде всего, задач управления и оптимизации для таких систем), многие классические методы анализа отображений метрических и, тем более, нормированных пространств оказываются неэффективными. Даже для разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений в случаях импульсных управлений, смешанных ограничений на фазовые переменные и управление, неограниченных невыпуклых множеств допустимых управлений, а также при наличии в уравнениях сингулярностей применить стандартные подходы и инструменты анализа часто бывает невозможно. Для изучения существенно нелинейных систем, а также задач управления и оптимизации, в которых нарушаются условия регулярности, требуется разработка новых методов анализа в различных обобщенно метрических пространствах и в частично упорядоченных пространствах. Распространение на такие пространства классических результатов анализа встречает серьезные трудности. Например, используемое в теоремах существования доказательство фундаментальности итерационных последовательностей существенно использует неравенство треугольника, и если обобщенное расстояние не удовлетворяет неравенству треугольника, то требуются новые идеи и схемы получения соответствующих результатов. Дополнительные сложности вносит неединственность в таких пространствах предела последовательностей. В последнее время растет интерес исследователей к решению перечисленных проблем. В недавних работах А.В. Арутюнова, А.В. Грешнова, С.Е. Жуковского, К.В. Сторожука и авторов настоящего проекта получены утверждения о неподвижных точках, о точках совпадения, о возмущениях накрывающих отображений, действующих в пространствах с векторными метриками, с $f$-квазиметриками, с $(q_1,q_2)$-квазиметриками, с расстоянием, удовлетворяющим только аксиоме тождества. Авторами проекта исследована задача о точках совпадения отображений, действующих из частично упорядоченного пространства в множество с рефлексивным бинарным отношением. Перечисленные результаты уже находят применение в исследованиях различных функциональных уравнений, в том числе неявных дифференциальных, интегральных уравнений, задач управления системами, динамика которых описывается такими уравнениями. Основная часть этих результатов относится к однозначным отображениям, и в связи с приложениями к системам управления актуальной проблемой становится получение их аналогов для многозначных отображений и соответствующих включений.
Целью проекта является разработка методов нелинейного и многозначного анализа в пространствах, на которых определены обобщенные метрики либо бинарные отношения, исследование разрешимости и свойств решений уравнений и включений в таких пространствах, применение полученных результатов к задачам управления и оптимизации.
Задачами проекта являются: получение условий типа Каристи достижения минимума функцией, определенной на пространстве с обобщенной метрикой или на пространстве с бинарным отношением; получение условий непрерывной зависимости от параметров точки минимума функции, определенной на пространстве с обобщенной метрикой или на пространстве с бинарным отношением; получение условий существования, непрерывной зависимости от параметров точек совпадения отображений, действующих в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями; получение условий устойчивости к возмущениям регулярных отображений в таких пространствах; получение условий разрешимости, полунепрерывной зависимости от параметров множеств решений уравнений и включений в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями; получение условий разрешимости, исследование свойств множеств решений задачи Коши и краевых задач для неявных дифференциальных и функционально-дифференциальных включений; исследование управляемых систем, описываемых неявными дифференциальными уравнениями, с ограничениями на фазовые переменные и управление, получение условий управляемости, полунепрерывной зависимости множеств решений от управления и параметров.
В проекте будут разработаны новые методы получения условий существования и построения оценок минимума функционалов, определенных на пространствах с обобщенными метриками и на пространствах с заданными бинарными отношениями. Эти результаты открывают возможности решения задач оптимизации с ограничениями, получения известных и новых результатов о минимуме функций, о точках совпадения и неподвижных точках отображений в различных пространствах. Также в проекте будут разработаны новые методы исследования задач управления существенно нелинейными системами, в том числе, системами, динамика которых описывается неявными дифференциальными уравнениями. Для изучения задач управления, в которых нарушаются классические требования на входящие в них функции и ограничения, и прежде всего, задач управления для неявных дифференциальных уравнений в проекте предлагаются новые инструменты и методы, основанные на результатах о точках совпадения и о возмущениях накрывающих отображений, действующих в обобщенно метрических пространствах и пространствах с бинарными отношениями. Утверждения о минимуме функции, определенной на пространстве с обобщенной метрикой или на пространстве с бинарным отношением, и утверждения о точках совпадения, о возмущениях накрывающих многозначных отображений в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями, которые планируется получить в проекте, позволят исследовать различные вопросы для систем управления и оптимального управления, динамика которых описывается неявными дифференциальными уравнениями, сингулярными уравнениями, для систем импульсного управления, систем, содержащих смешанные ограничения, а также в случае неограниченных невыпуклых множеств допустимых управлений.
