КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 22-22-00653

НазваниеРазвитие алгоритмов решения задач рассеяния для интегрируемых нелинейных уравнений Шредингера

РуководительФрумин Леонид Лазаревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирская обл

Период выполнения при поддержке РНФ 2022 г. - 2023 г. 

Конкурс№64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 02 - Физика и науки о космосе, 02-402 - Нелинейные колебания и волны

Ключевые словаНелинейные уравнения Шредингера, обратная, прямая задачи рассеяния, алгоритмы, система Захарова-Шабата, система Манакова

Код ГРНТИ29.35.03

СтатусУспешно завершен

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) широко используется в современной науке как одна из наиболее фундаментальных математических моделей. Эта модель волновых процессов, одновременно учитывающая дисперсию и нелинейность, востребована в теоретической физике, нелинейной физической оптике, а также для описания нелинейно-дисперсионных эффектов распространения оптического излучения по волоконным линиям связи. Уравнение Шредингера с дисперсией второго порядка и кубической (керровской) нелинейностью относится к нетривиальному классу интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных, решения которых находятся методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) (нелинейного преобразования Фурье) [В.Е Захаров., С.В Манаков., С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, В. Е. Захаров, А. Б. Шабат. ЖЭТФ 1971; 61]. Суть МОЗР - выдающегося достижения современной математической физики, состоит в том, что решение нелинейного уравнения сводится к решению операторных спектральных задач, связанных (ассоциированных) с исходным нелинейным уравнением. Возникающие при этом обратная и прямая задачи рассеяния относятся к классу линейных задач. Изучение задач рассеяния позволяет не только аналитически исследовать нелинейную проблему, численная реализация МОЗР решает задачу Коши, причем, без каких-либо итераций. Для нелинейных уравнений с локализованными (убывающими на бесконечности) решениями (потенциалами) МОЗР приводит к линейным интегральным уравнениям Гельфанда Левитана Марченко (ГЛМ). Новые эффективные алгоритмы решения задач рассеяния на основе уравнений ГЛМ значительно расширяют возможности и перспективы МОЗР, а их развитие и приложение для более общих вариантов НУШ составляют основную цель Проекта. Для численного моделирования прямой и обратной задач рассеяния для скалярного уравнения Шредингера в нашей лаборатории были разработаны эффективные вычислительные алгоритмы тёплицева внутреннего окаймления (Toeplitz Inner Bordering - TIB) [O.V. Belai L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2007; 24, L.L. Frumin, O.V. Belai, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2015; 32]. Эти алгоритмы основаны на прямом численном решении интегральных уравнений ГЛМ и являются модификацией известного алгоритма Левинсона [R.E. Blahut, Fast Algorithms for Digital Signal Processing, Cambridge University Press, 1985]. Их численная эффективность обусловлена использованием теплицевой симметрии дискретизованной системы ГЛМ, впервые обнаруженная руководителем проекта в 2006 году. TIB алгоритмы были успешно применены для расчета брэгговских решеток [A. Buryak, J. Bland-Hawthorn, and V. Steblina, Optics Express, 2009; 17, O.V. Belai, L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro, Laser Phys. 2010; 20] и решения обратных задач для уравнения Гельмгольца [O. V. Belai, L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro, Opt. Lett., 2008; 33]. В последние годы в волоконно-оптических сетях эти алгоритмы нашли применение для компенсации нелинейно-дисперсионных искажений информационного сигнала и, в особенности, для развития новых подходов в передаче информации, опирающихся на интегрируемость НУШ [L.L. Frumin, A.A. Gelash, and S.K. Turitsyn, Phys. Rev. Lett., 2017; 