Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Предложена Windkessel-модель кровотока в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными по времени и алгоритм численного расчёта гемодинамических параметров с её помощью. Построенная модель использована для формулировки краевых условий в задаче одномерного кровотока, на основе чего разработана модель одномерной коронарной гемодинамики с граничным условием на аорте в виде дробной-производной. Разработан алгоритм персонификации параметров модели коронарного кровотока с дробной производной на основе данных пациента (систолическое, диастолическое и среднее давления, ЧСС, ударный объём). Рассчитаны значения фракционного резерва кровотока на 13-ти стенозах реальных пациентов с использованием разработанной модели. Предложены рекомендации по использованию разработанной модели. Предложена модель одномерного кровотока с дробно-дифференциальной вязкоупругой стенкой. Успешно пройдены верификационные расчеты течения в упругом сосуде (распространение пульсации по длинному сосуду, течение крови в сонной артерии и грудной аорте). Проведены расчеты в рамках тех же самых экспериментов с заменой упругой стенки на вязкоупругую, заданной параметрами из литературы. Замена упругой стенки на вязкоупругую, описываемую дробно-дифференциальным уравнением, в проведенных тестах, привела к заметному изменению диаметра и незначительному изменению потока вдоль всего сосуда. Наблюдаемый эффект введения вызкоупругой стенки не приводит к значимым изменениям таких выходных характеристик экспериментов, как разность давлений, поток и др., непосредственно интересующих исследователей с практической точки зрения. Построена и исследована сеточная аппроксимация одномерной краевой задачи Дирихле для линейного уравнения с дробной производной по времени переменного порядка α(x; t). Использована L1-аппроксимация для дробной производной по времени и стандартная конечно-разностная аппроксимация по пространственной переменной. Доказано существование единственного решения сеточной задачи и установлены априорные оценки в равномерной норме. Полученная априорная оценка для сеточного решения задачи с переменным параметром дробной производной в дальнейшем использована при изучении сеточной схемы, аппроксимирующей задачу с дробной производной, порядок которой α(u(x; t)) является функцией искомого решения u(x; t). В предположении, что производная от α(u) по u достаточно мала, доказана единственность решения дискретной задачи на основе теоремы о сжимающем отображении. При тех же предположениях относительно малости производной от α(u) по u обоснована сходимость итерационного метода решения. Результаты, полученные для линейного уравнения с дробной производной по времени переменного порядка обобщены на случай нелинейного многомерного уравнения. Рассматриваемое уравнение с помощью преобразования Кирхгоффа приведено к виду субдиффузионного уравнения с линейной эллиптической частью и дробной производной по времени от монотонно возрастающей функции, зависящей от искомого решения. Построена сеточная аппроксимация с использованием L1-аппроксимации для дробной производной по времени и P1 конечно-элементной аппроксимации эллиптической части. Теоретически и численно исследована построенная сеточная схема. Приведена оценка точности в предположении существования гладкого решения аппроксимируемой дифференциальной задачи. Априорная оценка для сеточной задачи с дробной производной переменного порядка в дальнейшем используется при исследовании сеточной схемы, аппроксимирующей задачу с дробной производной, зависящей от искомого решения. Проведена серия расчетов для анализа точности сеточных схем и проверки условий сходимости итерационных методов.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Предложена одномерная модель кровотока со стенками сосудов, подчиняющихся дробно-дифференциальному уравнению состояния, была расширена на случай сети сосудов с различными параметрами показателя дробной производной в каждом сосуде. Учет дробно-дифференциального уравнения состояния производился с помощью его преобразования Лапласа, полученные в результате дискретизации интегралы свертки вдоль контуров в комплексной плоскости вычислялись согласно предложенному ранее в литературе экономичному численному методу. Проведена серия численных экспериментов в сетях из 37 и 56 наиболее крупных сосудов человека с использованием реализованной модели и широко используемой в литературе численной модели с материалом стенок сосудов, описываемым законом линейной упругости. Было проведено сравнение результатов численных моделей между собой, а также сравнение с экспериментальными результатами и численными моделями из литературы. В результате сравнения моделей показано, что использование дробно-дифференциального уравнения состояния для стенок мелких сосудов приводит к качественному изменению гемодинамических характеристик, в то время как для крупных сосудов предпочтительнее использовать модель линейной упругости в силу ее более высокой вычислительной эффективности и близости полученных результатов к предложенной новой модели. Предложена и решена рядом методов обратная задача по определению сердечного выброса и показателя дробной производной с помощью известного профиля давления. Точность определения ударного объёма с помощью нейронной сети составила 3%. Точность определения показателя дробной производной составила 1%. Также предложен вариант постановки и решения задачи итерационным методом при определении показателя дробной производной по систолическому, диастолическому и среднему давлений. Для отладки методов использовалась сгенерированная синтетическая база данных пульсовых волн давления, доступная по ссылке: https://disk.yandex.ru/d/rCMDSsilnti10w Поставлена «задача о препятствии» для одномерного уравнения с монотонным оператором квазилинейной диффузии и материальной дробной производной переменного порядка по времени (дробной производной по характеристикам оператора конвекции). Построена и исследована неявная конечно-разностная схема. Сеточная схема формулируется на текущем временном слое в двух формах: как задача дополнительности и как включение, содержащее диагональный многозначный максимальный монотонный оператор. Формулировка включения используется для получения априорных оценок решения в максимум-норме с максимум-нормой для правой части. В свою очередь постановка в виде задачи дополнительности позволяет построить сеточную схему для проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи. Исследуется погрешность аппроксимации сеточной схемы при предполагаемом гладком решении дифференциальной задачи. Из полученных оценок устойчивости и аппроксимации следует оценка точности, которая оказывается такой же, как и в случае соответствующего уравнения с гладким решением.