Ожидаемые результаты
Будут исследованы геометрические свойства пространств с обобщенными метриками и определены понятия полунепрерывности, замкнутости, накрывания многозначных отображений в таких пространствах. В частности будут рассмотрены пространства, в которых расстояние удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника (f-квазиметрические пространства, $(q_1,q_2)$-квазиметрические пространства и др), и пространства, в которых расстояние является элементом конуса банахова пространства. Будут получены достаточные условия сходимости последовательностей точек $x_n$ таких, что расстояния между соседними точками удовлетворяют неравенству $\ro(x_{n+1}, x_n) \leq c \ro(x_n,x_{n-1}).$ На основании этого результата будут получены условия существования в перечисленных пространствах неподвижных точек сжимающих отображений, точек совпадения накрывающего и липшицева отображений, сходимости итераций и обобщенных итераций к неподвижным точкам и точкам совпадения многозначных отображений. Будут также получены условия непрерывной зависимости от параметров неподвижных точек и точек совпадений многозначных отображений, исследованы вопросы устойчивости итерационных процедур в пространствах с обобщенными метриками.
Будут исследованы многозначные отображения, определенные на частично упорядоченном пространстве и имеющие значения в пространстве с рефлексивным бинарным отношением. Будут получены условия, при которых инфимумом итераций в таких пространствах являются неподвижные точки многозначных отображений. Будут получены условия, при которых инфимумом обобщенных итераций в таких пространствах являются точки совпадения пары многозначных отображений. Будут получены условия монотонной зависимости от параметров неподвижных точек и точек совпадения многозначных отображений. Будут получены утверждения о возмущениях упорядоченно накрывающих многозначных отображений, на основе которых будут получены условия разрешимости уравнений и включений достаточно общего вида в пространствах с бинарными отношениями.
Будет получено утверждение о достижении инфимума функции, определенной на пространстве с обобщенной метрикой (будут рассмотрены частные случаи $f$-квазиметрического пространства, в т.ч. $(q_1,q_2)$-квазиметрические пространства и др), и удовлетворяющей неравенству типа Каристи. Будет предложено условие типа Каристи для задачи об условном минимуме при ограничениях в виде включений в пространстве с $f$-квазиметрикой, и будет доказано утверждение о существовании решения этой задачи. Будет предложена итерационный алгоритм нахождения минимума и условного минимума функции, определенной на пространстве с обобщенной метрикой.
Будет получено утверждение о достижения инфимума функции, определенной на пространстве с векторной квазиметрикой (расстояние является элементом конуса банахова пространства), и удовлетворяющей неравенству типа Каристи. Будет предложено условие типа Каристи для задачи об условном минимуме при ограничениях в виде включений в пространстве с векторной квазиметрикой, и будет доказано утверждение о существовании решения этой задачи. Будет предложен итерационный алгоритм нахождения минимума и условного минимума функции, определенной на пространстве с векторной метрикой.
Будет получено утверждение о достижении инфимума отображения, действующего в частично упорядоченных пространствах и удовлетворяющего неравенству типа Каристи. Будет предложено условие типа Каристи для задачи об условном минимуме при ограничениях в виде включений в пространстве с бинарным отношением, и будет доказано утверждение о существовании решения этой задачи. Будет установлена связь полученного утверждения с утверждениями об условном минимуме в пространствах с обобщенными метриками.
Будут получены обобщения вариационных принципов Экланда и Бишопа на отображения в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями. Будет показано, что из полученных утверждений в пространствах с бинарными отношениями следуют соответствующие утверждения в пространствах с обобщенными метриками, из которых, в свою очередь, выводятся классические вариационные принципы Экланда и Бишопа для отображений метрических пространств.
Будет определено "подходящее" функциональное обобщенно метрическое пространство для исследования дифференциальных включений, содержащих сингулярности, и изучены топологические свойства этого пространства. Будет проведена редукция задачи Коши и краевых задач для рассматриваемых дифференциальных включений к операторным включениям в предложенном функциональном пространстве. На основе результатов проекта о неподвижных точках многозначных отображений в обобщенно метрических пространствах для задачи Коши будут получены условия разрешимости, оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от параметров, исследованы топологические свойства множеств решений, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений. Также для краевых задач (периодических, антипериодических, с интегральным условием) рассматриваемых дифференциальных включений будут получены условия разрешимости, оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от параметров, исследованы топологические свойства множеств решений, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений.
