КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 23-71-01045

НазваниеИсследование динамики твердых тел при наличии неинтегрируемых связей

РуководительПивоварова Елена Николаевна, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Удмуртский государственный университет", Удмуртская Республика

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2023 - 06.2025 

Конкурс№84 - Конкурс 2023 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-317 - Регулярная и хаотическая динамика механических систем

Ключевые словадинамика твердого тела, неголономная связь, модель движения резинового тела, тело вращения, мобильный робот, интегрируемость, устойчивость, бифуркационная диаграмма

Код ГРНТИ30.15.15

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен исследованию динамики твердых тел на плоскости, на которые наложены неинтегрируемые связи. Актуальность исследований в данном направлении связана с возможностью применять полученные результаты для моделирования движения мобильных роботов с жесткой внешней оболочкой. Такие мобильные роботы преимущественно со сферической формой внешней оболочки и различными внутренними приводными механизмами в настоящее время разрабатываются по всему миру. Однако для оптимизации их массо-геометрических характеристик требуется предварительная разработка соответствующей математической модели движения и анализ ее динамики. Как показали многие исследования, неголономная модель движения может достаточно точно описывать различные динамические эффекты, наблюдаемые в эксперименте. В данном проекте планируется исследование твердых тел в рамках модели движения резинового тела. Данная модель в дополнение к отсутствию проскальзывания запрещает также вращение тела вокруг оси, параллельной нормали к опорной плоскости, и моделирует движение тела, покрытого резиной. По сравнению с классической неголономной моделью, модель движения резинового тела исследована не так подробно. Тем не менее, в ряде работ по моделированию движения сферических роботов эта модель также используется. В рамках данного проекта планируется частично закрыть этот пробел и подробно исследовать динамику эллипсоида вращения по горизонтальной плоскости. Также планируется рассмотреть динамику усеченного эллипсоида – эллипсоида вращения, симметрично усеченного с двух сторон плоскостями так, что срезы образуют круглые диски. Указанные формы тела также могут применяться в качестве внешней оболочки мобильного робота, при этом иметь ряд преимуществ, таких как, например, статическая устойчивость такой системы (при правильном выборе параметров оболочки).

Ожидаемые результаты
1. Математическая модель движения «резинового» эллипсоида по плоскости. Уравнения движения, первые интегралы, редуцированная система. Частные решения системы, результаты топологического анализа их устойчивости, бифуркационная диаграмма. Классификация траекторий точки контакта эллипсоида на плоскости в зависимости от параметров системы и начальных условий. 2. Математическая модель движения «резинового» тела вращения с симметричными острыми краями по плоскости. Уравнения движения, первые интегралы, редуцированная система. Частные решения системы, результаты топологического анализа их устойчивости, бифуркационная диаграмма. Результаты анализа перехода между моделями качения тела вращения и диска. Классификация траекторий точки контакта тела на плоскости в зависимости от параметров системы и начальных условий. Результаты исследования в данном направлении носят фундаментальный характер и позволят продвинуться в понимании закономерностей движения систем с неголономными связями, а также используются как стартовая точка в теории возмущений, теории устойчивости, анализе бифуркаций, разработке мобильных роботов и т.п.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В первый год выполнения проекта была рассмотрена задача о качении эллипсоида с осесимметричным распределением масс (эллипсоида вращения) по горизонтальной плоскости. При этом предполагалось, что в точке контакта эллипсоида с опорной плоскостью отсутствует проскальзывание (скорость точки контакта равна нулю), а также отсутствует верчение относительно вертикали (проекция угловой скорости эллипсоида на вертикаль равна нулю). Для этой системы были получены уравнения движения и указаны первые интегралы. Показано, что данная система обладает полным набором первых интегралов и инвариантной мерой, а также полем симметрии, связанным с наличием осевой симметрии тела. В результате система является интегрируемой и сводится к системе с одной степенью свободы. Для этой системы найдены частные решения, которые представляют собой перманентные вращения с постоянным углом наклона оси симметрии тела. При вертикальном расположении оси симметрии они соответствуют положениям равновесия, при которых эллипсоид стоит неподвижно на одной из своих вершин. При наклонном расположении оси симметрии частные решения соответствуют качению вдоль окружности. Для случая уравновешенного эллипсоида существует дополнительное частное решение, при котором ось симметрии горизонтальна, а эллипсоид катится вдоль прямой. Для классификации движений системы в зависимости от параметров и начальных условий был использован топологический подход, основанный на изучении критических множеств системы, которые соответствуют перестроению интегральных многообразий, а также анализ устойчивости частных решений (положений равновесия). В результате было получено, что плоскость параметров может быть разделена на пять областей, каждой из которых соответствует свой тип бифуркационной диаграммы, и, соответственно, свой характер поведения. Для каждого типа бифуркационной диаграммы приведены соответствующие фазовые портреты системы. Также был выполнен анализ поведения траекторий точки контакта (центра масс) в зависимости от параметров системы и начальных условий. Указаны все возможные типы траекторий. Показано, что в общем случае траектории являются ограниченными и квазипериодическими. Однако, для некоторых значений параметров существуют условия, при которых траектория уходит на бесконечность. Приведены примеры характерных траекторий точки контакта и центра масс при разных значениях параметров и начальных условий.

 

Публикации

1. Килин А.А., Пивоварова Е.Н. Bifurcation analysis of the problem of a "rubber" ellipsoid of revolution rolling on a plane arXiv, arXiv:2405.07511 [math.DS] (год публикации - 2024)

2. Пивоварова Е.Н. Dynamics of a rubber ellipsoid on a plane ANS Conference Series: Regular and Chaotic Dynamics : Book of Abstracts, ANS Conference Series: Regular and Chaotic Dynamics : Book of Abstracts. — Izhevsk : Institute of Computer Science, 2023, p. 104 (год публикации - 2023)