Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Получены уравнения движения, описывающие динамику неоднородного диска на плоскости как в общем случае, так и в частном при наложении дополнительных связей. Задача рассматривалась в предположении, что диск не отрывается от опорной плоскости и не проскальзывает в направлении плоскости диска, а также проекции скорости центра масс на горизонтальную плоскость равны нулю. Показано, что помимо полной энергии, полученная система также сохраняет проекцию угловой скорости на ось, перпендикулярную плоскости диска, причем эта проекция равняется нулю. Кроме того, полученная система обладает инволюцией, благодаря которой все траектории системы симметричны относительно некоторой плоскости в фазовом пространстве, которая соответствует вертикальному положению диска. На фиксированном уровне первых интегралов данной системы были получены редуцированные уравнения, представляющие собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для полученной системы было найдено двухпараметрическое семейство перманентных вращений (вращения с постоянным углом наклона плоскости диска и постоянной угловой скоростью), которые представляют собой вращению диска вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью, при которых плоскость диска также вертикальна, а центр масс отклонен на некоторый постоянный угол относительно вертикали. Этим вращениям соответствует двухпараметрическое семейство неподвижных точек редуцированной системы. Была подробно исследована устойчивость перманентных вращений и показано, что при малых угловых скоростях они неустойчивы, а при больших – устойчивы. Кроме того, проанализирована зависимость кривой, отделяющие устойчивые и неустойчивые вращения, от массо-геометрических параметров диска и параметров семейства. Указано несколько сценариев потери устойчивости перманентных вращений при уменьшении угловой скорости вращения. Показано, что все фазовое пространство приведенной системы разделяется на отдельные области с разными типами динамики: интегрируемой, суперинтегрируемой или хаотической. Указанные области отделены друг от друга двумерными инвариантными многообразиями. На основе численного моделирования доказана неинтегрируемость рассматриваемой задачи. Проведен подробный анализ динамики для частного интегрируемого случая – симметричного уравновешенного диска. Рассмотрена задача о качении шара с осесимметричным распределением масс по горизонтальной плоскости. Полагается, что при качении шар движется без отрыва от опорной плоскости и не проскальзывает в направлении проекции оси симметрии на опорную плоскость. При этом в направлении, перпендикулярном к указанному, шар может скользить относительно плоскости. Приведены примеры реализации описанной неголономной связи. Получены уравнения движения системы и показано, что она допускает ряд первых интегралов: геометрический интеграл, интеграл энергии, две связи, наложенные на систему (отсутствие отрыва от плоскости и отсутствие проскальзывания в одном из направлений), интеграл Джеллета и еще один дополнительный интеграл, линейный по скоростям. Существование этих интегралов движения приводит к тому, что рассматриваемая система сводится к системе с одной степенью свободы.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Рассмотрена задача о качении динамически несимметричного неуравновешенного диска (омнидиска) по плоскости в предположении, что точка контакта диска не может проскальзывать в направлении горизонтального диаметра диска. Связи ограничивают движение системы так, что движение диска происходит безотрывно, горизонтальная проекция центра масс на опорную плоскость неподвижна, а проекция угловой скорости диска на нормаль к его плоскости равна нулю (связь Суслова). В рамках проекта в 2023 году мы рассмотрели динамику описанного диска с учетом действия сил и моментов сил вязкого трения. Найдены частные решения, которые соответствуют верхним или нижним вертикальным вращениям диска. Проанализирована устойчивость указанных решений, и показано, что нижнее вращение всегда неустойчиво, а верхнее устойчиво при достаточно больших угловых скоростях вращения диска. Проанализирована область возможных движений системы и сделаны некоторые предположения об ограничениях на начальные условия, при которых будет наблюдаться переворот диска. Исследована задача о качении шара с осесимметричным распределением масс по горизонтальной плоскости с частичным проскальзыванием. В рассматриваемой модели шар может скользить в направлении проекции оси симметрии на опорную плоскость, и катиться без проскальзывания в направлении, перпендикулярном к указанному направлению. Показано, что в общем случае рассматриваемая система является неинтегрируемой и не допускает существование инвариантной меры с гладкой плотностью. Найдены и исследованы некоторые частные случаи существования дополнительного интеграла движения. Кроме того, указан предельный случай, в котором система является интегрируемой по теореме Эйлера-Якоби.