КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 22-21-20013

НазваниеФункциональные алгебры в многозначных логиках

РуководительШаранхаев Иван Константинович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Бурятский государственный университет имени Доржи Банзарова", Республика Бурятия

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс№65 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-102 - Алгебра

Ключевые словафункциональная алгебра, к-значная логика, клон, универсальная алгебра, мультифункция, суперпозиция, мультиклон, суперклон, ультраклон

Код ГРНТИ27.17.23

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
На современном этапе развития информационных систем одной из актуальных задач является задача обработки информации в условиях неопределенности, противоречивости. Для ее решения предлагаются разные подходы. Одним из перспективных видится подход, в котором логическую основу составляют функции, заданные на конечном множестве A и принимающие в качестве своих значений подмножества множества A, в том числе пустое. Такие отображения в случае, когда множество A представляет собой двухэлементное множество {0, 1}, являются не всюду определенными булевыми функциями, а при произвольном множестве А их принято называть мультифункциями на А. Мультифункции естественным образом позволяют интерпретировать неопределенность и противоречивость. Так, например, в двузначном случае возможны два вида неопределенности: для первого вида неопределенности на тех наборах, на которых значение функции не определено, неопределенность понимается как возможность принятия и значения 0, и значения 1, т. е. образом для таких наборов будет множество {0, 1}, второй вид неопределенности связан с пустым множеством, обычно означает запретность данных. Настоящий проект направлен на развитие алгебраического подхода в теории мультифункций, которая находится сейчас в начальной стадии исследований и требует решения многих принципиальных вопросов. Как и в традиционной теории функций многозначной логики основными задачами являются получение эффективных критериев полноты, описание решетки замкнутых классов, нахождения специальных представлений мультифункций, порождающих множеств, классификация мультифункций. На решение перечисленных задач нацелен предложенный проект. Тематика проекта относится к пограничным разделам алгебры, математической логики и дискретной математики, а более точно, универсальной алгебры, многозначной логики и теории функциональных систем. Исторически теория функций на конечных множествах берет свое начало с известных результатов американского математика Эмиля Поста, который полностью описал решетку замкнутых классов булевых функций, что позволило установить ее счетность и решить проблему полноты. Результаты, полученные в двузначной логике, способствовали дальнейшему развитию исследований в теории функций k-значной логики. При этом выделяются два направления: первое связано с увеличением мощности основного множества, второе - с рассмотрением функций, которые определены не на всех наборах. Исследования по первому направлению получили развитие несколько раньше. В 1939 году Е. Слупецкий предложил критерий полноты множества функций k-значной логики, которое содержит все унарные функции. В дальнейшем С.В. Яблонский решил задачу о полноте для функций трехзначной логики, описав все предполные классы. В 1956 году А.В. Кузнецов сообщил о конечности числа предполных классов для функций k-значной логики при любом k. Решение проблемы полноты при любом k принадлежит И. Розенбергу. В 60-е годы прошлого века начинает развиваться другое направление, связанное с исследованием функций, заданных не на всех наборах. Не всюду определенные функции удобно рассматривать как отображения из декартовой степени A в множество всех подмножеств A, причем одноэлементные подмножества отождествляются с элементами A, а остальные подмножества понимаются как неопределенности. Очевидно, что операция суперпозиции в обычном смысле для работы с этими функциями не подходит. Существует несколько способов расширения операции суперпозиции, каждый из которых позволяет находить значения суперпозиции на наборах с неопределенностями. В зависимости от вида и числа неопределенностей их называют частичными, гиперфункциями, мультифункциями. Отметим, что частичные функции и гиперфункции являются обобщениями функций k-значной логики, а мультифункции обобщают частичные функции и гиперфункции. Таким образом, теория мультифункций охватывает оба указанных выше направления. Алгебраический подход при исследовании функций к-значной логики впервые был предложен А.И. Мальцевым. Затем Н.А. Перязевым этот подход был распространен и на мультифункции. Продвижения в теории мультифункций, которая находится в начальной стадии развития, вызывают пристальный интерес как у специалистов по алгебре, математической логике и дискретной математике, поскольку такие функции возникают, например, в многозначных логиках, решении функциональных уравнений, так и у специалистов занимающихся приложениями: проектированием дискретных преобразователей информации, защитой информации, разработкой систем поддержки принятия решений и др.

Ожидаемые результаты
За время выполнения проекта ожидается получение следующих результатов: 2022 год: - выявить соотношение между суперклонами и алгебрами унарных мультифункций; - получить классификацию мультифункций в полном мультиклоне ранга 2; - исследовать решетки мультиклонов, ультраклонов; - исследовать минимальные частичные ультраклоны малых рангов; - описать минимальные алгебры мультифункций размерности 2, ранга 3; - найти тождества, выполняющиеся в алгебрах мультифункций различных типов при фиксированной размерности; - разработать алгоритм для нахождения минимальной ключевой стандартной формы мультифункций ранга 3. 2023 год: - описать типы минимальных базисов мультифункций в полном мультиклоне ранга 2; - найти критерии полноты мультифункций различных рангов в полном мультиклоне и частичном ультраклоне; - ввести и разработать алгоритмы нахождения представлений мультифункций специальными формами; - исследовать вопросы сложности представления мультифункций. Ожидаемые результаты в полной мере соответствуют мировому уровню исследований и вызовут интерес у специалистов из России, Германии, США, Канады, Японии, Сербии и др. Значимость и возможность практического использования этих результатов вытекают из содержания пункта 1.4. Аннотация проекта.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---