Будет определено "подходящее" функциональное обобщенно метрическое пространство для исследования дифференциальных включений, подверженных импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени, и изучены топологические свойства этого пространства. Будет проведена редукция задачи Коши и краевых задач для рассматриваемых импульсных дифференциальных включений к операторным включениям в предложенном функциональном пространстве. На основе результатов проекта о неподвижных точках многозначных отображений в обобщенно метрических пространствах для задачи Коши будут получены условия разрешимости, оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от параметров, исследованы топологические свойства множеств решений, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений. Также для краевых задач (периодических, антипериодических, с интегральным условием) рассматриваемых импульсных дифференциальных включений будут получены условия разрешимости, оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от параметров, исследованы топологические свойства множеств решений, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений.
Будут исследованы дифференциальные включения, не разрешенные относительно производной искомой функции, на основе редукции к задаче о точке совпадения многозначных отображений в пространстве измеримых функций с векторным расстоянием. Для задачи Коши будут получены условия разрешимости, оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от параметров, исследованы топологические свойства множеств решений, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений. Также для краевых задач (периодических, антипериодических, с интегральным условием) рассматриваемых дифференциальных включений, не разрешенных относительно производной искомой функции, будут получены условия разрешимости, оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от параметров, исследованы топологические свойства множеств решений, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений.
На основании результатов проекта о точках совпадения в пространствах с бинарными отношениями будут получены утверждения типа теоремы Чаплыгина о дифференциальном неравенстве об оценках решений задачи Коши и краевых задач для дифференциальных включений, содержащих сингулярности, подверженных импульсным воздействиям, и дифференциальных включений, не разрешенных относительно производной.
На основании результатов о точках совпадения многозначных отображений будут исследованы управляемые системы с ограничениями на фазовые переменные и управление, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной. Для таких управляемых систем будут получены условия управляемости, полунепрерывной зависимости множеств решений от управления и параметров. Будут предложены итерационные алгоритмы нахождения решений управляемых систем. На основании результатов о точках совпадения в пространствах с бинарными отношениями будут получены утверждения об оценках решений управляемой системы типа теоремы Чаплыгина о дифференциальном неравенстве.
Для исследования интегральных включений типа Вольтерры, содержащих сингулярности, подверженных импульсным воздействиям, а также не разрешенных относительно искомой функции будут определены "подходящие" функциональные обобщенно метрические пространства, что позволит применить полученные в проекте результаты о точках совпадения многозначных отображений. Будут получены условия существования локальных решений, их продолжаемости, даны оценки снизу области определения предельно продолженных решений. Будут исследованы топологические свойства множеств решений. Будут получены условия полунепрерывной зависимости от параметра множества глобальных решений. На основании результатов о точках совпадения в пространствах с бинарными отношениями будут получены утверждения об оценках решений рассматриваемых интегральных включений типа Вольтерры, аналогичные теореме Чаплыгина об интегральном неравенстве.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Работы первого этапа Проекта были нацелены на разработку методов многозначного и вариационного анализа. Основными направлениями НИР были:
(I) исследование геометрических свойств пространств с обобщенными метриками, получение условий сходимости итераций и обобщенных итераций в таких пространствах, соответственно, к неподвижным точкам и точкам совпадения многозначных отображений, получение условий непрерывной зависимости от параметров неподвижных точек и точек совпадений многозначных отображений, исследование вопросов устойчивости итерационных процедур;
(II) исследование уравнений и включений в пространствах с бинарными отношениями (в том числе, в частично упорядоченных пространствах), получение условий, при которых инфимумом итераций и обобщенных итераций в таких пространствах являются неподвижные точки и точки совпадения многозначных отображений, исследование условий монотонной зависимости от параметров неподвижных точек и точек совпадения отображений;
(III) распространение теоремы Каристи, вариационных принципов Экланда и Бишопа-Фелпса на отображения в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с бинарными отношениями.
В этих направлениях исполнителями получены следующие результаты.
Для пространств с обобщенными расстояниями дано определение «геометрической прогрессии» –последовательности, у которой расстояние между «соседними» n+1-ым и n-ым членами не превосходит расстояния между ее предыдущими n-ым и n-1-ым членами, умноженного на некоторое число – знаменатель прогрессии. Выделен класс пространств, в которых сходятся геометрические прогрессии со знаменателем меньшим 1. Для f-квазиметрических пространств получены оценки сверху суммы расстояний между соседними членами геометрической прогрессии (в виде функции от расстояния между начальными членами и знаменателя). Получены конкретные функции f, для которых в полном f-квазиметрическом пространстве сходится любая геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим 1. Исследован вопрос о справедливости при конкретных функциях f в соответствующих f-квазиметрических пространствах «правила 0 или 1», означающего, что либо любая геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим 1 является фундаментальной, либо для произвольного положительного знаменателя существует геометрическая прогрессия, не являющаяся фундаментальной.