118, S.K. Turitsyn, J. E. Prilepsky, S.T. Le, S. Wahls, L.L. Frumin, M. Kamalian, and S.A. Derevyanko, Optica, 2017; 4, V. Aref, S.T. Le, and H. Buelow, IEEE J. of Lightwave Tech., 2018; 36]. К настоящему времени сравнительно хорошо разработаны методы расчета локализованных потенциалов НУШ. Еще одной нерешенной проблемой, на решение которой направлен проект, является разработка новых численных методов и алгоритмов решения задач без локализации, когда потенциалы (решения) имеют постоянный фон. Основным направлением данного проекта является исследование векторных задач рассеяния с учетом поляризационных явлений в среде с дисперсией и нелинейностью Керра. Исследование эффектов поляризации имеет большое значение для оптических информационных технологий и, в целом, для современной нелинейной физики и оптики. Манаков [С.В. Манаков, ЖЭТФ 1974; 38], изучая явления самофокусировки и самоиндуцированной прозрачности при распространении поляризованных световых пучков в нелинейно-дисперсионных оптических средах, описал векторный вариант НУШ, ныне известный как модель Манакова. Эта модель состоит из пары нелинейных уравнений Шредингера для двух оптических поляризаций, связанных нелинейным взаимодействием. Манаков показал, что это векторное НУШ относится к классу интегрируемых систем. Он применил метод ОЗР и свел проблему к исследованию задач рассеяния для системы трех линейных уравнений, называемых системой Манакова. Он описал общие N-солитонные решения векторного НУШ, а также нашел частное решение, известное теперь как векторный солитон Манакова. Впоследствии Башаров и Маймистов [А. М. Башаров, А. И. Маймистов, ЖЭТФ 1984; 87], см. также [A. I Maimistov, A. M. Basharov, Springer 2013], обнаружили, что система Манакова имеет более широкие приложения и может быть применена для описания ряда других нелинейных проблем, включая распространение ультракоротких поляризованных оптических импульсов в резонансной двухуровневой среде. Недавно в области численного решения задач рассеяния для системы Манакова был совершен прорыв - на основе МОЗР был разработан метод решения векторного нелинейного уравнения Шредингера для модели Манакова [L.L. Frumin, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems 2021; 29]. Текст этой статьи добавлен в качестве файла с дополнительной информацией по проекту. Как и в скалярном случае, для векторного процесс решения также сводится к последовательности из трех этапов: прямая задача рассеяния, эволюция спектральных данных рассеяния и обратная задача рассеяния. Для эффективного численного решения задач рассеяния используется преобразованная к блочно-теплицеву виду система дискретизованных интегральных уравнений ГЛМ для векторного НУШ. Численное моделирование и сравнение с известным точным аналитическим решением – векторным солитоном Манакова, подтвердило эффективность (скорость и точность расчета) предложенных векторных алгоритмов TIB. Вместе с тем, дальнейшее повышение точности аппроксимации, хотя бы до второго порядка, является значимой и актуальной задачей, решение которой еще более повысит эффективность векторных алгоритмов TIB. Апробация в приложениях новых, только что разработанных, векторных алгоритмов TIB для решения задач рассеяния на локализованных поляризованных потенциалах векторного НУШ (прямоугольный потенциал, Sech-потенциал и др.) составляет, наряду с алгоритмами решения скалярных задач для не локализованных решений с постоянным фоном, основную группу новых актуальных и значимых задач, рассматриваемых в Проекте. Вдобавок к перечисленным проблемам в проекте будет рассмотрен важный вопрос о связи левой и правой задач рассеяния, поскольку алгоритмы TIB разработаны исключительно для левой постановки. Однако в литературе чаще встречается постановка с правой задачей рассеяния. Возможность решения правой задачи рассеяния с помощью алгоритмов левой задачи позволяет значительно расширить области применимости эффективных алгоритмов TIB.

