КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 19-71-30002

НазваниеАнализ, геометрия, математическая физика и их приложения

РуководительБаранов Антон Дмитриевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регионфедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет", г Санкт-Петербург

КонкурсКонкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными (33)

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Междисциплинарная лаборатория им. П.Л. Чебышева существует с 2010 г. и ориентирована в первую очередь на поддержку и развитие молодых ученых. За это время лаборатория получила мировую известность, и играет важную роль в российской и мировой математике. Ее сотрудники получили много выдающихся результатов (отмеченных международными премиям первого уровня, например, премиями Клея и Салема, несколькими приглашенными докладами на Европейском и Международном математических конгрессах, рядом российских премий). Получение поддержки РНФ важно как для сохранения высокого качества математических исследований в Санкт Петербурге, так и для поддержания мирового уровня подготовки молодых математиков. Настоящий проект является продолжением Проекта РНФ, выполнявшегося в Лаборатории Чебышева в 2019-2022 годах и успешно завершенного в 2022 году. Большинство тем заявки продолжают эти исследования, которые были высоко оценены экспертами фонда. Ядро проекта составляют исследования по нескольким современным направлениям фундаментальной математики: комплексный и гармонический анализ, геометрия и алгебраическая геометрия, математическая физика. Также в рамках проекта будут продолжены работы, связанные с задачами движения многофазной жидкости и имеющие непосредственное практическое приложение к нефтедобыче. В рамках проекта предполагаются исследования в следующих направлениях: 1. Анализ. Исследование геометрических свойств систем воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах аналитических функций и их приложения к частотно-временному анализу, описание множеств сэмплинга и интерполяции в пространствах, инвариантных относительно сдвига. Мартингальные вероятностные методы доказательства неравенств анализа. Спектральная теория дифференциальных операторов, приложения теории Сеге к интегрируемым нелинейным уравнениям, исследование устойчивости решений и их асимптотического поведения. Полиномиальные и рациональные собственные функции дифференциальных операторов и теория ортогональных многочленов. 2. Геометрия и алгебраическая геометрия. Геометрия и динамика римановых поверхностей и пространств модулей. Исследование структурных свойств и проведение явных вычислений в стабильной мотивной гомотопической категории. Изучение нестабильной алгебраической K-теории. Комбинаторика расслоений и характеристические классы. 3. Математическая физика. Исследование резонансов для одномерных операторов 1-го и 2-го порядка с финитными матричнозначными потенциалами. Оценки спектральных зон и лакун для оператора Шредингера на периодических дискретных графах. Асимптотическое поведение ветвящихся диффузионных случайных процессов. Вычислимый анализ, построение эффективных алгоритмов точных вычислений и их применение к решению дифференциальных уравнений. Изучение систем уравнений, возникающих в моделях, описывающих третичные методы добычи нефти (вытеснение полимерным раствором и горячей водой), и полуаналитических решений систем законов сохранений.

