КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 23-21-00080

НазваниеРазвитие геометрических методов оценки энергетических уровней квантового биллиарда

РуководительПчелинцев Валерий Анатольевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет", Томская обл

Период выполнения при поддержке РНФ 2023 г. - 2024 г. 

Конкурс№78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика

Ключевые словаКвантовый биллиард, уравнение Шредингера, оператор Лапласа, краевая задача Дирихле, конформное отображение, квазиконформное отображение

Код ГРНТИ27.35.57

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен развитию геометрических методов нахождения нижних и верхних оценок для энергетических уровней квантового биллиарда с границами из широкого класса областей. Актуальность проблемы связана, с одной стороны, с тем, что модель квантового биллиарда представляет интерес для таких направлений как геометрическая оптика, акустика, физика лазеров, наноматериалов и полупроводников. С другой стороны, точные значения энергетических уровней исследуемой модели могут быть получены для таких областей как круг, прямоугольник, равносторонний треугольник и некоторых других. Для остальных областей энергию основного состояния можно пытаться оценить при помощи классической оценки Рэлея-Фабера-Крана. В свою очередь, для оценки энергии возбужденных состояний требуется развитие новых методов, в том числе и геометрических.

Ожидаемые результаты
Планируется, что по завершении проекта будут достигнуты следующие результаты: 1. Будет развит геометрический метод нахождения нижней и верхней оценок энергетических уровней квантового биллиарда для широкого класса областей. 2. При помощи разработанного метода будут найдены нижние и верхние оценки энергетических уровней квантового биллиарда для конкретных областей, представляющих физический и/или математический интерес. 3. При помощи разработанного метода будет рассмотрен вопрос устойчивости энергетических уровней квантового биллиарда относительно деформации его области. Запланированные результаты являются новыми, соответствующими мировому уровню, развивающими современное представление о квантовом биллиарде. Планируется, что основные результаты проекта будут опубликованы в высокорейтинговых журналах по математической физике.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В отчетном периоде в проекте проводились исследования, посвященные энергетическому спектру квантового биллиарда для конформных регулярных областей. Класс конформных регулярных областей включает все липшицевы области, области типа Альфорса. Хаусдорфова размерность границ конформных регулярных областей может быть любым числом в промежутке [1, 2). Для получения оценок энергетических уровней квантового биллиарда для этого класса областей в проекте были предложены методы, основанные на геометрической теории операторов композиции в пространствах Соболева и теории конформных отображений. На этом пути получены нижние оценки основного состояния квантового биллиарда для класса конформных регулярных областей. Уточнены эти оценки для выпуклых областей в терминах внешнего и внутреннего радиусов области, а также радиуса кривизны ее границы. Получена нижняя оценка разности между возбужденным и основным состояниями квантового биллиарда для класса выпуклых областей. В проекте также исследовалась спектральная (p,q)-задача для нелинейного оператора p-Лапласа с краевым условием Неймана в пространственных областях с анизотопными гёльдеровыми особенностями. Метод исследования этой задачи основан на теории операторах композиции в пространствах Соболева, порожденных (p,s)-квазиконформными отображениями и теоремах вложения типа Соболева. На этом пути установлен принцип минимакса для первого нетривиального собственного числа (p,q)-задачи для нелинейного оператора p-Лапласа с краевым условием Неймана в областях с анизотопными гёльдеровыми особенностями. Получены нижние оценки для первого нетривиального числа (p,q)-задачи Неймана для нелинейного оператора p-Лапласа в областях с анизотропными гельдеровыми особенностями. В случае q=2, установлены результаты о регулярности собственных функций данной задачи. Ссылки на информационные ресурсы в сети Интернет, посвященные проекту: https://news.tsu.ru/news/v-tgu-sozdadut-novyy-metod-otsenki-energeticheskogo-spektra-kvantovogo-billiarda/ https://arxiv.org/pdf/2301.11037.pdf https://vvmsh.math-vsu.ru/files/vvmsh2023-program.pdf https://hca2023.math.biu.ac.il https://www.mathnet.ru/ConfLogos/2256/2256-Program.pdf https://conference.math.tsu.ru/Content/Doc/Programm2023.pdf https://indico.eimi.ru/event/1405/timetable/

 

Публикации

1. Гараин П., Пчелинцев В.А., Ухлов А.Д. On the Neumann (p,q)-eigenvalue problem in Hölder singular domains Cornell University, P. 1-15 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.48550/arXiv.2301.11037

2. Колесников И.А., Пчелинцев В.А. Spectral estimates of the Dirichlet-Laplace operator in conformal regular domains Journal of Mathematical Sciences, - (год публикации - 2024)

3. Колесников И.А. V.V. Chernikov's method for investigating functionals on the class of conformal univalent mappings Издательство СПбГУ, Санкт-Петербург, Abstracts of the conference Discrete and Continuous Signals: Analysis, Information and Applications, 11-16 December 2023, p. 12. (год публикации - 2023)

4. Пчелинцев В.А. On the Neumann (p,q)-eigenvalue problem in rough domains Издательский дом ВГУ, Воронеж, Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа, 3-9 мая 2023, стр. 469-470 (год публикации - 2023)

5. Пчелинцев В.А. Spectral stability estimates for the Dirichlet-Laplacian Bar-Ilan University, Ramat Gan, Israel, Abstracts of the International conference: Harmonic and Complex Analysis: modern and classical dedicated to the memory of Professor Lawrence Zalcman, 18-23 June 2023, p. 15 (год публикации - 2023)

6. Пчелинцев В.А. On estimates for the energy levels of a quantum billiard Общество с ограниченной ответственностью «МЕСОЛ», Москва, III International Conference “Mathematical Physics, Dynamical Systems, Infinite-Dimensional Analysis”, dedicated to the 100th anniversary of V.S. Vladimirov, the 100th anniversary of L.D. Kudryavtsev and the 85th anniversary of O.G. Smolyanov, p. 170 (год публикации - 2023)

7. Пчелинцев В.А. The spectral properties of quantum billiards Общество с ограниченной ответственностью "СТТ", Томск, Сборник материалов Всероссийской конференции по математике и механике, 2-5 октября 2023, стр. 283-284 (год публикации - 2023)

8. Пчелинцев В.А. Conformal spectral estimates of the Dirichlet-Laplacian Издательство СПбГУ, Санкт-Петербург, Abstracts of the conference Discrete and Continuous Signals: Analysis, Information and Applications, 11-16 December 2023, p. 12. (год публикации - 2023)

9. - В ТГУ создают новый метод оценки энергетического спектра квантового биллиарда Сайт Томского государственного университета, - (год публикации - )