Ожидаемые результаты
1) Исследование связи левой и правой задач рассеяния для НУШ. Решение этой проблемы позволит распространить алгоритмы левой задачи рассеяния на более распространенные правые постановки, что значительно расширяет области применимости алгоритмов TIB для решения НУШ. 2) Повышение порядка точности аппроксимации векторных алгоритмов TIB. Векторные алгоритмы повышенной точности представляют особую значимость для информационных технологий передачи информации по оптическим сетям, учитывая поляризацию сигналов, наряду с дисперсией и нелинейностью оптического волокна. 3) Разработка алгоритмов расчета задач рассеяния для задачи Захарова-Шабата с не локализованными потенциалами, содержащими постоянный фон. Такие задачи, с постоянным ненулевым фоном решений на бесконечности, в последнее время приобретают все большее значение для развития новых физических приложений метода обратной задачи рассеяния. 4) Моделирование задач рассеяния на локализованных поляризованных потенциалах векторного НУШ. Задачи рассеяния для векторного НУШ имеют значительный самостоятельный интерес и важны при решении более общей задачи – построении общего решения НУШ, имеющего как непрерывный, так и дискретный спектры рассеяния.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Рассмотрены связи между постановками правых и левых обратных задач рассеяния для системы Захарова - Шабата. Изучены общие соотношения между коэффициентами рассеяния этих задач в спектральной области. Эти результаты протестированы на примере данных рассеяния для сдвинутого прямоугольного потенциала. Для практических задач рассеяния, использующих интегральные уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМ), найдены преобразования отражения координат и комплексного сопряжения ядер ГЛМ, связывающие левую и правую постановки ОЗР. Это позволило распространить эффективные устойчивые численные алгоритмы TIB (Toeplitz Inner Bordering) для системы Захарова - Шабата, ранее разработанные только для левых постановок задач, на случай правосторонних задач рассеяния. Для проверки предложенного модифицированного алгоритма TIB рассмотрено восстановления по данным рассеяния двух точных аналитических решений нелинейного уравнения Шредингера - обрезанного и асимметричного Sech-потенциалов. Ранее алгоритм TIB часто применялся к потенциалам либо с чисто непрерывными, либо с чисто дискретными данными рассеяния. В случае с Sech-потенциалами данные рассеяния, содержат как дискретную, так и непрерывную части, что иллюстрирует применимость алгоритма TIB в этом общем случае. Кроме того, представленный пример с эволюционирующим во времени ядром показывает, как алгоритмы TIB для задач рассеяния, решают задачу Коши для нелинейного уравнения Шредингера. Рассмотренный подход был обобщен на случай численных алгоритмов, основанных на векторных уравнениях ГЛМ и ассоциированных с моделью Манакова. В этой модели наряду с нелинейностью и дисперсией учитывается также поляризация волнового поля. Левая и правая задачи рассеяния для системы Манакова, основанные на уравнениях ГЛМ, сводятся одна к другой в точности с помощью тех же преобразований координат и сопряжения ядер, однако для системы Манакова ядро ГЛМ и решение имеют векторный (двухкомпонентный) вид. https://arxiv.org/abs/2211.08679 2. Предложен метод численного решения обратной задачи рассеяния для системы Манакова, на основе интегральных уравнения ГЛМ. Аппроксимация интегральных уравнений была выполнена со вторым порядком точности. Это привело системе алгебраических уравнений с матрицей отличной, но близкой к блочно-теплицевой. Разработанный метод решения является дальнейшим развитием алгоритмов TIB на случай векторных задач. Его особенностью является представление матриц отличающихся от теплицевых, в виде теплицева разложения - суммы произведений (блочных) треугольных теплицевых матриц. Метод основан на блочно-теплицевом алгоритме Е.Е. Тыртышникова для теплицева разложения, представленном в монографии [Е.Е. Тыртышников, Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения (М.: Изд. АН СССР, 1989)]. Число операций алгоритма квадратично зависит от размера численной задачи. Метод применён к задаче Манакова о самофокусировке излучения с учётом поляризации, известной как модель Манакова. Численные расчёты для известного точного решения - солитона Манакова, подтвердили квадратичную сходимость предложенного метода и его скорость (см. Рис.3, 4 в Приложении). Полученные результаты вносят свой вклад в область нелинейной науки и приложений, предоставив универсальный численный инструмент для решения как левой, так и правой обратных задач рассеяния для систем Захарова–Шабата и Манакова. К примеру, правая и левая обратные задачи рассеяния используется в таких бурно развивающихся областях исследований, как нелинейные оптические телекоммуникации, волоконно-оптические брэгговские решетки, а также для численного моделирования нелинейного волнового поля с заданными данными рассеяния. https://doi.org/10.31868/RFL.2022.180-181

