КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 23-21-00091

НазваниеРазрешимость и качественное поведение решений моделей Кельвина-Фойгта с учётом памяти вдоль траекторий движения жидкости

РуководительТурбин Михаил Вячеславович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Воронежский государственный университет", Воронежская обл

Период выполнения при поддержке РНФ

2023 г. - 2024 г.

Конкурс№78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными

Ключевые словаНеньютоновская жидкость, модель Кельвина-Фойгта, жидкость с памятью вдоль траекторий движения, регулярные лагранжевы потоки, начально-краевая задача, слабое решение, аппроксимационно-топологический подход, качественное поведение решений

Код ГРНТИ27.35.21

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Проект направлен на исследование разрешимости и качественного поведения решений для математических моделей Кельвина-Фойгта с учётом памяти вдоль траекторий движения жидкости. А именно, предполагается исследовать модели Кельвина-Фойгта произвольного конечного порядка с субстанциональной производной по времени. Для этих моделей планируется доказать теоремы существования слабых решений как для самой модели, так и для одной её модификации и исследовать предельное поведение решений (аттракторы) рассматриваемых задач в автономном и неавтономном случаях. В настоящее время имеется достаточно большое число работ по разрешимости и качественному поведению решений задач для моделей Кельвина-Фойгта (отметим, что в англоязычной литературе эти модели часто называют моделями Навье-Стокса-Фойгта). При этом начально-краевые задачи для моделей Кельвина-Фойгта с интегралом вдоль траекторий движения жидкости до сих пор не исследованы. Вместе с тем стоит отметить, что именно модели с памятью вдоль траекторий имеют физический смысл. При исследовании моделей Кельвина-Фойгта с частной производной по времени также возникет интегральный член, отвечающий за память жидкости. Но в этом случае интеграл берётся вдоль постоянной прямой, не имеющей никакого отношения к рассматриваемой жидкости. Основной проблемой при исследовании рассматриваемых в проекте моделей является недостаточная гладкость поля скоростей, не обеспечивающая однозначной разрешимости уравнения для определения траекторий движения жидкости. Имеющиеся сложности предполагается преодолеть при помощи аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики и теории регулярных лагранжевых потоков. Актуальность тематики проекта обусловлена оригинальностью методов исследования, а также предполагаемыми в дальнейшем приложениями в химии полимеров, механике, медицине и многих других разделах естествознания. Научная значимость обусловлена своеобразием и трудностью решаемых задач и последующем применением полученных результатов к решению широкого круга новых задач.

Ожидаемые результаты
За время выполнения проекта планируется получение следующих научных результатов: 1. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта с учётом памяти вдоль траекторий движения жидкости. 2. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для модифицированной модели Кельвина-Фойгта при наличии памяти вдоль траекторий движения жидкости. 3. Теоремы существования траекторных и глобальных аттракторов в автономном случае и равномерных траекторных и равномерных глобальных аттракторов в неавтономном случае для модели Кельвина-Фойгта с учётом памяти вдоль траекторий движения жидкости. 4. Теоремы существования траекторных и глобальных аттракторов в автономном случае и равномерных траекторных и равномерных глобальных аттракторов в неавтономном случае для модифицированной модели Кельвина-Фойгта при наличии памяти вдоль траекторий движения жидкости. Принципиальным отличием предполагаемых к получению результатов от имеющихся на данный момент является наличие памяти вдоль траекторий движения жидкости в постановках рассматриваемых задач. В данный момент модели Кельвина-Фойгта вызывают интерес, что подкрепляется достаточно большим количеством статей по исследованию их разрешимости и качественного поведения решений. При этом в имеющихся на данный момент статьях рассматривается упрощённая версия этих моделей с частной производной по времени в реологическом соотношении. Соответственно, при выражении девиатора тензора напряжений из реологического соотношения получается выражение, содержащее интегральный член, отвечающий за память. Но этот интеграл на самом деле не учитывает траекторий движения жидкости. Чтобы учесть все эффекты, необходимо рассмотреть реологическое соотношение не с частной, а с субстанциональной производной по времени. Тогда, при выражении девиатора тензора напряжений получается интегральный член вдоль траекторий движения среды. Именно на подобные задачи и направлен проект, реализация которого позволит исследовать ряд новых и нерешённых на данный момент задач, разработать подходы, которые в дальнейшем могут быть использованы для решения широкого круга задач для рассматриваемых моделей (в том числе и для моделей неоднородных и сжимаемых жидкостей). Все запланированные в проекте результаты являются принципиально новыми и неизвестными на данный момент. Они представляют как самостоятельный интерес, так и могут быть использованы в дальнейшем при решении новых классов задач. При этом, несмотря на чисто теоретический характер, данные результаты имеют широкое применение в полимерной промышленности, химии, биологии (движение крови, различных ликворов). Также отметим использование подобных результатов в технологических процессах, в частности, при разработке новых технологий нефтедобычи и т.д.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---