КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 23-71-01047

НазваниеКвазиклассические асимптотики для анализа квантовых нелинейных открытых систем

РуководительКулагин Антон Евгеньевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский политехнический университет", Томская обл

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2023 - 06.2025 

Конкурс№84 - Конкурс 2023 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика

Ключевые словаКвазиклассическое приближение, асимптотические методы, квантовые системы, открытые системы, нелинейные уравнения

Код ГРНТИ27.29.23

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Главной сложностью при описании реальных квантовых систем является их открытость, многомерность и, зачастую, нелокальность. Зачастую описать некоторые эффекты в данных системах не удается, используя упрощенные модели, не учитывающие какое-либо из этих свойств систем. Наиболее известными примерами таких эффектов является формирование вихревой решетки в бозе-эйнштейновском конденсате или модель атомного лазера. Для решения этой проблемы вместо упрощения моделей за счет сведения их к одномерным, локальным и закрытым можно использовать асимптотические методы решения уравнений, учитывающих все эти особенности. Тогда в некотором порядке асимптотического разложения удастся хотя бы качественно описать такие эффекты. Таким образом, была поставлена задача разработки аналитического метода асимптотического описания квантовых систем, который естественным образом обобщался бы на случай открытых, многомерных систем с нелокальной нелинейностью. Данный проект посвящен рассмотрению моделей, описываемых нестационарным n-мерным уравнением Шредингера с нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью. Задача построения аналитических решений такого уравнения является сложной и актуальной задачей современной математической физики, так как для него слабо развиты не только аналитические методы, но и численные подходы сталкиваются с трудностями, в том числе с вычислительной сложностью в трехмерном случае. В проекте предлагается обобщить идеи оригинального квазиклассического подхода, успешно примененных ранее для описания закрытых нелинейных квантовых систем и открытых классических, для решения данной задачи. Предлагаемый подход развивает идеи метода комплексного ростка Маслова и общий формализм метода основан на теории псевдодифференциальных операторов. Реализация проекта разбивается на два этапа. На первом этапе планируется разработать метод решения задачи Коши для нестационарного n-мерного уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью в классе функций, описывающих полей нескольких квазиклассических квазичастиц. На втором этапе предлагается решить эту задачу в классе функций, квазиклассически локализованных на кривых. Основными результатами решения данных задач будет как непосредственно асимптотика самого поля, описываемого волновой функцией - решением нелинейного уравнения Шредингера, так и вспомогательная динамическая система обыкновенных дифференциальных уравнений или интегро-дифференциальных уравнений (в зависимости от этапа), описывающих в квазиклассическом приближении динамику области локализации и дающую информацию о системе. Решение поставленных математических задач открывает широкие перспективы для исследования открытых нелинейных квантовых систем, в частности в рамках модели Гросса-Питаевского с диссипацией, в рамках комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау, а также некоторых задач в нелинейной оптике.

Ожидаемые результаты
В рамках проекта будет разработан метод построения асимптотических (в квазиклассическом приближении) решений нестационарного уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью, отвечающей за процессы диссипации. Планируется разработать метод построения следующих типов решений для данного типа уравнений: 1) Решения, квазиклассически сосредоточенные в нескольких точках пространства. Так как решается нестационарная задача, то эти точки локализации будут описывать траектории в ассоциированном фазовом пространстве. Таким образом, будут построены решения описывающие динамику поля нескольких квазиклассических квазичастиц. 2) Решения, квазиклассически локализованные на кривых. При этом будут получены квазиклассические уравнения, описывающие динамику кривой локализации. Это позволит описать поле материи, имеющей сложную геометрию локализации. С помощью разработанных методов будут построены физически мотивированные асимптотические решения, описывающие эволюцию реальных нелинейных открытых квантовых систем. Полученные результаты позволят построить новый математический аппарат аналитического описания эффектов в нелинейных задачах современной квантовой физики, позволяющий решать математически сложные задачи, характеризуемые многомерностью систем, нелокальным характером их нелинейности и геометрическими особенностями области локализации.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Разработан метод построения асимптотических решений задачи Коши для n-мерного уравнения Шредингера с кубической нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью. Данные решения квазиклассически сосредоточены в окрестности нескольких траекторий (K>=1 траекторий) в фазовом пространстве (несколько точек в конфигурационном пространстве в каждый фиксированный момент времени). Формализм развит для уравнения с линейной частью уравнения, представляющей собой псевдодифференциальный оператор с гладким символом, растущим не быстрее, чем полином, а аналогичными условиями на ядро нелокальной нелинейности. Вид антиэрмитовой части в уравнении имеет ту же степень общности, как и эрмитовой. Построенные решения ассоциированы с динамикой K квазичастиц, которая описывается динамической системой обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной в явном виде. Данная динамическая система включает в себя обобщенные уравнения Гамильтона на фазовую траекторию квазичастиц (система с n*K степенями свободы), а также обобщенные уравнения Гаузе-Волтерра, описывающие эволюцию «массы» квазичастиц (данные K «масс», связанные с нормой решения, не сохраняются из-за неэрмитовости исходного нелинейного уравнения Шредингера). Для решений, локализованных в окрестности таких «классических» траекторий, построен квазиклассический (приближенный) нелинейный оператор эволюции исходной задачи. С помощью разработанного метода построены асимптотические решения одномерного нелокального нелинейного уравнения Шредингера, соответствующего нелокальной модели Гросса-Питаевского и включающего в себя периодический потенциал ловушки, регуляризованное диполь-дипольное взаимодействие, а также феноменологическое затухание. Рассмотрены решения, соответствующие двум квазичастицам в соседних потенциальных ямах. Показано, что даже при слабом дальнодействующем взаимодействии между двумя квазичастицами в таком решении наблюдается солитоноподобное поведение ансамбля взаимодействующих частиц, в том время как решение, соответствующее одиночной квазичастице, при прочих равных условиях испытывает быстрый коллапс (именно в уравнении с феноменологическим затуханием, т.е. с неэрмитовой частью).

 

Публикации

1. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. A semiclassical approach to the nonlocal nonlinear Schrodinger equation with a non-hermitian term Mathematics, 12(4), 580 (год публикации - 2024) https://doi.org/10.3390/math12040580

2. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Quasiparticles for the one-dimensional nonlocal Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation Physica Scripta, 99, 045228 (год публикации - 2024) https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad302c

3. Шаповалов А.В., Кулагин А.Е., Синюков С.А. Невязка квазиклассически сосредоточенных решений кинетического уравнения на примере нелокальной модели ионизации активной среды Известия ВУЗов. Физика, 2, 67 (год публикации - 2024) https://doi.org/10.17223/00213411/67/2/4

4. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассические квазичастицы для уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью и антиэрмитовой частью ВОРОНЕЖСКАЯ ЗИМНЯЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА С.Г. КРЕЙНА - 2024. Материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В.П. Маслова, Издательский дом ВГУ, Воронеж, 134-136 (год публикации - 2024)

5. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассически сосредоточенные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера с неконсервативной частью Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 4 октября – 8 октября 2023 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2023. - 256 с., Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 4 октября – 8 октября 2023 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2023. - 256 с. (год публикации - 2023)