Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Построена математическая модель для пористой механической нано/микро/макромасштабной системы, состоящей из оболочки и электрода, с учетом температурного поля, вибрационных нагрузок, силы Казимира. Для построения математической модели приняты гипотезы: материал упругий; кинематические гипотезы Кирхгофа-Лява; геометрическая нелинейность по теории Т. фон Кармана; наноэффекты по модифицированной моментной теории упругости; температурное поле по закону Дюамеля-Неймана; три типа пористости на основе степенных функций. Уравнения движения, граничные и начальные условия получены из вариационного принципа Остроградского-Гамильтона. Построены математические модели для пористых механических нано/микро/макромасштабных систем из неоднородного материала с учетом геометрической нелинейности, контактного взаимодействия по теории Б.Я. Кантора, с учетом кинематической модели Кирхгофа-Лявы и модифицированной моментной теории упругости. Сформулированы теоремы существования решения пористых механических нано/микро/макромасштабных систем в виде оболочек. Впервые разработаны математические модели функционально-градиентных нано/микро/макромасштабных пластинок с учетом упруго-пластических деформаций по деформационной теории пластичности, а также пологих двоякоизогнутых прямоугольных в плане оболочек с учетом пористости материала, геометрической нелинейности, модифицированной моментной теории упругости и различных типов граничных условий. Для анализа упруго-пластического поведения функционально-градиентных нано/микро/макромасштабных пластин разработаны алгоритмы на основе методов вариационных итераций, двойных тригонометрических рядов Навье, Бубнова-Галёркина, конечных разностей. Исследована сходимость методов. Для анализа геометрически нелинейных упругих пористых нано/микро/макромасштабных систем в виде оболочек, пластинок разработаны алгоритмы на основе методов вариационных итераций в первом и втором приближениях, Канторовича-Власова во втором приближении, Бубнова-Галеркина в высших приближениях, конечных разностей. Задача Коши решена методами Рунге-Кутты разных порядков точности. Для компьютерного анализа хаотических колебаний пористых механических нано/микро/макромасштабных систем разработаны алгоритмы и созданы программные комплексы на основе методов нелинейной динамики, вейвлет-анализа и вычисления спектра показателей Ляпунова (нейросетевого, Сано-Савады, Канца, Вольфа и Розенштейна. Построена математическая модель идентификации формы и расположения щелей/пор в трехмерных и двумерных механических структурах на основе методов топологической оптимизации. Численное решение построено методом конечных элементов с использованием метода скользящих асимптот. Идентификация производится при воздействии на механическую структуру температурой и тепловым потоком с помощью решения обратной задачи теплопроводности. Построена математическая модель топологической оптимизации соединения внахлест с помощью адгезива для конструкций, находящихся под действием продольных механических нагрузок с целью снижения пиковых напряжений на границе соединения элементов. Предложен новый подход минимизации пиковых напряжений для многослойных композитных соединений на основе методов Rational Approximation of Material Properties (RAMP) и конечных элементов (МКЭ). Созданы программные модули идентификации отверстий и оптимизации адгезивного соединения двух и более механических структур для включения их в комплекс Comsol Multiphysics. Построена математическая модель топологической оптимизации базовой ячейки композита, содержащей изначально установленные технологические отверстия и/или включения. Предложен алгоритм оптимизации топологии для нахождения оптимальной микроструктуры в заданных композитных структурах. Исследована нелинейная динамика пористой функционально-градиентной нанобалки Эйлера-Бернулли, находящейся под действием силы Казимира и силы Кулона в зависимости от типа пористости материала, величины пор и отношения объемных долей керамической и металлической фаз материала. Исследована