Проведено исследование неподвижных точек многозначных отображений в f-квазиметрических пространствах. Получена теорема существования неподвижных точек сжимающих отображений (аналог теоремы Надлера) для пространств, в которых сходятся геометрические прогрессии со знаменателем меньшим 1, получены оценки неподвижных точек, получены условия устойчивости неподвижных точек к изменениям отображения. Проведено исследование точек совпадения многозначных отображений, действующих из f-квазиметрического пространства в пространство с расстоянием, удовлетворяющим лишь аксиоме тождества. Получена теорема существования точек совпадения накрывающего и липшицева отображений (аналог теоремы Арутюнова) при условии, что в f-квазиметрическом пространстве сходятся геометрические прогрессии со знаменателем меньшим 1, получены оценки точек совпадения, получены условия устойчивости точек совпадения к изменениям отображений.
Для пространств с векторными обобщенными расстояниями, принимающими значения в конусе некоторого банахова пространства, дано определение геометрические прогрессии и выделен класс пространств, в которых сходятся геометрические прогрессии со знаменателем, спектральный радиус которого меньше 1. Проведено исследование неподвижных точек многозначных отображений в пространствах с векторными f-квазиметриками. Получена теорема существования неподвижных точек сжимающих отображений таких пространств при условии сходимости геометрических прогрессий со знаменателем, спектральный радиус которого меньше 1. Получены оценки неподвижных точек, получены условия устойчивости неподвижных точек к изменениям отображения. Проведено исследование точек совпадения многозначных отображений, действующих из пространства с векторной f-квазиметрикой в пространство с векторным расстоянием, удовлетворяющим аксиоме тождества. Получена теорема существования точек совпадения накрывающего и липшицева отображений, если в векторном f-квазиметрическом пространстве сходятся геометрические прогрессии со знаменателем, спектральный радиус которого меньше 1. Получены оценки точек совпадения, получены условия устойчивости точек совпадения к изменениям отображений.
Проведено исследование точек совпадения многозначных отображений, действующих из частично упорядоченного пространства в пространство с рефлексивным бинарным отношением. Получена теорема существования точек совпадения упорядоченно накрывающего и монотонного отображений. Получены условия существования минимальных и наименьших (максимальных и наибольших) точек совпадения, получены их оценки. Получены условия устойчивости множества точек совпадения к монотонным возмущениям отображений. Получены условия монотонной зависимости множества точек совпадения от параметра, принадлежащего некоторому частично упорядоченному пространству.
Проведено исследование задачи о минимуме функции, определенной на f-квазиметрическом пространстве. Получены достаточных условия достижения инфимума в виде неравенства типа Каристи, получены оценки расстояния от произвольной точки до точки минимума. Проведено исследование задачи об условном минимуме при ограничениях в виде включений в f-квазиметрическом пространстве. Получены достаточные условия достижения условного минимума в виде неравенства типа Каристи, получены оценки расстояния от произвольной точки до точки условного минимума.
Проведено исследование задачи о минимуме функции, определенной на пространстве с векторным расстоянием. Получены достаточные условия достижения инфимума в виде неравенства типа Каристи, получены оценки векторного расстояния от произвольной точки до точки минимума. Проведено исследование задачи об условном минимуме при ограничениях в виде включений в пространстве с векторным расстоянием. Получены достаточные условия достижения условного минимума в виде неравенства типа Каристи, получены оценки векторного расстояния от произвольной точки до точки условного минимума.
Проведено исследование задачи о минимуме отображений, действующих в частично упорядоченных пространствах и в пространствах с бинарными отношениями. На такие отображения распространено неравенство типа Каристи, получена теорема о достижении инфимума отображения, являющаяся аналогом теоремы Каристи для рассматриваемых пространств. Проведено исследование задачи об условном минимуме при ограничениях в виде включений в пространстве с бинарным отношением. Получены достаточные условия достижения условного минимума в виде неравенства типа Каристи. С использованием неравенств типа Каристи получены утверждения, являющиеся обобщениями на f-квазиметрические пространства, на частично упорядоченные пространства и пространства с рефлексивными бинарными отношениями вариационных принципов Экланда и Бишопа-Фелпса.