Ожидаемые результаты
Задачи, на решение которых нацелен проект, - известные актуальные проблемы современного анализа, геометрии и математической физики. Сложность и масштаб поставленных задач означают, что даже частичный прогресс в этих областях будет значительным достижением. В области анализа предполагается получить следующие результаты: - Описание полных интерполяционных последовательностей (то есть базисов Рисса из воспроизводящих ядер) для инвариантных относительно сдвига пространств, порожденных оконной функцией типа обратного секанса. - Описание множеств сэмплинга и интерполяции в терминах нижних и верхних плотностей, а также результаты о множествах иррегулярного сэмплинга для системы Габора из частотно-временных сдвигов оконной функции. Исследование множеств сэмплинга в пространствах де Бранжа и Фока медленного роста. - Изучение асимптотического поведения многочленов на единичной окружности, доказательство нелинейной гипотезы Лузина (существование поточечной асимптотики почти всюду на единичной окружности для ортогональных многочленов, порожденных мерами из класса Сеге). - Исследование разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с данными из класса L^2 методами обратной задачи рассеяния. - Решение задачи об устойчивости и асимптотическом поведении решений интегрируемых нелинейных уравнений с помощью метода обратной задачи рассеяния. - Описание дифференциальных операторов первого порядка с полиномиальными собственными функциями и связанных с ними матриц типа Сильвестра, исследование структуры их собственных подпространств. - Исследование конкретных классов дифференциальных операторов, с явно построенными полиномиальными собственными функциями, и нахождение связанных с ними алгебр Ли, а также порождённых ими ортогональных многочленов и ленточных матриц. Будут найдены новые операторы с полиномиальными собственными функциями, явно построенными с помощью метода Дарбу-Крама. - Описание мультифрактальных свойств самоподобных структур, образующихся в процессе лапласовского роста. Исследование мультифрактальных свойства спектра собственных значений случайных унитарных матриц. - Построение классов самоподобных решений задачи лапласовского роста в секторе, изучение задачи отбора угла раскрытия фьорда. - Исследование мультифрактального спектра фракталоподобных структур, возникающих в нелинейных стохастических задачах лапласовского роста. Планируется получить следующие результаты в области геометрии пространств модулей и алгебраической геометрии: - Описание асимптотического поведения числа меандрических систем (многокомпонентных аналогов меандров) фиксированного топологического типа на поверхностях произвольного рода с помощью метода подсчета квадратно-замощенных поверхностей, разработанного П.Г. Зографом совместно с А. Зоричем, Э. Гужар и В. Делекруа. - Решение обобщенной задачи Арнольда об асимптотической доле длинных циклов в перестановках произвольного числа смежных интервалов множества {1,2,...,N} при растущем N (в настоящее время ответ известен только для перекладываний трех отрезков). - Доказательство явных формул комбинаторики характеристических классов, описание связи комбинаторики расслоения с теорией алгебраической деформации. Описание квазиизоморфизма подразбиения клеточных комплексов как строгой деформационной - Исследования нестабильной К-теории. Построение структуры скрещенного модуля на группе Стейнберга в случае редуктивных групповых схем большого изотропного ранга. Доказательство независимости группы Стейнберга от выбора параболической подгруппы. - Описание группы Стейнберга, ассоциированной с произвольной схемой большого локального изотропного ранга, как естественную про-группу со структурой скрещенного модуля - копредел про-групп Стейнберга, построенных по колокализациям основного кольца. - Классификация мотивных пространств, исследование их морфизмов и гомотопии, построение функтор из гомотопической сердцевины DM(k) в категорию цикломодулей роста. Доказательство эквивалентности соответствующих категорий. В области математической физики и, в частности, в области приложений к задачам гидродинамики в пористой среде нефтеносных пластов, планируется получить следующие результаты: - Изучение резонансов для одномерных операторов 1-го и 2-го порядка с финитными матричнозначными потенциалами. Исследование свойств определителя Фредгольма. - Получение оценок и асимптотики считающей функции резонансов. Определение запрещенной области для резонансов. - Исследование обратной задачи (единственности) для общего случая финитного матричнозначного потенциала для оператора Шредингера и для системы 1-го порядка. - Будут получены спектральные оценки для оператора Лапласа на периодических графах (при удалении одного или двух ребер, одной вершины), показывающие связь между спектральными характеристиками оператора и геометрическими параметрами графов (индексами циклов фундаментального графа, числом циклов, степенями вершин). - Планируется получить спектральные оценки для оператора Шредингера с периодическим электрическим потенциалом. Эти оценки будут использованы для получения двусторонних оценок суммарной длины спектральных зон операторов Лапласа и Шредингера через потенциал и геометрические инварианты графа. - Описание изоморфных и эквивалентных обратных задач Штурма-Лиувилля и Дирака на конечном интервале и на окружности. Планируется описать основные свойства изоморфизма, получить его оценки через потенциал. - Исследование стохастической устойчивости растущих резонансных решений в асимптотически автономных системах с быстро осциллирующими коэффициентами. Ожидается выявить влияние возмущений на условие существования резонансных режимов и описать условия их стохастической устойчивости. - Планируется доказать теорему об асимптотическом поведении плотности средней численности частиц в модели ветвящегося винеровского процесса в периодической среде, а также получить ее обобщение для ветвящихся диффузионных процессов. - Планируется полностью описать соотношения между тонкой иерархией предложений первого порядка определенной сигнатуры и структуры их omega-моделей порядкового типа omega (последняя структура совпадает с иерархией Вагнера регулярных omega-языков). Этот результат явился бы улучшением результата В.Л. Селиванова (International Journal of Foundations of Computer Science, 2008) о степенях Вэджа регулярных апериодических omega-языков. - Результаты о свойствах вычислимости и сложности спектральных задач симметричных вещественных матриц и пучков матриц предполагается распространить на простейшие классы самосопряженных операторов в бесконечномерных пространствах. - Обоснование постановки условий Жуге на разрывах у "физичных" решений для систем законов сохранения, свойственных задачам гидродинамики в пористой среде нефтеносных пластов. Исследование возможности возникновений иных условий, возникающих для "физичных" решений. - Построение полуаналитических решений задач с различными начальными данными для систем законов сохранения, описывающих процессы вытеснения нефти и нефтеносного пласта горячей водой, а также для процессов вытеснения нефти композициями химических агентов, влияющих на различные физико-химические свойства нефти и воды.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