КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 23-11-20020

НазваниеЗадачи управления и оптимизации для вольтерровых систем: методы исследования, алгоритмы решения, приложения в интеллектуальных технологиях и в управлении социально-экономическими процессами

РуководительСумин Михаил Иосифович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина", Тамбовская обл

Период выполнения при поддержке РНФ

2023 г. - 2025 г.

Конкурс№77 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (региональный конкурс).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые словазадача управления, оптимизация, регуляризация условий оптимальности, вольтеррово уравнение, дифференциальное уравнение, краевая задача, модель нейронной системы, популяционные модели

Код ГРНТИ27.47.15; 27.33.19; 27.35.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Проект направлен на развитие теории, методов решения задач управления и оптимизации линейных и нелинейных вольтерровых систем с различного вида управляющими воздействиями и ограничениями; исследование на этой основе моделей нейронных систем (построенных на основе принципов работы мозга), моделей динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, задач управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов (на примере задачи борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур в закрытых грунтах). Для достижения этих научных целей в проекте рассматриваются следующие четыре взаимосвязанные задачи: I. Исследование вопросов существования и свойств решений вольтеррова операторного уравнения и конкретных классов функциональных, дифференциальных и интегральных уравнений; II. Регуляризация классических условий оптимальности (КУО) и развитие метода вольтерровых функционально-операторных уравнений; III. Разработка оптимизационных стратегий глобализации сходимости метода Левенберга-Марквардта и метода Ньютона с подзадачами линейного программирования; IV. Исследование моделей нейронных систем (построенных на основе принципов работы мозга), моделей динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, задач управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов. Планируемые в проекте результаты исследования поставленных задач будут новыми, опережающими мировой уровень исследований по данным направлениям. Научная значимость проекта обусловлена особой ролью, которую играют вольтерровы уравнения и связанные с ними задачи управления и оптимизации в многочисленных областях знаний как фундаментального, так и прикладного характера. Такими уравнениями описывается динамика большинства процессов и явлений. На основе планируемых результатов о вольтерровых уравнениях будут изучены функциональные уравнения с отклоняющимся аргументом, интегральные и дифференциальных уравнений неявного вида, будут исследованы вопросы существования и свойства рещений краевых задач и задач управления, предложены алгоритмы приближенного решения. Востребованным и актуальным направлением Проекта является разработка и исследование эффективности алгоритмов решения выпуклых и нелинейных (вообще говоря, невыпуклых) задач оптимизации и оптимального управления, основанных на регуляризации КУО, которым от природы присущи свойства некорректности. Регуляризация позволяет естественным образом трансформировать КУО в регуляризирующие алгоритмы и тем самым существенно расширить основанную на привычных конструкциях функций Лагранжа и Гамильтона-Понтрягина сферу их действия. Прикладную значимость будет также иметь предлагаемая в проекте разработка эффективных численных методов решения задач оптимизации с возможно неизолированными прямодвойственными решениями, основанных на оптимизационных стратегиях глобализации сходимости стабилизированных методов решения вариационных задач. Актуальность решения задач Проекта подтверждается их приложениями к моделям нейронных систем, к моделям динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, к задачам управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов (на примере задачи борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур в закрытых грунтах). Для перечисленных математических моделей в Проекте будут исследованы вопросы корректности, адекватности, оптимального определения параметров, будут предложены алгоритмы численного решения.