Публикации
1. Жуковская Т.В., Мерчела В. Об устойчивости и непрерывной зависимости от параметра множества точек совпадения двух отображений, действующих в пространство с расстоянием Вестник российских университетов. Математика, Т. 27, № 139, с. 247–260 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.20310/2686-9667-2022-27-139-247-260
2. Жуковский Е.С. Геометрические прогрессии в пространствах с расстоянием, приложения к неподвижным точкам и точкам совпадения отображений Математический сборник, Т. 214, № 2 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.4213/sm9773
Аннотация результатов, полученных в 2023 году
На втором этапе НИР проведены исследования функциональных уравнений и включений, содержащих сингулярности, импульсные воздействия в нефиксированные моменты времени; дифференциальных уравнений и включений, не разрешенных относительно старшей производной; интегральных уравнений и включений неявного вида; управляемых систем. Использовались полученные на первом этапе проекта результаты теории операторных уравнений, многозначного и вариационного анализа. Получены следующие основные результаты.
Определена векторная метрика на пространстве измеримых функций, изучены топологические свойства полученного пространства, это пространство применено для исследования дифференциальных включений, содержащих сингулярности (несуммируемые особенности). Для таких включений исследованы начальная задачи и задачи с линейными краевыми условиями. Получены условия существования и оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от значений начальных и краевых условий, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений.
Определено обобщенно метрическое пространство кусочно абсолютно непрерывных функций, изучены его топологические свойства. Это пространство используется для исследования дифференциальных включений, подверженных импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени. Для таких включений исследованы начальная задачи и задачи с линейными краевыми условиями. Получены условия существования и оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от значений начальных и краевых условий, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений.
Исследованы начальная и краевые задачи для дифференциальных включений, не разрешенных относительно производной искомой функции. Получены условия существования и оценки решений, условия полунепрерывной зависимости множества решений от значений начальных и краевых условий, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений.
Получены утверждения типа теоремы Чаплыгина о дифференциальном неравенстве для начальной и краевых задач для дифференциальных включений, содержащих сингулярности, подверженных импульсным воздействиям, а также для дифференциальных включений, не разрешенных относительно производной. Получены условия существования во множестве решений функции с наименьшей производной.
Исследованы управляемые системы с ограничениями на фазовые переменные и управление, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной. Для таких управляемых систем получены условия управляемости, условия полунепрерывной зависимости множеств решений от управления, от начальных и краевых условий и параметров, предложены итерационные алгоритмы нахождения решений, также получены утверждения об оценках решений (типа теоремы Чаплыгина о дифференциальном неравенстве) и условия существования во множестве решений функции с наименьшей производной.
Для исследования интегральных включений типа Вольтерры, содержащих сингулярности, подверженных импульсным воздействиям, а также не разрешенных относительно искомой функции определены «подходящие» обобщенные метрики в пространстве измеримых функций. Для рассматриваемых включений получены условия существования локальных решений, продолжаемости решений, даны оценки снизу области определения предельно продолженных решений, получены условия полунепрерывной зависимости от параметра множества глобальных решений, получены утверждения об оценках (аналогичные теореме Чаплыгина об интегральном неравенстве), получены условия существования наименьшей функции во множестве решений.
Исследованы реализации иерархии Кадомцева–Петвиашвили (иерархии КП), ее строгого варианта и редукций: иерархии Кортевега–де Фриза (иерархия n-КдФ и строгая иерархия n-КдФ), которые имеют минимальную зависимость между различными коэффициентами их решения, так называемые минимальные реализации. Показано, как эти реализации связаны с решениями в различных условиях, и показано, что все рассматриваемые иерархии обладают инвариантными масштабирующими преобразованиями.
Результаты второго этапа исследований по Проекту представлены на российских и международных научных конференциях, семинарах, опубликованы в 5 научных статьях в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах (информацию о проекте и ссылки на публикации результатов в отечественных журналах см. https://elibrary.ru/item.asp?id=53906620).
Публикации
1. Жуковская Т.В., Серова И.Д. Оценка решения неявного дифференциального включения второго порядка Современные методы теории функций и смежные проблемы, C. 149-151 (год публикации - 2023)
2. Жуковская Т.В., Серова И.Д. Задача управления для неявного обыкновенного дифференциального уравнения Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками, № 7. С. 76-78 (год публикации - 2023)
3. Панасенко Е.А. Об операторных включениях в пространствах с векторнозначными метриками Труды Института математики и механики УрО РАН, Т. 29, № 3. С.106–127 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-3-106-127
4. Серова И.Д. Исследование краевой задачи для дифференциального включения Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 144. С. 395-405. (год публикации - 2023) https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-144-395-405
5. Хельминк Ж.Ф., Панасенко Е.А. Minimal realizations of the KP hierarchy, its strict version and their reductions Contemporary Mathematics, Vol. 788. P. 135-150 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1090/conm/788/15823
6. - Ученые Державинского – победители конкурса малых научных групп РНФ Сайт Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина, 01.12.2021 (год публикации - )
Возможность практического использования результатов
не указано