КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 23-21-00472
НазваниеГоренштейновы алгебры и аддитивные действия на гиперповерхностях
РуководительАржанцев Иван Владимирович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2023 г. - 2024 г. |
Конкурс№78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые словаалгебраическое многообразие, алгебраическая группа, аддитивное действие, унипотентная группа, горенштейнова алгебра
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Аддитивным действием на алгебраическом многообразии называется эффективное действие с открытой орбитой коммутативной унипотентной группы. Другими словами, рассматривается эквивариантное пополнение аффинного пространства, то есть аффинное пространство как векторная группа вкладывается в качестве открытого подмножества в алгебраическое многообразие таким образом, чтобы действие векторной группы на себе левыми сдвигами продолжалось до регулярного действия на всем многообразии. Этот случай в некотором смысле противоположен наиболее развитым случаям действия тора и других редуктивных групп с открытой орбитой (торические многообразия, редуктивные моноиды, сферические многообразия, вложения однородных пространств сложности один).
В рамках работы над проектом “Аддитивные действия на полных алгебраических многообразиях и их обобщения”, поддержанным грантом РНФ 19-11-00172, который в настоящее время успешно завершен, мы обязались подготовить подробный обзор об аддитивных действиях на полных многообразиях. В настоящее время обзор (I.Arzhantsev and Yu.Zaitseva. Equivariant completions of affine spaces, 68 pages) завершен, принят в печать и будет опубликован в 4-м номере УМН этого года (arxiv:2008.09828). Вторая глава этого обзора содержит оригинальные результаты, обобщающие соответствие Хассетта-Чинкеля на случай аддитивных действий на проективных гиперповерхностях. В частности, нам удалось доказать, что невырожденные проективные гиперповерхности с аддитивным действием соответствуют горенштейновым локальным артиновым алгебрам. Этот результат позволил обобщить теорему Шаройко о единственности аддитивного действия на гладкой проективной квадрике. Оказалось, что на любой невырожденной проективной гиперповерхности существует не более одного аддитивного действия (теорема 2.32). Мы уверены, что это лишь первый из серии замечательных результатов, которые можно получить на этом пути, и данный проект полностью посвящен развитию этой темы.
Среди множества структурных и классификационных результатов о локальных артиновых алгебрах случай горенштейновых алгебр занимает особое место. В рамках данного проекта мы планируем изучать все известные факты о горенштейновых алгебрах и проинтерпретировать их в терминах аддитивных действий на невырожденных проективных гиперповерхностях. Есть основания ожидать, что уже простой перевод известных фактов с одного языка на другой может привести к интересным результатам, а дальнейшее развитие техники Хассета-Чинкеля позволит существенно продвинуться и в изучении аддитивных действий, и в структурной теории горенштейновых алгебр.
Ожидаемые результаты
В рамках работ по гранту группа планирует заниматься несколькими конкретными задачами об аддитивных действиях на проективных гиперповерхностях, направленными на развитие техники Хассетта-Чинкеля. Планируется установить связь между индуцированными и произвольными аддитивными действиями на проективных гиперповерхностях, в частности, изучить вопрос о возможности получить любое не индуцированное аддитивное действие на проективном подмногообразии проекцией вдоль подпространства индуцированного аддитивного действия на линейно нормальном вложении этого многообразия в большее проективное пространство. Исследуемое обобщение соответствия Хассетта-Чинкеля об аддитивных действиях на проективных гиперповерхностях будет уточнено для изучения свойств гиперповерхностей, допускающих аддитивное действие. Например, планируется установить зависимость или независимость гиперповерхности от выбора подпространства в максимальном идеале соответствующей действию локальной алгебры. Интересной задачей является изучение свойств уравнений, задающих проективные подмногообразия и гиперповерхности, допускающие аддитивное действие. В частности, наш коллектив планирует находить канонические виды уравнения такой гиперповерхности в общем или конкретных частных случаях. Исследование планируется начать с экстремальных случаев (гиперповерхности высоких и малых степеней, невырожденные гиперповерхности или гиперповерхности с большим ядром соответствующей полилинейной формы). Планируется изучить конструкцию, сводящую произвольную пару из локальной конечномерной алгебры и подпространства её максимального идеала к экстремальному случаю невырожденной гиперповерхности и горенштейновой алгебры – для этого может быть использована факторизация по максимальному идеалу, содержащемуся в подпространстве. Данные результаты позволят развить и систематизировать уже известные факты об аддитивных действиях и откроют новые области применения таких действий. Все перечисленные задачи и ожидаемые результаты относятся к актуальным разделам алгебраической геометрии и теории групп преобразований. Продвижения по заявленным направлениям должны привести к значительному прогрессу в понимании устройства изучаемых математических объектов, что в свою очередь будет способствовать решению прикладных задач и расширять вычислительные возможности современной математической науки.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Наш проект посвящён изучению аддитивных действий на алгебраических многообразиях над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль. Аддитивным действием на алгебраическом многообразии называется эффективное регулярное действие коммутативной унипотентной алгебраической группы с открытой орбитой. В ситуации, когда многообразие является замкнутым подмногообразием в некотором проективном пространстве, нас интересуют индуцированные аддитивные действия, то есть аддитивные действия, продолжающиеся до регулярного действия на объемлющем проективном пространстве. Одним из основных инструментов исследования является применение обобщённого соответствия Хассетта-Чинкеля, устанавливающего естественную биекцию между классами эквивалентности индуцированных аддитивных действий на замкнутом подмногообразии размерности k в n-мерном проективном пространстве и классами изоморфизма так называемых H-пар (A, U), где A ─ локальная конечномерная коммутативная ассоциативная алгебра с единицей размерности n + 1, а U ─ подпространство размерности k в максимальном идеале m, порождающее A как алгебру с единицей.