Ожидаемые результаты
Для достижения поставленных научных целей в Проекте будут проведены исследования по следующим направлениям: I. Исследование вопросов существования и свойств решений вольтеррова операторного уравнения и конкретных классов функциональных, дифференциальных и интегральных уравнений; II. Регуляризация классических условий оптимальности (КУО) и развитие метода вольтерровых функционально-операторных уравнений; III. Разработка оптимизационных стратегий глобализации сходимости метода Левенберга-Марквардта (ЛМ) и метода Ньютона с подзадачами линейного программирования (ЛПН); IV. Исследование математических моделей нейронных систем (построенных на основе принципов работы мозга), математических моделей динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, задач управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов (на примере задачи борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур в закрытых грунтах). По направлению I будут получены следующие основные результаты. Будет исследовано уравнение F(x)=y в предположении, что действующее из нормированного пространства X в нормированное пространство Y отображение F представимо в виде F(x)=G(x,x), где отображение G регулярно по первому аргументу. По второму аргументу это отображение рассматривается как возмущение регулярного отображения первого аргумента. Будут рассмотрены две ситуации: F по второму аргументу липшицево и F по второму аргументу вполне непрерывно. Будут получены: достаточные условия существования решения, сходимости к решению итераций, теоремы о топологических свойствах множества решений, оценка отклонения решения от заданного элемента. В случае, когда в нормированных пространствах X и Y заданы конусы и определены соответствующие отношения частичного порядка, будет получена теорема сравнения решений операторного уравнения F(x)= y и неравенства F(u) \geq y. Будет исследовано уравнение вида \Psi(x)+\Phi(x)=y, полученное возмущением уравнения \Psi(x)=0, \Psi:X\to Y, решение которого x=x_0 известно. Будут получены условия разрешимости возмущенного уравнения при любых достаточно малых возмущениях \Phi:X\to Y и y\in Y в окрестности заданной точки x_0, остающихся содержательными в случае вырождения конечного числа производных отображения \Psi в точке x_0. Будет исследована задача оптимизации с ограничением F(x)=y, где F X\to Y и y\in Y Планируется получение достаточных условий непрерывности значения минимума (инфимума) от правой части ограничений. Будут выделены те из полученных в проекте утверждений об уравнении F(x)=y с оператором F, действующим из нормированного пространства X в нормированное пространство Y, которые остаются справедливыми в случае, когда X и Y являются обобщенно метрическими пространствами. Планируется исследовать вопрос о приближении гладкими отображениями накрывающих непрерывных отображений конечномерных пространств. Будет показано, что существуют непрерывные накрывающие отображения, для которых любая последовательность гладких приближений не имеет общей константы накрывания. В терминах обобщенного якобиана для локально липшицевых накрывающих отображений будут получены достаточные условия существования сглаживающих последовательностей, сохраняющих свойство накрывания. В качестве следствия из полученных теорем о сглаживании накрывающих отображений будут получены утверждения о разрешимости широкого класса функциональных уравнений, порожденных нелинейными суперпозиционными операторами. Будет исследовано уравнение F(x)=y, в ситуации, когда действующее из нормированного пространства X в нормированное пространство Y отображение F является абстрактным вольтерровым отображением. Будут получены: достаточные условия существования локальных решений и их продолжаемости, существования глобальных и предельно продолженных решений, теоремы о топологических свойствах множества решений, оценка отклонения решения от заданного элемента. В случае, когда в нормированных пространствах X и Y заданы конусы и определены соответствующие отношения частичного порядка, будет получена теорема сравнения решений вольтеррова операторного уравнения F(x)=y и вольтеррова неравенства F(u) \geq y. Будет предложен алгоритм нахождения решений вольтерровых неравенств. Научная значимость результатов Проекта об уравнении F(x)=y обусловлена прежде всего той ролью, которую играют вольтерровы уравнения и связанные с ними задачи управления и оптимизации в самых различных областях знаний как фундаментального, так и прикладного характера. Описание динамики различных процессов и явлений, как правило, приводит к уравнениям с вольтерровыми отображениями. Предлагаемые в Проекте естественные трактовки свойства обобщенной вольтерровости и результаты анализа таких операторов основаны на новых разрабатываемых в проекте методах анализа (не сводящихся к стандартным схемам, использующим классические результаты о неподвижных точках, о неявной и обратной функции), будут принципиально новыми, опережающими мировой уровень исследований. Эти результаты будут применимы к различным классам и линейных, и нелинейных функциональных уравнений, возникающих в теоретических и прикладных задачах. Будет исследовано функциональное уравнение F(t,x(t),x(h(t)))=0, t\in [0,T] с запаздывающим аргументом h(t) \leq t в пространстве измеримых функций. Будут получены: достаточные условия существования и продолжаемости локальных решений, оценка отклонения значений решения x(t) от значений заданной функции x_0(t), теорема сравнения решений рассматриваемого уравнения и соответствующего неравенства F(t,u(t),u(h(t))) \geq 0, t\in [0,T]. Будут исследованы интегральные уравнения