КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 23-21-00504

НазваниеКогомологии конформных алгебр

РуководительЛопаткин Виктор Евгеньевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2023 г. - 2024 г.

Конкурс№78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-102 - Алгебра

Ключевые словакогомологии, конформные алгебры, алгебраическая дискретная теория Морса, резольвента Аника, базисы Грёбнера-Ширшова.

Код ГРНТИ27.17.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Вертексные алгебры появились как язык алгебраической формализации свойств разложения операторного произведения (OPE) в двумерной конформной теории поля. Сингулярная часть ОРЕ описывает коммутатор двух киральных полей, а соответствующие алгебраические структуры называются конформными алгебрами [В. Кац, 1996] или вершинными алгебрами Ли (например, [И. Френкель, Д. Бен-Зви, 2001]). Исследование конформных алгебр с алгебраической точки зрения представляет собой интересную математическую задачу с многочисленными связями с другими областями. Структурная теория конечных конформных алгебр Ли была разработана в [А.Д'Андреа, В.Кац, 1998], простые и полупростые конечные конформные супералгебры Ли были описаны [Ш.-Ж. Ченг, В. Кац, 1997], [Д. Фаттори, В. Кац, 2002, 2004]. Представления и когомологии конформных алгебр изучались в серии работ, начатой с [Б. Бакалов, В.Кац, А.Воронов, 1999]. Когомологии конформных алгебр имеют такие же связи с дифференцированиями, расширениями, деформациями и скрещенными модулями, как и когомологии "обычных" алгебр. В частности, изучение когомологий Хохшильда (полу)простых ассоциативных конформных алгебр с точным конечным представлением [П. Колесников, Р. Козлов, 2019] позволило получить окончательное решение проблемы отщепления радикала для ассоциативных алгебр конформных эндоморфизмов. Аналогичный вопрос для конформных алгебр Ли остается открытой проблемой. Когомологии Хохшильда ассоциативных конформных алгебр и прелиевых конформных алгебр появляются также в теории уравнений Маурера-Картана для конформных алгебр. Имеется существенное различие между свойствами ассоциативных и лиевых конформных когомологий. Хорошо известно, что n-я группа когомологий алгебры Ли L, определенная через ее стандартный комплекс, совпадает с n-й группой когомологий Хохшильда универсальной обертывающей алгебры Ли U(L). Для конформных алгебр это не всегда верно. Например, конформная алгебра Вирасоро (бес центра) Vir имеет ненулевую 2-ю группу когомологий, соответствующую нетривиальному центральному расширению, порождающему классическую алгебру Вирасоро. С другой стороны, (ассоциативная) конформная алгебра Вейля, изоморфна универсальной ассоциативной обертывающей U(2) конформной алгебры Vir, она имеет все тривиальные 2-е группы когомологий Хохшильда. Для следующей универсальной обертывающей U(3) все еще существует неприводимый модуль над Vir для которого когомологии Vir отличаются от когомологий U(3). Наша цель — изучить всю серию оболочек U(n), вычислить их группы когомологий Хохшильда и сравнить их с известными когомологиями Вирасоро. Мы также изучим деформации простых ассоциативных конформных алгебр с конечным точным представлением.

Ожидаемые результаты
В рамках проекта планируется разработать аналог резольвенты Аники для конформных алгебр и с помощью этого вычислить когомологии некоторых важных примеров конформных алгебр. Более конкретно, мы планируем показать, как вычислять когомологии когомологии конформных алгебр, заданных через образующие и соотношения. Как хорошо известно для ассоциативных (а также лиевых) алгебр имеется способ строить резольвенту если алгебра задана через образующие и соотношения. Для этого необходимо знание базиса Грёбнера-Ширшова. С другой стороны, то как была получена резольвента Аника не является удобным на практике, так как дифференциалы были определены индуктивно. Однако же с помощью техники алгебраической дискретной теории Морса эта задача решается явно и концептуально. Таким образом, мы планируем перенести эту технику на случай конформных алгебр. Теория базисов Грёбнера-Ширшова для ассоциативных конформных алгебр разработана и значит это позволит нам в этом случае перенести эту технику на ассоциативные конформные алгебры. С другой стороны, мы не ограничимся только лишь резольвентой Аника. Техника алгебраической дискретной теории Морса позволяет по комплексу строить другие комплексы, которые гомотопически эквивалентны исходному. Это уже интересно само по себе, ведь то, как вычислялись и продолжают вычисляться когомологии конформных алгебр можно назвать работой с трюками; для каждого случая разрабатывается отдельный подход. Мы же предъявим универсальный способ для вычисления когомологий конформных алгебр, который отлично себя зарекомендовал в случае ассоциативных алгебр. Другое не менее важное направление в проекте — это исследование мультипликативной структуры кольца когомологий конформных алгебр. В литературе такого ещё не было. Отчасти это объясняется тем, что вычисления когомологий конформных алгебр является очень непростой задачей. С другой же стороны, наш метод позволяет это сделать для любых конформных алгебр. Следует также сказать, что нас будут интересовать когомологии не только с коэффициентами в тривиальном модуле, а вообще в произвольных неприводимых модулях. Все перечисленные задачи и ожидаемые результаты относятся к актуальным разделам математической физики. В этой области работает целый ряд сильных исследовательских групп по всему миру. Продвижения по заявленным направлениям должный привести к значительному прогрессу в понимании устройства изучаемых математических объектов, что в свою очередь будет способствовать решению прикладных задач и расширять вычислительные возможности современной математической науки.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---