При поддержке гранта в 2023-м году была подготовлена к публикации и опубликована 1 статья, а также подготовлена и подана в журнал еще 1 статья. Обе работы опубликованы в архиве Корнельского университета (arxiv.org).
В рамках работ по проекту в работе https://doi.org/10.1007/s00025-023-01972-w получены следующие результаты. Доказана ранее сформулированная И.В. Аржанцевым и Ю.И. Зайцевой гипотеза о существовании как минимум двух индуцированных аддитивных действий на вырожденной гиперповерхности, допускающей хотя бы одно индуцированное аддитивное действие. Тем самым завершено доказательство теоремы об эквивалентности единственности индуцированного аддитивного действия на проективной гиперповерхности и невырожденности этой гиперповерхности. При доказательстве получена явная конструкция, позволяющая по данной локальной конечномерной алгебре построить две неизоморфные алгебры на единицу большей размерности, переходящие в исходную при редукции относительно некоторого идеала. Доказано, что в n-мерном проективном пространстве существуют невырожденные гиперповерхности, допускающие индуцированное аддитивное действие, всех степеней от 2 до n. Доказательство проводится посредством явной конструкции H-пар; соответствующие горенштейновы алгебры явно заданы в терминах образующих и соотношений. Исследованы экстремальные случаи гиперповерхностей степеней 2 и n; доказано, что с точностью до изоморфизма существует по одной горенштейновой алгебре, отвечающая таким гиперповерхностям; для таких алгебр установлена независимость соответствующей гиперповерхности от выбора порождающего подпространства. На примерах конкретных горенштейновых алгебр изучен вопрос нормальности гиперповерхностей, возникающих из обобщённого соответствия Хассетта-Чинкеля.
В препринте https://arxiv.org/abs/2308.12096 исследован вопрос о связи неэквивалентных аддитивных действий на проективном пространстве. Уточнён ранее известный результат о сопряжённости любых двух аддитивных действий посредством некоторого бирационального автоморфизма проективного пространства, который справедлив в действительности для любого неприводимого алгебраического многообразия. А именно, доказано, что сопрягающий элемент может быть выбран из аффинной группы Кремоны. Дополнительно приведена интерпретация такого элемента в терминах обощённого соответствия Хассетта-Чинкеля. Доказано, что для H-пары (A, U) автоморфизм, определённый так называемыми базисными многочленами алгебры A, сопрягает соответствующее аддитивное действие на проективном пространстве со стандартным аддитивным действием. Иначе говоря, сопрягающий автоморфизм явно описан в терминах базисных многочленов.
Изучена нормальность невырожденных гиперповерхностей, соответствующих диаграммам Юнга, работа готовится к публикации.
При поддержке гранта в 2023-м году опубликована статья
Beldiev, I. Gorenstein Algebras and Uniqueness of Additive Actions. Results Math 78, 192 (2023). https://doi.org/10.1007/s00025-023-01972-w
и подготовлен и сдан в журнал препринт
Ivan Arzhantsev. On conjugacy of additive actions in the affine Cremona group. https://arxiv.org/abs/2308.12096, 6 pages
Результаты были доложены на школе-конференции “Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов”, прошедшей с 28 января по 2 февраля 2023 года в Москве, в рамках стендового доклада “Горенштейновы алгебры и единственность аддитивных действий” И.С. Бельдиевым, а также на семинаре лаборатории алгебраических групп преобразований НИУ ВШЭ 19 апреля 2023 года, доклад “Неединственность индуцированного аддитивного действия на вырожденных гиперповерхностях”.
И.В. Аржанцев выступил на Московско-Пекинском математическом коллоквиуме с докладом “Equivariant completions of affine space” 01.12.2023.
Ю.И. Зайцева выступила на семинаре лаборатории алгебраической геометрии и её приложений на факультете математики НИУ ВШЭ с докладом “Аддитивные действия на проективных гиперповерхностях” 17.11.2023.
Публикации
1. Бельдиев И.С. Gorenstein Algebras and Uniqueness of Additive Actions Results in Mathematics, 78, 192 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1007/s00025-023-01972-w