нелинейная статика и динамика пористой функционально-градиентной нанопластины с учетом геометрической нелинейности, находящейся в под действием силы Казимира, силы Кулона в температурном поле. Критическое напряжение, после которого происходит резкое увеличение прогиба, для пластины с неоднородной пористостью ниже, чем у чистого алюминия, кремния и материала с однородной пористостью. Исследована нелинейная динамика пористой нано/микро/макро масштабной пластины, находящейся под действием знакопеременной нагрузки. Построены карты характера колебаний балки, которые позволяют выделять зоны гармонических колебаний, сценария Фейгенбаума, сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауса. Области хаотических колебаний для материала с уменьшающейся от краев к середине пористостью меньше, чем для однородной и возрастающей от краев к середине пористостью. Исследована статика геометрически нелинейных двоякоизогнутых функционально-градиентных пористых неглубоких нанооболочек в зависимости от типа пористости, объёма пор, мелкомасштабного параметра, параметров кривизны оболочки, четырех типов граничных условий. Наибольшей несущий способностью, обладают оболочки с максимальным распределением пор в центре. Наименьшей несущей способностью обладают оболочки с равномерным распределением пор. Исследована нелинейная динамика пористой замкнутой цилиндрической нано/микро/макромасштабной оболочки Кирхгофа-Лява под действием внешней полосовой поперечной знакопеременной нагрузки. В случае равномерной пористости и макромасштабной оболочки переход от гармонических колебаний к хаотическим происходит по модифицированному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауса в сочетании с серией бифуркаций Хопфа. Для макромасштабной оболочки в сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим наблюдаются чередования окна хаоса (старший показатель Ляпунова положительный) и гипер-хаоса (первые два показателя Ляпунова в спектре положительные). Для нанооболочки в сценарии чередования окон хаоса и гипер-хаоса отсутствуют. Характеристики колебаний цилиндрической оболочки с учетом уменьшения пористости к середине толщины аналогичны характеристикам колебаний при повышенной к середине толщины пористости. Отметим, что для этих двух типов пористости переход в хаотическое и затем гипер-хаотическое состояние происходит при большей амплитуде нагрузки, чем для однородной пористости. Исследована нелинейная динамика при контактном взаимодействии двух жестко защемленных нано/микро/макромасштабных балок Эйлера-Бернулли под действием поперечной, равномерно распределенной, знакопеременной нагрузки на одну балку. Хаотические колебания для балок с однородной и уменьшенной к середине толщины пористостью наступают при меньшей амплитуде внешней нагрузки по сравнению с повышенной к середине толщины пористостью. Работа над грантом была освещена в сети интернет: 1. https://www.interfax-russia.ru/volga/news/saratovskie-uchenye-razrabotali-mnogofunkcionalnuyu-programmu-dlya-proektirovaniya-biomedicinskih-i-elektronnyh-priborov 2. https://news.sarbc.ru/main/2023/05/12/285932.html 3. https://www.sarbc.ru/company/8449176 4. https://www.sstu.ru/proekt/programma-dlya-proektirovaniya.html 5. https://www.sstu.ru/proekt/matematicheskie-model.html 6. https://www.sstu.ru/news/4-proekta-sgtu-podderzhany-rossiyskim-nauchnym-fondom.html 7. https://www.sstu.ru/news/uchenye-kafedry-mim-opublikovali-statyu-v-prestizhnom-zhurnale.html 8. https://www.sstu.ru/news/uchenye-kafedry-matematika-i-modelirovanie-vystupili-na-xxiii-zimney-shkole-po-mekhanike-sploshnykh-.html 9. https://www.sstu.ru/obrazovanie/instituty/fti/struktura/mim/news/uchenye-kafedry-fti-vystupili-na-mezhdunarodnoy-konferentsii-v-serbii-po-matematicheskomu-modelirova.html

