КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 23-71-01100
НазваниеЭквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит
РуководительШафаревич Антон Андреевич, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва
| Период выполнения при поддержке РНФ | 07.2023 - 06.2025 |
Конкурс№84 - Конкурс 2023 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые словаалгебраическое многообразие, алгебраическая группа, эквивариантная компактификация, торическое многообразие, аддитивное действие
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Эквивариантной компактификацией связной алгебраической группы G называется вложение группы G в компактное (полное) алгебраическое многообразие X, при котором действие группы G на себе левыми сдвигами продолжается до регулярного действия на всем многообразии X. Например, эквивариантными компактификациями алгебраических торов, являются (компактные) торические многообразия. Торические многообразия привлекательны своим достаточно простым комбинаторным описанием, благодаря которому торические многообразия хорошо изучены.
Случай, когда группа G является аддитивной группой векторного пространства (векторная группа) является значительно более трудным. В этом случае также используется термин "аддитивное действие", а именно аддитивным действием на многообразии Х, называется эффективное действие векторной группы с открытой (в топологии Зарисского) орбитой. Полное многообразие является эквивариантной компактификацией векторной группы тогда и только тогда, когда на нем есть аддитивное действие.
На сегодняшний день нету классификации эквивариантных компактификаций векторных групп. Более того, в отличие от торических многообразий, бывают случаи, когда векторную группу G можно эквивариантно вложить в одно и тоже многообразие Х несколькими способами (т.е. на одном многообразии может быть несколько неэквивальентных аддитивных действий).
Однако некоторые продвижения в изучении эквивариантных компактификаций векторных групп тоже имеются. Так, например соответствие Хассета–Чинкеля устанавливает взаимно однозначное соответствие между эквивариантными вложениями векторной группы в проективное пространстве и конечномерными локальными алгебрами. Известно какие обобщенные многообразия флагов являются эквивариантными компактификациями векторных групп. Более того, реализация обобщенного многообразия флагов как эквивариантной компактификацией векторной группы, если и существует, то единственно.
Получена классификация многообразий дель Пеццо с числом Пикара 1, являющихся эквивариантными компактификациями векторных групп. Есть описание эквивариантных компактификаций векторных групп, являющихся торическими многообразиями.
Несмотря на то, что при n>6 проективное пространство размерности n можно реализовать бесконечным числом способов в виде эквивариантной компактификации векторной группы, при всех n есть ровно один способ эквивариантно вложить векторную группу в проективное пространство, так чтобы число орбит было конечно. В рамках предлагаемого проекта планируется изучать эквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит. Одним из основных вопросов является следующий: может ли полное многообразие быть реализовано двумя или более различными способами в виде эквивариантной компактификации векторной группы с конечным число орбит. Также есть основания надеяться на то, что эквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит можно классифицировать. В частности, планируется описать торические многообразия и гиперповерхности, допускающие реализацию в виде компактификации векторной группы с конечным числом орбит.
Ожидаемые результаты
В рамках работы над проектом планируется заниматься следующими задачами:
1) Изучение аддитивных действий на полных торических многообразий с конечным число орбит. В частности, планируется проверить, всегда ли такое действие единственно.
2) Изучение аддитивных действий на проективных гиперповерхностях с конечным число орбит. В частности, планируется описать все гиперповерхности, являющиеся компактификациями векторной группы с конечным числом орбит.
3) Планируется ответить на вопрос, существуют ли многообразия, допускающие более одного аддитивного действия с конечным числом орбит.
4) В 2020 году Fu Baohua и Jun-Muk Hwang ввели класс эйлерово-симметрических многообразий, и показали, что они всегда являются эквивариантными компактификациями векторной группы. Планируется изучить в каких случая аддитивное действие, возникающее на эйлерово-симметрических многообразиях имеет конечное число орбит.
Продвижения по заявленным направлениям будут полезны для изучения теории инвариантов и алгебраической геометрии, что в свою очередь будет способствовать решению прикладных задач и расширять вычислительные возможности современной математической науки.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В рамках работ по гранту были получены следующие результаты.
1) Совместно со студентом третьего курса механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Александром Черновым были исследованы гиперповерхности в проективном пространстве, допускающие аддитивные действия с конечным числом орбит. Для этого мы классифицировали все пары (A, U), которые соответствуют аддитивным действиям на некоторой гиперповерхности с конечным число орбит. Далее по этим парам были явно выписаны уравнения, задающие соответствующую гиперповерхность. Получился следующий результат:
Теорема 1
- Существует ровно одна кривая на проективной плоскости, на которой есть аддитивное действие с конечным числом орбит. Это невырожденная квадрика ранга 3.
- Существует ровно три поверхности в трехмерном проективном пространстве, на которых есть аддитивное действие с конечным числом орбит. Это P^1xP^1, вложенное с помощью вложения Сегре. А также невырожденная кубика и вырожденная квадрика ранга 3.
- При n > 3 существует ровно две гиперповерхности в P^n, на которых есть аддитивные действия с конечным числом орбит. Одна из них степени n, а друга степени n-1.
Из полученной классификации следует, что на гиперповерхностях существует не более одного аддитивного действия с конечным числом орбит.
По результатам этой работы была написана статья, и отправлена в журнал Journal of Algebra and its Applications. Препринт был выложен на сайт arxiv.org. Его можно найти по адресу https://arxiv.org/abs/2405.00171
2) Были получено, что любое полное торическое многообразие, на котором есть нормализуемое тором аддитивное действие с конечным числом орбит, изоморфно произведению нескольких копий проективной прямой.
Были найдены все полные торические поверхности, на которых есть аддитивное действие с конечным числом орбит. Это взвешенные проективные пространства вида P(1,1,d) , поверхности Хирцебруха, а также P^1xP^1.
3) Был получен критерий, когда на симплициальном полном торическом многообразии максимальная унипотентная подгруппа группы автоморфизмов действует с конечным числом орбит.
Теорема 2. Пусть Х - полное симплициальное торическое многообразие. Тогда максимальная унипотентная подгруппа в группе автоморфизмов Х действует с конечным числом орбит тогда и только тогда, когда для каждого конуса С из веера моноид Г(С) свободный.
Здесь Г(С) - подмоноид в Cl(X), порожденный классами дивизоров Dp, где p - ребро веера, не лежащее в С.
Были также найдены все полные торические поверхности, на которых максимальная унипотентная подгруппа группы автоморфизмов действует с конечным числом орбит. Это множество совпало с множеством поверхностей, на которых есть аддитивное действие с конечным числом орбит.
Были также описаны все полные торические многообразия, у которых Cl(X) = Z и на которых максимальная унипотентная группа действует с конечным числом орбит. Это взвешенные проективные пространства P(1, 1, a_2, ... a_n), где a_1| a_2 | ... |a_n.
На основе этих результатов была написана статья, которая была отправлена в журнал Research in the Mathematical Sciences. Препринт был выложен на сайт arxiv.org
Публикации