F(t,x(t),\int_0^t K(t,s)g(s,x(s)) ds)=0, t\in [0,T] (относительно неизвестной функции x(t)), и F(t,u,x(t,u), \int_U \int_0^t K(t,s,u,v)g(s,v,x(s,v)) ds dv)=0, t\in [0,T], u\in U\subset R^n (относительно неизвестной функции x(t,u)), в классе непрерывных и в классе суммируемых функций. Будут получены: достаточные условия существования и продолжаемости локальных решений, алгоритм построения приближенных решений, оценка отклонения значений решения от значений заданной функции, теорема сравнения решений рассматриваемого уравнения и соответствующего интегрального неравенства. Будет исследована краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения F(t,x,x')=0 с краевым условием \phi x=c, определяемым линейным ограниченным функционалом \phi на пространстве абсолютно непрерывных функций. Будут получены: достаточные условия существования решений, алгоритм построения приближенного решения, оценки отклонения значений решения от значений заданной абсолютно непрерывной функции, теорема сравнения решений рассматриваемой краевой задачи с решениями системы неравенств F(t,u(t),u'(t))\geq 0, \phi u\geq c. Для антипериодической краевой задачи F(t,x,x')=0, x(0)+x(1)=0, будет доказано, что 1) если отображение F является достаточно гладким по совокупности переменных, производная отображения F по переменной x' удовлетворяет условиям невырожденности и существует функция v(t), для которой функция F(t,v(t),v'(t)) достаточно мала, то рассматриваемая краевая задача имеет непрерывно дифференцируемое решение; 2) если отображение F удовлетворяет условиям Каратеодори, равномерно невырождено по переменной x', и существует абсолютно непрерывная функция v(t), для которой значение |v(0)+v(1)| достаточно мало, то рассматриваемая краевая задача имеет абсолютно непрерывное решение. Для неявного дифференциального уравнения F(t,x,x',u)=0 с начальным условием x(0)=c_0 будет исследована задача управления при ограничениях на управления u(t)\in U(t), состоящая в достижении краевого условия \phi x=c_1 (\phi – линейный ограниченный функционал на пространстве абсолютно непрерывных функций). Будут получены: достаточные условия существования решений, теоремы о топологических свойствах множества решений, оценки решений и соответствующих управлений, теорема сравнения решений задачи управления с решениями задачи, в которой уравнения заменены неравенствами. Будет рассмотрена задача оптимального управления для неявного дифференциального уравнения. Будут получены: достаточные условия существования оптимального решения, его оценки, теорема сравнения оптимальных решений задачи управления с оптимальными решениями задачи, в которой уравнения заменены неравенствами. Исследуемые в Проекте классы функциональных, интегральных, дифференциальных уравнений широко используются для описания неголономных механических систем, электрических колебательных контуров, процесса установления термодинамического равновесия и др. Такие уравнения доставляют серьезные сложности при исследовании, которые еще увеличиваются, если порождающая уравнение функция не является гладкой или непрерывной, а, например, удовлетворяет условиям Каратеодори (естественным, например, для задач управления). К таким уравнениям не удается применить многие методы анализа, связанные с результатами о неподвижной точке, о неявной и обратной функции. Результаты о разрешимости таких уравнений и о свойствах решений в современной литературе практически отсутствуют. Ожидаемые в данном направлении результаты будут опережать мировой уровень исследований. По направлению II будут получены следующие основные результаты. Будут получены регуляризованные классические условия оптимальности (КУО) – регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в следующих задачах оптимального управления: 1) в выпуклых задачах оптимального управления для рассматриваемого класса вольтерровых систем с функциональными ограничениями, 2) в выпуклых задачах оптимального управления для рассматриваемого класса вольтерровых систем с операторными (т.е. задаваемыми операторами с бесконечномерными образами) ограничениями, 3) в параметрических (т.е. зависящих от параметров) нелинейных задачах оптимального управления для рассматриваемого класса вольтерровых систем с функциональными и операторными ограничениями в предположениях непустоты проксимального субградиента, субдифференциала Фреше, полунепрерывных снизу функций значений (как функций параметров) рассматриваемых оптимизационных задач. Будут доказаны теоремы сходимости регуляризованных КУО. Результаты о регуляризованных КУО позволят «преодолеть» свойственную их классическим аналогам и определяемую «внутренними» свойствами оптимизационной задачи некорректность и, таким образом, станут теоретической основой для конструирования устойчивых к ошибкам исходных данных численных алгоритмов, нацеленных на практическое решение конкретных задач оптимального управления. В научной литературе нет аналогов ожидаемых в этом направлении результатов Проекта. По направлению III будут получены следующие основные результаты. Будут разработаны эффективные оптимизационные стратегии глобализации сходимости метода Левенберга-Марквардта и метода Ньютона с подзадачами линейного программирования для следующих отимизационных задач: 1) для задач безусловной оптимизации; 2) для задач оптимизации с ограничениями-равенствами; 3) для задач оптимизации с ограничениями-равенствами и неравенствами. Во всех случаях будут теоретически обоснованы глобальная сходимость и сверхлинейная скорость сходимости предлагаемых алгоритмов, проведено их численное тестирование. Данные результаты решают чрезвычайно