 

Публикации

1. Белай О.В. Быстрый численный метод второго порядка точности для решения обратной задачи рассеяния Квантовая электроника, - (год публикации - 2022)

2. О.В. Белай Быстрый численный метод второго порядка точности для решения обратной задачи рассеяния Материалы 10 международного семинара по волоконным лазерам, Институт автоматики и электрометрии СО РАН, 15-19 августа 2022, Новосибирск, Тезисы докладов на 10-м Международном семинаре по волоконным лазерам, Новосибирск, 15-21 августа 2022 года. (год публикации - 2022) https://doi.org/10.31868/RFL.2022.180-181

3. Чернявский А.Е., Фрумин Л.Л., Гелаш А.А. Right and left inverse scattering problems formulations for the Zakharov-Shabat system ArXiv Cornell Universit, https://arxiv.org/abs/2211.08679 (год публикации - 2022)

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Разработан новый алгоритм решения обратной задачи рассеяния (ОЗР) для системы линейных уравнений Манакова (системы Манакова), в дополнение к ранее разработанному в рамках данного Гранта РНФ алгоритму. Эти алгоритмы предназначены для решения ОЗР в рамках решения задачи Коши для модели Манакова нелинейного векторного уравнения Шредингера. Эта модель одновременно учитывает эффекты дисперсии, нелинейности и поляризации, что открывает заметные перспективы для количественного описания распространения поляризованного оптического излучения по волоконным линиям связи. Оба алгоритма решения ОЗР для системы Манакова опираются на блочные варианты дискретизованных интегральных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко. Решение задачи для первого порядка точности аппроксимации сводится к обращению ряда вложенных друг в друга блочных теплицевых матриц блочным вариантом метода окаймления Левинсона. Повышение точности аппроксимации нарушает теплицеву структуру блочных матриц. Проблема построения алгоритма повышенного (второго) порядка точности по-разному решена в представленных алгоритмах. В более новом алгоритме используется идея восстановление теплицевой структуры матриц системы, путем переноса ряда слагаемых систем линейных уравнений задачи в правую часть. Затем в этом алгоритме применятся блочный вариант алгоритма окаймления Левинсона. Ранее представленный алгоритм основан на теплицевом разложении для блочной матрицы, близкой к теплицевой, и алгоритме окаймления Тыртышникова. Оба разработанных алгоритма имеют второй порядок точности аппроксимации. Количества требуемых для расчета ОЗР арифметических операций в этих алгоритмах квадратично зависят от размера численной сетки задачи. 2. Численные тесты, проведенные путем сравнения результатов расчетов с известными точными аналитическими решениями (векторным солитоном Манакова и секанс-потенциалом), подтвердили устойчивость и второй порядок точности предложенных алгоритмов. На примере векторного солитона Манакова получены результаты численного решения обратной задачи рассеяния и проведено сравнение скорости и точности расчетов представленных алгоритмов. Ранее разработанный алгоритм оказался 1.8 раза точнее нового алгоритма, при этом последний решает обратную задачу рассеяния почти в 2.2 раза быстрее ранее разработанного алгоритма. Новый алгоритм значительно проще для кодирования, однако алгоритм, основанный на теплицевом разложении, имеет лучшие перспективы для дальнейшего повышения порядка точности аппроксимации. Разработанные в ходе тестирования программные коды для решения ОЗР для системы Манакова позволили обратиться к решению задачи Коши для модели Манакова. В частности, была численно решена задача о столкновении пары векторных солитонов Манакова, имеющих разные поляризации. Оба алгоритма инвариантны относительно выбора рабочего интервала и начала координат, как и большинство уравнений и алгоритмов математической физики. При изменении интервала меняется только расчетная сетка, но сам алгоритм не меняется. 3. Рассмотрена модель фокусирующего одномерного нелинейного уравнения Шредингера при наличии постоянного фона, проявляющего когерентные уединенные волновые структуры – бризеры. В рамках метода ОЗР изучалась задача численного расчета данных рассеяния для широкого класса бризеров, локализованных в пространстве. Для решения задачи была разработана процедура преобразования прямого рассеяния, основанная на численном решении вспомогательной системы Захарова–Шабата с граничными условиями, соответствующими наличию постоянного фона. https://www.computeroptics.ru/KO/Annot/KO47-6/470602.html https://doi.org/10.31868/RFL.2022.180-181 https://arxiv.org/pdf/2308.04568.pdf

 

Публикации

1. Белай О.В., Фрумин Л.Л., Чернявский А.Е. Алгоритмы решения обратной задачи рассеяния для модели Манакова Журнал вычислительной математики и математической физики, - (год публикации - 2024)

2. И. Мулляджанов, А. Гудко, Р. Мулляджанов, А. Гелаш Numerical direct scattering transform for breathers ArXiv - электронные препринты Корнелльского университета, arXiv preprint arXiv:2308.04568, 2023•arxiv.org. https://doi.org/10.48550/arXiv.2308.04568 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.48550/arXiv.2308.04568

3. Чернявский А.Е. , Фрумин Л.Л. Inverse scattering transform algorithm for the Manakov system Компьютерная оптика, Т. 47, №6, стр. 856-862 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.18287/2412-6179-CO-1298

Возможность практического использования результатов
Научные результаты проекта допускают практическое приложение в технологиях передачи данных по оптическим линиям связи для повышения скорости и качества передачи информации.