КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 19-71-30002

НазваниеАнализ, геометрия, математическая физика и их приложения

РуководительБаранов Антон Дмитриевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет", г Санкт-Петербург

Период выполнения при поддержке РНФ

2023 г. - 2025 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными (33).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые словаПространства аналитических функций, гармонический анализ, экспоненциальные системы, воспроизводящие ядра, алгебраическая К-теория, мотивная гомотопическая категория, пространства модулей, характеристические классы, уравнение Баклея-Леверетта, вязкие пальцы, задача Хеле-Шоу, граница DLA-кластера, гармоническая мера.

Код ГРНТИ27.27.00 27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Междисциплинарная лаборатория им. П.Л. Чебышева существует с 2010 г. и ориентирована в первую очередь на поддержку и развитие молодых ученых. За это время лаборатория получила мировую известность, и играет важную роль в российской и мировой математике. Ее сотрудники получили много выдающихся результатов (отмеченных международными премиям первого уровня, например, премиями Клея и Салема, несколькими приглашенными докладами на Европейском и Международном математических конгрессах, рядом российских премий). Получение поддержки РНФ важно как для сохранения высокого качества математических исследований в Санкт Петербурге, так и для поддержания мирового уровня подготовки молодых математиков. Настоящий проект является продолжением Проекта РНФ, выполнявшегося в Лаборатории Чебышева в 2019-2022 годах и успешно завершенного в 2022 году. Большинство тем заявки продолжают эти исследования, которые были высоко оценены экспертами фонда. Ядро проекта составляют исследования по нескольким современным направлениям фундаментальной математики: комплексный и гармонический анализ, геометрия и алгебраическая геометрия, математическая физика. Также в рамках проекта будут продолжены работы, связанные с задачами движения многофазной жидкости и имеющие непосредственное практическое приложение к нефтедобыче. В рамках проекта предполагаются исследования в следующих направлениях: 1. Анализ. Исследование геометрических свойств систем воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах аналитических функций и их приложения к частотно-временному анализу, описание множеств сэмплинга и интерполяции в пространствах, инвариантных относительно сдвига. Мартингальные вероятностные методы доказательства неравенств анализа. Спектральная теория дифференциальных операторов, приложения теории Сеге к интегрируемым нелинейным уравнениям, исследование устойчивости решений и их асимптотического поведения. Полиномиальные и рациональные собственные функции дифференциальных операторов и теория ортогональных многочленов. 2. Геометрия и алгебраическая геометрия. Геометрия и динамика римановых поверхностей и пространств модулей. Исследование структурных свойств и проведение явных вычислений в стабильной мотивной гомотопической категории. Изучение нестабильной алгебраической K-теории. Комбинаторика расслоений и характеристические классы. 3. Математическая физика. Исследование резонансов для одномерных операторов 1-го и 2-го порядка с финитными матричнозначными потенциалами. Оценки спектральных зон и лакун для оператора Шредингера на периодических дискретных графах. Асимптотическое поведение ветвящихся диффузионных случайных процессов. Вычислимый анализ, построение эффективных алгоритмов точных вычислений и их применение к решению дифференциальных уравнений. Изучение систем уравнений, возникающих в моделях, описывающих третичные методы добычи нефти (вытеснение полимерным раствором и горячей водой), и полуаналитических решений систем законов сохранений.