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Построена математическая модель пластинок в трехмерной постановке с учетом упругопластических деформаций по деформационной теории пластичности. Созданы алгоритмы и комплексы программ исследования напряженно-деформируемого состояния 3D пластинок. Для численного исследования применен метод конечных элементов в сочетании с методом переменных параметров упругости Биргера. Исследована сходимость метода конечных элементов в форме тетраэдра. Проведено исследование зон упругопластических деформаций. В качестве критерия пластичности принят критерий Мизеса. Исследованы распределения пластической деформации при равномерной нагрузке и симметричных граничных условиях в 3D пластинке. Построена математическая модель пористой функционально-градиентной (ПФГМ) микро/нано балки, находящейся в температурном поле под действием сил Кулона и Ван-дер-Ваальса. Масштабные эффекты учтены согласно моментной теории со стесненным вращением частиц. Проведен анализ влияния типа пористости материала на хаотическую динамику исследуемых балок. Выявлен переход колебаний из хаотических в гиперхаотические. Впервые делается попытка сформулировать критерий потери устойчивости ПФГМ микро/нано балок, находящихся в температурном поле под действием сил Кулона и Ван-дер-Ваальса. Выявлено, что температурное поле T в диапазоне [-25;100] градусов Цельсия не оказывает влияния на хаотическую динамику пористой нанобалки. Построена, зависящая от размера, модель функционально-градиентных пластинок с двухосными линейно изменяющимися нагрузками и изменяющимися граничными условиями, с учетом физической и конструктивной (контактное взаимодействие) нелинейностей. Контактное взаимодействие учитывается согласно теории Б.Я. Кантора. Физическая нелинейность учитывается по деформационной теории пластичности и исследуется методом переменных параметров упругости Биргера. Для учета наноэффектов применена нелокальная теория упругости. Сформулированы и доказаны теоремы существования решений для эллиптических (параболических, гиперболических) уравнений, описывающих ПФГМ нано/микро/макромасштабные структуры в виде оболочек. Разработана модификация нейросетевого метода вычисления спектра показателей Ляпунова и приведено математическое обоснование для нелинейных динамических систем. Проанализированы различные методы вычисления показателей Ляпунова (метод Бенеттина, Вольфа, Розенштейна, Кантца, синхронизации, Сано-Савады и модификация нейросетевого метода) для классических задач нелинейной динамики (обобщенное отображение Эно, аттрактор Клейна-Байера) и колебаний механических систем (гибкой балки Бернулли-Эйлера в температурном поле и гибкой ПФГМ замкнутой цилиндрической оболочки под действием знакопеременной нагрузки). Выявлено явление гиперхаоса для таких систем. Разработанная модификация нейросетевого метода показывает хорошую сходимость с результатами, полученными другими методами, и позволяет рассчитывать спектр показателей Ляпунова на выборках очень малого размера. Для пористой замкнутой цилиндрической нанооболочки выявлен модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауса в сочетании с серией бифуркаций Хопфа. Для получения достоверных результатов анализа механических структур как систем с «почти» бесконечным числом степеней свободы применены методы: Бубнова-Галеркина в высших приближениях, вариационных итераций, конечных разностей, конечных элементов, Рунге-Кутты. Для используемых методов исследован вопрос сходимости. Предложено развитие метода вариационных итераций применительно к анализу устойчивости гибких ПФГМ нанопластин и цилиндрических нанопанелей. Выявлено, что критические нагрузки и прочность пластин могут быть увеличены за счет функционально-градиентного распределения свойств материала пластины. При увеличении показателя пористости и функционально-градиентного индекса величина критической нагрузки ПФГМ пластин уменьшается. Учет масштабного параметра существенно увеличивает критическую нагрузку и прочность ПФГМ нанопластин. Наибольшей несущей способностью обладают цилиндрические панели с максимальным распределением пор в центре панели X-PFGM. Наименьшей несущей способностью обладают панели с равномерным распределением пор U-PFGM. Различия между прогибами в центре для панелей между типами X-PFGM и U-PFGM превышает 30%. Построены новые математические модели контактного