КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 22-71-00106

НазваниеПолиэдральные произведения в топологии, геометрии и комбинаторике

РуководительЛимонченко Иван Юрьевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2022 - 06.2024 

Конкурс№70 - Конкурс 2022 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-105 - Топология

Ключевые словаполиэдральное произведение, момент-угол комплекс, граф-произведение, торическое многообразие, квазиторическое многообразие, простой многогранник, высшее произведение Масси, функтор Кана-Терстона, функтор Дрора, конструкция Милграма, коформальное пространство

Код ГРНТИ27.19.17

СтатусЗакрыт досрочно

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящён изучению топологических пространств с богатой симметрией, происходящей из действий компактного тора на них, а также изучению геометрических и комбинаторных структур, возникающих на множествах орбит. Исследования проводятся методами торической топологии - активно развивающейся области математики, лежащей на пересечении топологии, геометрии, комбинаторики, теории многогранников, комбинаторной коммутативной алгебры, алгебраической и симплектической геометрии и характеризующейся глубоким взаимопроникновением идей и методов из указанных областей. В торической топологии изучаются действия компактного тора на гладких многообразиях и клеточных комплексах, пространства орбит которых несут богатую комбинаторную структуру. Эта область исследований возникла в конце 1990-х гг. как изучение топологических аналогов алгебраических торических многообразий методами алгебраической топологии. Центральными объектами изучения являются топологические аналоги неособых проективных торических многообразий - квазиторические многообразия и их обобщения (тор-многообразия), а также момент-угол комплексы и многообразия и их обобщения (полиэдральные произведения). Момент-угол комплексы - это клеточные пространства, представленные в виде объединения произведений двумерных дисков и окружностей по схеме, задаваемой лежащим в основе симплициальным комплексом. В случае, когда симплициальный комплекс является многогранной сферой, момент-угол комплекс над ним становится гладким многообразием. Понятия момент-угол комплекса и момент-угол многообразия связывают воедино несколько конструкций из разных областей математики, в том числе: пересечения вещественных и эрмитовых квадрик, изучаемые в топологии и голоморфной динамике, множества уровней отображений моментов при построении гамильтоновых торических многообразий методом симплектической редукции, дополнения конфигураций координатных подпространств в вещественном или комплексном евклидовом пространстве. Полиэдральное произведение - это функториальное обобщение понятия момент-угол комплекса, в котором пара (двумерный диск, окружность) заменяется на произвольную клеточную пару. Конструкция полиэдрального произведения приводит к новым приложениям торической топологии, таким как: изучение фильтрации Уайтхеда в теории гомотопий, исследование асферичности в когомологиях групп, изучение прямоугольных групп Артина, прямоугольных групп Кокстера и граф-произведений в геометрической теории групп, мультиградуированные версии устойчивых гомологий и бар-кодов множеств данных в топологическом анализе данных, конфигурационные пространства шарнирных механизмов в топологической робототехнике. Торическая топология активно развивается в настоящее время и привлекает большое количество исследователей во всем мире. В январе-июне 2020 г. в Институте Филдса (Торонто, Канада) был проведен тематический семестр "Toric Topology and Polyhedral Products": http://fields.utoronto.ca/activities/19-20/toric Руководитель данного проекта принимал активное участие в работе этой программы, работая на позиции Fields-Ontario postdoctoral fellow в Институте Филдса и Торонтском Университете, был одним из организаторов семинара для молодых исследователей в Институте Филдса: http://www.fields.utoronto.ca/activities/19-20/postdoc-seminar В 2022 г. выходит из печати том трудов Fields Institute Communications под названием "Toric Topology and Polyhedral Products". В продолжение тематического семестра уже запланирована фокусная программа "Toric Topology, Geometry and Polyhedral Products", которая пройдет в Институте Филдса в 2024 г.: http://www.fields.utoronto.ca/activities/24-25/toric Кроме того, с 2020 г. работает международный семинар "International Polyhedral Products Seminar" на базе Принстонского Университета (Принстон, США), а в 2022 г. планируется участие руководителя данного проекта и членов научного коллектива в международном проекте Heilbronn Focused Research Group на базе Университета Саутгемптона (Саутгемптон, Великобритания). Таким образом, мы планируем координацию исследований по плану данного проекта с указанными научными активностями в Институте Филдса, Университете Саутгемптона и Принстонском Университете, что будет способствовать внедрению результатов проекта, получению новых приложений и углублению научного сотрудничества с нашими коллегами в России и за рубежом.

Ожидаемые результаты
Планируется исследовать гомотопические инварианты полиэдральных произведений (X,A)^K, в том числе момент-угол комплексов Z_K=(D^2,S^1)^K с помощью методов торической топологии и комбинаторной коммутативной алгебры. Ожидается построение теории нового комбинаторного инварианта симплициальных комплексов - брунновских подмножеств в кольцах когомологий Z_K (гомологии Кошуля колец Стенли-Райснера симплициального комплекса K), то есть таких множеств когомологических классов, на которых реализуется нетривиальное высшее произведение Масси, и в то же время никакое собственное подмножество в нем не является брунновским. Планируется исследовать спектральную последовательность Милнора-Мура для момент-угол комплексов: описать часть её элементов и исследовать вопрос о нетривиальности дифференциалов. Достаточным, но не необходимым условием вырождения этой спектральной последовательности является коформальность момент-угол комплекса. Ожидается построение примеров некоформальных момент-угол комплексов и описание семейств симплициальных комплексов, для которых момент-угол комплексы коформальны. Будет построено обобщение момент-угол комплексов над бесконечными симплициальными комплексами K как копредел момент-угол комплексов по некоторой фильтрации комплекса K. Планируется описать кольца когомологий этих бесконечных момент-угол комплексов и на основе такого описания ввести и изучить новый инвариант дискретных групп G - когомологии бесконечных момент-угол комплексов их классифицирующих пространств BG, рассматриваемых как бесконечные симплициальных комплексы при помощи функториальной конструкции Милграма. Будут исследованы копредставления декартовых подгрупп в граф-произведениях дискретных групп. Минимальный набор образующих для этих групп был описан Пановым и Веревкиным (2016). Важным частным случаем являются коммутанты прямоугольных групп Кокстера RC_K, которые являются фундаментальными группами вещественных момент-угол комплексов (D^1,S^0)^K. В этом частном случае Ли Цай недавно предложил альтернативный набор образующих и новый подход к описанию соотношений между ними. Планируется формализация и обобщение этого метода на случай декартовых подгрупп в граф-произведениях групп. Будут получены верхние и нижние оценки на число соотношений в минимальных копредставлениях. Планируется описание и реализация алгоритма для вычисления этих соотношений, сравнение образующих Панова-Веревкина и Цая. Планируется обобщить конструкцию полиэдральных произведений в торической топологии, применив функторы Кана-Терстона и Дрора к ней и, в частности, к момент-угол комплексам. У полученного обобщения полиэдрального произведения, где некоторые пространства заменены гомологически эквивалентными пространствами, планируется изучить гомотопические инварианты методами торической топологии и комбинаторной коммутативной алгебры.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