Ожидаемые результаты
Задачи, на решение которых нацелен проект, - известные актуальные проблемы современного анализа, геометрии и математической физики. Сложность и масштаб поставленных задач означают, что даже частичный прогресс в этих областях будет значительным достижением. В области анализа предполагается получить следующие результаты: - Описание полных интерполяционных последовательностей (то есть базисов Рисса из воспроизводящих ядер) для инвариантных относительно сдвига пространств, порожденных оконной функцией типа обратного секанса. - Описание множеств сэмплинга и интерполяции в терминах нижних и верхних плотностей, а также результаты о множествах иррегулярного сэмплинга для системы Габора из частотно-временных сдвигов оконной функции. Исследование множеств сэмплинга в пространствах де Бранжа и Фока медленного роста. - Изучение асимптотического поведения многочленов на единичной окружности, доказательство нелинейной гипотезы Лузина (существование поточечной асимптотики почти всюду на единичной окружности для ортогональных многочленов, порожденных мерами из класса Сеге). - Исследование разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с данными из класса L^2 методами обратной задачи рассеяния. - Решение задачи об устойчивости и асимптотическом поведении решений интегрируемых нелинейных уравнений с помощью метода обратной задачи рассеяния. - Описание дифференциальных операторов первого порядка с полиномиальными собственными функциями и связанных с ними матриц типа Сильвестра, исследование структуры их собственных подпространств. - Исследование конкретных классов дифференциальных операторов, с явно построенными полиномиальными собственными функциями, и нахождение связанных с ними алгебр Ли, а также порождённых ими ортогональных многочленов и ленточных матриц. Будут найдены новые операторы с полиномиальными собственными функциями, явно построенными с помощью метода Дарбу-Крама. - Описание мультифрактальных свойств самоподобных структур, образующихся в процессе лапласовского роста. Исследование мультифрактальных свойства спектра собственных значений случайных унитарных матриц. - Построение классов самоподобных решений задачи лапласовского роста в секторе, изучение задачи отбора угла раскрытия фьорда. - Исследование мультифрактального спектра фракталоподобных структур, возникающих в нелинейных стохастических задачах лапласовского роста. Планируется получить следующие результаты в области геометрии пространств модулей и алгебраической геометрии: - Описание асимптотического поведения числа меандрических систем (многокомпонентных аналогов меандров) фиксированного топологического типа на поверхностях произвольного рода с помощью метода подсчета квадратно-замощенных поверхностей, разработанного П.Г. Зографом совместно с А. Зоричем, Э. Гужар и В. Делекруа. - Решение обобщенной задачи Арнольда об асимптотической доле длинных циклов в перестановках произвольного числа смежных интервалов множества {1,2,...,N} при растущем N (в настоящее время ответ известен только для перекладываний трех отрезков). - Доказательство явных формул комбинаторики характеристических классов, описание связи комбинаторики расслоения с теорией алгебраической деформации. Описание квазиизоморфизма подразбиения клеточных комплексов как строгой деформационной - Исследования нестабильной К-теории. Построение структуры скрещенного модуля на группе Стейнберга в случае редуктивных групповых схем большого изотропного ранга. Доказательство независимости группы Стейнберга от выбора параболической подгруппы. - Описание группы Стейнберга, ассоциированной с произвольной схемой большого локального изотропного ранга, как естественную про-группу со структурой скрещенного модуля - копредел про-групп Стейнберга, построенных по колокализациям основного кольца. - Классификация мотивных пространств, исследование их морфизмов и гомотопии, построение функтор из гомотопической сердцевины DM(k) в категорию цикломодулей роста. Доказательство эквивалентности соответствующих категорий. В области математической физики и, в частности, в области приложений к задачам гидродинамики в пористой среде нефтеносных пластов, планируется получить следующие результаты: - Изучение резонансов для одномерных операторов 1-го и 2-го порядка с финитными матричнозначными потенциалами. Исследование свойств определителя Фредгольма. - Получение оценок и асимптотики считающей функции резонансов. Определение запрещенной области для резонансов. - Исследование обратной задачи (единственности) для общего случая финитного матричнозначного потенциала для оператора Шредингера и для системы 1-го порядка. - Будут получены спектральные оценки для оператора Лапласа на периодических графах (при удалении одного или двух ребер, одной вершины), показывающие связь между спектральными характеристиками оператора и геометрическими параметрами графов (индексами циклов фундаментального графа, числом циклов, степенями вершин). - Планируется получить спектральные оценки для оператора Шредингера с периодическим электрическим потенциалом. Эти оценки будут использованы для получения двусторонних оценок суммарной длины спектральных зон операторов Лапласа и Шредингера через потенциал и геометрические инварианты графа. - Описание изоморфных и эквивалентных обратных задач Штурма-Лиувилля и Дирака на конечном интервале и на окружности. Планируется описать основные свойства изоморфизма, получить его оценки через потенциал. - Исследование стохастической устойчивости растущих резонансных решений в асимптотически автономных системах с быстро осциллирующими коэффициентами. Ожидается выявить влияние возмущений на условие существования резонансных режимов и описать условия их стохастической устойчивости. - Планируется доказать теорему об асимптотическом поведении плотности средней численности частиц в модели ветвящегося винеровского процесса в периодической среде, а также получить ее обобщение для ветвящихся диффузионных процессов. - Планируется полностью описать соотношения между тонкой иерархией предложений первого порядка определенной сигнатуры и структуры их omega-моделей порядкового типа omega (последняя структура совпадает с иерархией Вагнера регулярных omega-языков). Этот результат явился бы улучшением результата В.