КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 23-21-10014
НазваниеИнварианты в маломерной топологии
РуководительТаркаев Владимир Викторович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Челябинский государственный университет", Челябинская обл
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2023 г. - 2024 г. |
Конкурс№76 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс).
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-105 - Топология
Ключевые словатрёхмерное многообразие, узел, инвариант, топологическая квантовая теория поля, скобочный полином Кауффмана, утолщенная поверхность
Код ГРНТИ27.19.19
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект направлен на получение существенного прогресса в одной из центральных проблем маломерной топологии - классификации трёхмерных многообразий и узлов. Предполагается построение новых инвариантов как для трёхмерных многообразий, так и для узлов. При выполнении проекта основные усилия планируется направить на решение двух задач. Первая задача (задача А) состоит в развитии теории квантовых инвариантов трёхмерных многообразий. Она включает в себя категорификацию инвариантов Дейкграафа - Виттена для трёхмерных многообразий (задача А.1), и построение и изучение свойств инвариантов типа Тураева - Решетихина и Тураева - Виро, возникающих из фьюжен категорий малого ранга (задача А.2). Вторая задача (задача Б) состоит в построении новых инвариантов для узлов и зацеплений в трёхмерных многообразиях. Она включает в себя построение полиномиальных инвариантов, близких по смыслу к аффинному индексному полиному, для узлов в неориентируемых утолщениях неориентируемых поверхностей (задача Б.1), и в построение инвариантов классических зацеплений, значениями которых являются полиномы Лорана над телом кватернионов (задача Б.2). Ожидается, что решение перечисленных задач позволит получить существенное продвижение в развитии топологии трёхмерных многообразий и в теории узлов.
Ожидаемые результаты
Развитие теории квантовых инвариантов трёхмерных многообразий. Будет построен новый класс, так называемых, симметричных многомерных инвариантов типа Дейкграафа - Виттена. Кроме этого, будут получены явные комбинаторные формулы, описывающие инварианты типа Тураева - Решетихина и типа Тураева - Виро, возникающие из фьюжен категорий малого ранга.
Развитие теории узлов. Будет построен новый инвариант для узлов и зацеплений в неориентируемых утолщениях неориентируемых поверхностей, являющийся аналогом индексного полинома для виртуальных узлов. Будет построен новый инвариант для классических зацеплений в трёхмерной сфере, являющийся обобщением классического скобочного полинома Кауффмана принимающий значения в кольце полиномов Лорана над телом кватернионов.
Направления наших исследований тесно взаимосвязаны с наиболее активными исследованиями
в области топологии 3-многообразий и теории узлов в мире. По этим направлениям наши результаты будут на уровне лидирующих.
Они могут быть включены в курсы, читаемые студентам математических отделений.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Проект направлен на решение двух комплексных задач. Первая задача состоит в развитии теории квантовых инвариантов трёхмерных многообразий, вторая задача связана с построением и изучением свойств новых инвариантов узлов и зацеплений как в трёхмерной сфере, так и в других трёхмерных многообразиях.
Результаты, полученные в рамках решения первой задачи:
1. Построено семейство симметричных инвариантов типа Дейкграафа - Виттена для трёхмерных многообразий. Каждый такой инвариант задаётся выбором конечной группы и симметричного 3-коцикла для этой группы. Симметричные 3-коциклы отличаются от классических 3-коциклов конечных групп тем, что они должны удовлетворять естественным условиям симметричности. Значением инварианта для трёхмерного многообразия является мультимножество значений, полученных перемножением значений выбранного 3-коцикла для каждой истинной вершины специального спайна трёхмерного многообразия. В случае замкнутых трёхмерных многообразий элементы мультимножества характеризуются представлениями из фундаментальной группы многообразия в выбранную конечную группу. Найдены попарно некогомологичные симметричные 3-коциклы для всех конечных циклических групп, порядок которых не превосходит семи.
2. Получены комбинаторные формулы, задающие инварианты типа Тураева - Решетихина, соответствующие фьюжн категориям ранга 2. Среди них оказалось всего два нетривиальных инварианта. В частности было получено явное описание структурных морфизмов, задающих рассматриваемые категории. Было доказано, что число различных значений этих инвариантов для линзовых пространств конечно.
Результаты, полученные в рамках решения второй задачи:
3. Описана конструкция аналога скобочного полинома Кауффмана для псевдоклассических узлов в неориентируемых утолщениях неориентируемых поверхностей.
4. Описано обобщение биалгебры Голдмана - Тураева на пространство псевдоклассических кривых на неориентируемой поверхности. В частности, построен аналог копроизведения Тураева для этого случая. Отталкиваясь от него построены гомотопический, гомологический и полиномиальный инварианты псевдоклассических узлов в неориентируемом утолщении неориентируемой поверхности. Упомянутый полиномиальный инвариант является аналогом аффинного индексного полинома для случая псевдоклассических узлов.
Публикации