взаимодействия двух балок Эйлера-Бернулли с малым зазором: балки пористые линейно упругие и пористые физически нелинейные. Хаотические колебания балочных структур с зазором рассмотрены как динамическая неустойчивость типа Лаврентьева-Ишлинского и Рэлея-Тейлора, а также взаимодействие неустойчивости Конинга-Тауба и Рихтмайера-Мешкова систем. Предложена новая концепция анализа хаотической динамики контактного взаимодействия балочных структур как системы с «почти» бесконечным числом степеней свободы. В эту концепцию входит также необходимость очистить сигналы от шумовых составляющих с помощью алгоритмов метода главных компонент и вейвлет-анализа. Анализ нелинейных колебаний с помощью различных вейвлетов показал, что наиболее информативными являются вейвлеты Гаусс 32, Морле. При малых колебаниях двух макромасштабных и нанобалок их контактное взаимодействие приводит к хаотическим колебаниям с элементами классического сценария перехода колебаний в хаос - Фейгенбаума, а для пористых нанобалок типа O-PFGPM - к частотной синхронизации. Разработана математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние пористых, размерно-зависимых, упругопластических пластин с учетом воздействия температурного поля и влажности. Разработан инновационный и эффективный алгоритм анализа упругопластической деформации таких пластин, применимый к трем типам граничных условий и трем типам пористости. Этот алгоритм использует два вложенных итерационных метода: вариационных итераций и переменных параметров упругости Биргера. Разработанный алгоритм обеспечивает высокую точность и минимальное время вычислений при расчете упругопластической деформации пластин Кирхгофа с учетом температурного поля, влажности и пористости для различных материалов. Установлено, что пористая структура металла оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние упругопластических пластин как макро-, так и наномасштабной структуры. Наличие пористой структуры приводит к образованию начальных прогибов в структуре пластины при наличии влажной среды. Кроме того, учет масштабного параметра длины материала с помощью модифицированной моментной теории повышает несущую способность упругопластических пластин, как пористых, так и твердых, независимо от присутствия влажности. На основе вариационных принципов в совокупности с аппаратом обобщенных функций построена теория колебаний пластин в двумерной постановке (Кирхгофа) для ортотропного, пористого функционально-градиентного материала. Разработаны методики для исследования ПФГМ в рамках гипотезы Кирхгофа с учетом наноэффектов по модифицированной моментной теории Янга. Решение получено методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях и методом конечных разностей второго порядка точности, тем самым обеспечена достоверность получаемых результатов. Выявлено, что при отношении a/h=b/h>50 в расчетах пластинок с присоединенными массами можно ограничиться моделью Кирхгофа. Место приложения присоединенных масс существенно влияет на собственные частоты для макромасштабных и нанопластинок, как для ортотропного материала, так и для ПФГМ. Исследованы вынужденные колебания пластины с присоединенной массой на основе модели Кирхгофа для пористых и функционально-градиентных материалов. Численный эксперимент показал, что амплитуда и низшая собственная частота пластинок с присоединенными массами из функционально-градиентных пористых материалов X-PFGM и U-PFGM имеют одинаковые амплитудно-частотные характеристики. Работа над грантом была освещена в сети интернет: https://www.sstu.ru/obrazovanie/instituty/fti/news/aspirant-kafedry---matematika-i-modelirovanie-vystupil-na-mezhdunarodnoy-innovatsionnoy-konferentsii-v.html https://www.sstu.ru/news/uchenye-kafedry-matematika-i-modelirovanie-prinyali-uchastie-v-rabote-sezda-po-mekhanike.html https://www.sstu.ru/news/grantovyy-proekt-molodykh-uchenykh-matematikov-uspeshno-proshel-ekspertizu.html https://www.sstu.ru/news/kafedra-mim-provela-nauchnyy-seminar-po-matematicheskomu-modelirovaniyu-v-oblasti-meditsiny.html https://dzen.ru/a/ZHRmCZyNd1ch8D5d