актуальную проблему разработки стратегий глобализации сходимости стабилизированных методов решения вариационных задач, ориентированных на поиск максимумов и минимумов, а не просто стационарных точек задачи оптимизации, и при этом асимптотически наследующих сильные свойства локальной сходимости указанных методов. По направлению IV будут получены следующие основные результаты. Будут уточнены существующие и разработаны новые математические модели электрической активности головного мозга на основе интегро-дифференциальных и интегральных уравнений Вольтерры. Будут получены утверждения о разрешимости соответствующих модельных уравнений и непрерывной зависимости решений от параметров моделей. Будут исследованы свойства решений, которые могут быть использованы для позиционирования эпицентров электрической активности волновой природы в коре головного мозга по данным ЭЭГ и МЭГ. Будут получены обобщения модели Амари нейронного поля, учитывающие функциональную микроструктуру коры головного мозга, формализуемые интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерры-Гаммерштейна с периодической неоднородностью по пространственной переменной. Будет проведено исследование решений, формализующих динамическую связку областей покоя и областей активности нейронной среды, оценены типичные скорости процессов активизации различных участков коры головного мозга (на основании экспериментальных данных ЭЭГ и МЭГ). На основании анализа данных ЭЭГ, МЭГ будут исследованы задачи оптимального восстановления функциональных параметров нейронной среды: силы и протяженность межнейронных взаимодействий, пороги активации нейронов и микродинамика их изменения в различных полях коры головного мозга и при различных условиях (например, в состоянии покоя, при наличии различных внешних стимулов, выполнении задач). На этой основе будут исследованы и детально классифицированы различные типы спонтанной и вызванной активности мозга по наблюдаемым картинам ЭЭГ и МЭГ. В отличие от большинства исследований, использующих дискретные модели больших ансамблей нейронных элементов и сталкивающихся с проблемами систем большой размерности, настоящий Проект предлагает моделирование больших ансамблей нейронных элементов при помощи уравнений Вольтерры-Гаммерштейна с непрерывной пространственной средой. Этот новый подход на основе разрабатываемых в рамках Проекта методов оптимизации позволит решить актуальные задачи оптимального восстановления параметров нейронной среды, оценка которых в настоящее время частично доступна только локально, при имплантации микроэлектродных массивов, по данным, полученным с помощью неинвазивных методик. Результаты исследования математических моделей нейронных систем в Проекте, построенных с учётом структуры неокортекса и принципов организации фундаментальных взаимодействий в человеческом мозге, могут быть использованы в разработке продвинутых систем искусственного интеллекта. Будет построена математическая модель, формализующая комплексные взаимодействия растительной биомассы, насекомого-вредителя и энтомофага в замкнутой тепличной системе при помощи функционально-дифференциального уравнения Вольтерры с импульсными воздействиями. Будут исследованы свойства локальных и глобальных решений полученной системы, их непрерывная зависимость от используемых в моделировании параметров. Для системы, описывающей взаимодействие растительной биомассы, насекомого-вредителя и энтомофага в тепличной системе будут исследованы задачи локальной и глобальной управляемости при рассмотрении вносимого в тепличную систему энтомофага в качестве управляющего воздействия. На основании регуляризованных классических условий оптимальности для нелинейных невыпуклых оптимизационных задач, порожденных популяционными моделями с импульсными воздействиями, будут изучены задачи минимизации численности насекомых-вредителей в тепличных системах. Изучению задач управления динамикой популяций биологических сообществ посвящены многочисленные исследования. Интерес к таким задачам вызван с одной стороны, поиском повышения эффективности сельскохозяйственных технологий, а с другой стороны – проблемами экологии и защиты окружающей среды. Для многочисленных популяций (в частности, популяций вредоносных организмов) детерминированные модели приводят к системам большой размерности, исследование и численное решение которых представляет большие сложности. Для таких популяций более удобными и адекватными являются предлагаемые и исследуемые в Проекте непрерывные модели на основе вольтерровых функционально-дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями. Ожидаемые в этом направлении результаты будут новыми, имеющими несомненную теоретическую прикладную значимость. Будет получена вольтеррова функционально-дифференциальная модель динамики развития эпидемий, учитывающая путем введения соответствующих параметров особенности конкретных заболеваний. Будет определен набор значений параметров, при которых модель описывает развитие заболеваемости ВИЧ/СПИД, а также определен набор значений параметров, при которых модель описывает развитие заболеваемости COVID-19. Будут рассмотрены вопросы положительной разрешимости моделей, корректности, найдены стационарные режимы, будет исследована зависимость решений от параметров, получены алгоритмы численного решения и проведены вычислительные эксперименты. Предлагаемое описание динамики эпидемий является новым, рассматриваемые модели позволяют более полно, чем известные дифференциальные модели, учесть многочисленные факторы и дать более точный прогноз уровня заболеваемости.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---