Аннотация результатов, полученных в 2023 году
п1. Рассмотрены два модельных примера графов с малыми ребрами с оператором Шредингера на нем, для которых можно гарантировать существование собственных значений, убегающих в минус бесконечность, при уменьшении длин малых ребер. Первый пример – простейший оператор Шредингера на графе из двух ребер, одно из которых фиксированной длины, другое малой длины с краевым условием общего вида во внутренней вершине. При определенном подборе коэффициентов в краевом условии во внутренней вершине у такого оператора возникают собственные значения, убегающие в минус бесконечность. Такие собственные значения можно представить как сумму слагаемого вида ε^{-2a}Λ(ε^a), a=1/2 или a=1/3, и экспоненциально малого остатка, где Λ ‒ голоморфная функция. Соответствующие собственные функции локализованы на малом ребре при a=1/2 и на обоих ребрах при a=1/3. Резольвента такого оператора представляется в виде подходящей прямой суммы операторов, соответствующих конечному и малому ребру и каждый из этих операторов голоморфен по ε, что резко контрастирует с дробными степенями в представлениях для собственных значений. п2. В произвольной многомерной области рассматривалась краевая задача Дирихле для слабо нелинейной равномерно эллиптической системы эллиптических уравнений дивергентного типа с существенно ограниченными коэффициентами. Нелинейность содержалась в свободном члене и была слабой. Основная особенность задачи – сингулярное возмущение заданной компоненты границы. Возмущенная граница могла иметь произвольную форму, оставаясь при этом достаточно гладкой, и должна была лежать в тонком слое ширины ε. Было показано, что в такой общей постановке усреднённой будет задача для той же системы, но уже в исходной невозмущённой области. Основной полученный результат – неулучшаемые по порядка оценки W_2^1- и L_2-нормы разности решений возмущённой и усреднённых задач, равномерные по L_2-норме правой части уравнения. п3. Рассмотрены многомерные матричные эллиптические операторы общего вида в частных производных четного порядка 2m с младшими членами, содержащими малые переменные сдвиги, зависящие от многомерного малого параметра. На старшие члены налагалось условие типа неравенства Гординга, коэффициенты предполагались лишь существенно ограниченными. Такие операторы задавались в терминах подходящей замкнутой секториальной формы. Переменные сдвиги предполагались малыми, а именно, сами функции, описывающие сдвиги, и их первые производные, были равномерно ограниченны некоторой малой величиной, зависящей лишь от упомянутого многомерного малого параметра. Рассмотрено четыре основных класса таких операторов в зависимости от выбора области, типа сдвигов и краевых условий. Было показано, что при уменьшении сдвигов рассматриваемые нелокальные операторы сходятся в смысле равномерной резольвентной сходимости к операторам с нулевыми сдвигами, которые уже оказываются классическими дифференциальными операторами. Установлена соответствующая операторная оценка для возмущенных и предельных резольвент, в которой разность этих резольвент оценивается в норме ограниченных операторов, действующих из L_2 в W_2^m. Для возмущенных резольвент и изолированных собственных значений конечной кратности построены ряды теории возмущений. п4. Для уравнения типа Дюффинга с кусочно-постоянными периодическими неоднородностями при линейном и нелинейном членах детально исследован случай, когда доминирует неоднородность при нелинейном члене, неоднородностей равны либо несоизмеримы. Доказано утверждение о кодировке решений, ограниченных заданной константой M, последовательностями символов некоторого конечного алфавита. Число символов N в этом алфавите определяется константой M. Показано, что в этом случае действие отображения монодромии на множество UL+ – множество начальных данных, определяющих решения, не уходящие на бесконечность на промежутке (0;L), где L – период неоднородности – оказывается сопряжено с отображением типа подковы Смейла с N разбиениями. Утверждение доказано при некоторых ограничениях на кусочно-постоянную неоднородность при нелинейном члене. Более общий случай исследовался численно. При заданных неоднородностях строились множества UL+ и UL- и исследовалась их динамика под действием отображения за период. Основной результат здесь состоит в строгой формулировке условий для гиперболического поведения системы, допускающих численную проверку. Для проверки этих условий оказалось эффективным построение множеств UL+ и UL- с использованием графического процессора (GPU) с использованием языка CUDA. п5. Рассмотрены задачи описания типичных (здесь и далее – в смысле теории особенностей дифференцируемых отображений) катастроф решений системы уравнений течения одномерного изоэнтропического газа для двух функций давления: p=const+p_0ρ_0/ρ и p=const-p_0ρ_0/ρ. Для случая p=const-p_0ρ_0/ρ, который наряду со случаем Бехертом-Станюковича, нарушает определенное требование на собственные значения гиперболической квазилинейной системы (еще более сильное, чем условие сильной нелинейности), проведено исследование в терминах инвариантов Римана. Описана особенность типа сечения сборки в терминах канонического уравнения данной катастрофы. Его решения в главном порядке задают решения исходной системы. Также описана особенность типа сечения гиперболической омбилики. Она не обладает специфическими особенностями по сравнению с более общим случаем. Установлено, что решениям первого, эллиптического случая p=const+p_0ρ_0/ρ не может соответствовать особенность типа сборки, а соответствует только особенность омбилического типа. Описан несколько иным методом росток особенности типа сечения эллиптической омбилики для общего случая p=p(ρ) с подходящими условиями на производную этой функции. В частном случае p=const+p_0ρ_0/ρ специфических отличий от общего случая не установлено. Для случая Бехерта-Станюковича, отвечающего давлению p=a^2ρ^3, описана особенность типа сечения гиперболической омбилики. Установлен значительно более простой характер возмущения ростка по сравнению с общим случаем и случаем Чаплыгина в силу отсутствия квадратичного слагаемого. п6. Описаны возможные долговременные асимптотические режимы для решений нелинейных осциллирующих систем на плоскости с затухающими нерезонансными возмущениями, не исчезающими в равновесии. Показано, что при определенных ограничениях на параметры возмущений возмущенная асимптотически автономная система может вести себя также как и соответствующая предельная система в окрестности равновесия. Найдены условия, при которых возникают новые устойчивые режимы, связанные с решениями соответствующей усеченной системы. Доказано, что в возмущенной системе могут возникать экспоненциально или полиноминально устойчивые решения с амплитудой, стремящейся к нулю или к постоянной, отличной от нуля. Показано, что нерезонансные возмущения могут приводить к неустойчивости, при которой возмущенные траектории покидают окрестность равновесия. Полученные результаты указывают на возможность использования затухающих возмущений для управления динамикой нелинейных осциллирующих систем. п7. В связи с исследованиями в п. 3 рассматривалась задача об операторе Шредингера на плоскости с комплексным потенциалом с малым сдвигом. Потенциал имел вид V(y+iεη(x)), где V ‒ заданная функция, аналитичная в полосе вдоль вещественной оси и вещественная на данной оси, η ‒ вещественная функция, экспоненциально убывающая на бесконечности, ε ‒ малый положительный параметр. Существенный спектр такого оператора содержит вложенные пороги, которые являются собственными значениями одномерного оператора Шредингера на оси с потенциалом V(y). Изучен эффект бифуркации таких порогов в собственные значения и резонансы при малых ε. Вычислены первые члены асимптотических разложений возникающих спектральных объектов, приведены достаточные условия, позволяющие определить тип возникающего спектрального объекта.