Л. Селиванова (International Journal of Foundations of Computer Science, 2008) о степенях Вэджа регулярных апериодических omega-языков. - Результаты о свойствах вычислимости и сложности спектральных задач симметричных вещественных матриц и пучков матриц предполагается распространить на простейшие классы самосопряженных операторов в бесконечномерных пространствах. - Обоснование постановки условий Жуге на разрывах у "физичных" решений для систем законов сохранения, свойственных задачам гидродинамики в пористой среде нефтеносных пластов. Исследование возможности возникновений иных условий, возникающих для "физичных" решений. - Построение полуаналитических решений задач с различными начальными данными для систем законов сохранения, описывающих процессы вытеснения нефти и нефтеносного пласта горячей водой, а также для процессов вытеснения нефти композициями химических агентов, влияющих на различные физико-химические свойства нефти и воды.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Целью проекта являются исследования в области анализа, алгебраической геометрии и математической физики. В 2023 году по каждому из направлений исследований были получены следующие основные результаты: Анализ - Получено описание полных интерполяционных последовательностей (то есть базисов Рисса из воспроизводящих ядер) в инвариантном относительно сдвига пространстве, порожденном оконной функцией типа гиперболического секанса. Найденный критерий выражается в терминах средних отклонений последовательности точек от канонической целочисленной решетки. Как следствие, получены достаточные условия для сэмплинга или интерполяции в терминах нижних и верхних плотностей Берлинга. - Для оконной функции типа гиперболического секанса получено полное описание множеств полурегулярного сэмплинга, то есть фреймов Габора из частотно-временных сдвигов оконной функции, отвечающих решетке M x aZ, где a>0, а M – разделенное множество на прямой. Соответствующая система будет фреймом Габора в том и только том случае, когда нижняя плотность множества M строго больше a. - Получены обобщения неравенств Бургейна-Брезиса на случай анизотропной однородности. Показано, что если W - инвариантное относительно сдвигов и анизотропных растяжений замкнутое подпространство класса обобщённых функций умеренного роста, принимающих значения в некотором пространстве R^l и пространство W не содержит векторных дельта-мер, то соответствующий анизотропный потенциал Рисса отображает W \cap L_1 в L_p при правильном соотношении параметра однородности в потенциале, параметра суммируемости p и размерности d. - Для произвольной меры ортогональности из класса Сеге (т.е. имеющей конечный интеграл логарифма веса абсолютно непрерывной части) получена оценка на разность между универсальным пределом и отношением воспроизводящих ядер порядка n относительно этой меры в масштабе 1/n. Оценка дается в терминах функции энтропии меры, недавно введенной и исследованной в работах Р.В. Бессонова и С.А. Денисова. - Получено полное описание всех обыкновенных дифференциальных операторов первого порядка с полиномиальными коэффициентами и полиномиальными собственными функциями и порождаемых ими алгебр Ли. Найдены новые связи дифференциальных операторов, матриц и устойчивых операторов с ортогональными многочленами, в частности, новые гипергеометрические тождества и новые связи между ортогональными многочленами Кравчука и Хана. Построены новые ортогональные многочлены, являющиеся в некотором роде дискретным аналогом многочленов Бесселя и приближающие последние. - Рассмотрено пространство жордановых кривых, которые являются границами двумерных односвязных областей, заданных с помощью бесконечного набора параметров. Описана динамика кривых при случайных вариациях параметров и построена вероятностная мера на этом пространстве. Показано, что задание вероятностной меры на пространстве двумерных кривых эквивалентно задаче стохастического лапласовского роста. Определена и вычислена статистическая сумма для этого процесса. Доказана универсальность статистической суммы и рассмотрены ее свойства. Геометрия и алгебраическая геометрия - Получены асимптотические формулы для числа меандрических систем с N пересечениями и n 2-угольниками на поверхностях рода g>0. Доказано, что число заполненных неориентируемых меандрических систем растет как (6g-6+2n)-ая степень N с явным множителем, пропорциональным объему Мазура-Вича пространства модулей квадратичных дифференциалов рода g с n простыми полюсами. - Доказано, что число заполненных ориентированных меандрических систем растет как (4g-3)-ая степень N с явным множителем, пропорциональным объему Мазура-Вича пространства модулей голоморфных абелевых дифференциалов рода g. - Построены элементарные подгруппы во всех редуктивных группах над коммутативными кольцами локального изотропного ранга хотя бы 2. Доказано, что они нормальны, совершенны при естественном дополнительном предположении, индуцированный на них гомоморфизм сюръективен при переходе к факторкольцу, и что они порождаются группами точек унипотентных радикалов противоположных параболических подгрупп, если эти параболические подгруппы достаточно малы. - Показано, что симплициальное множество циклических перестановок является гомотопической моделью СP^\infty; найдены три доказательства разной природы этого факта. Модель представляется важной, поскольку это первая известная комбинаторная модель с конечным числом симплексов во всех размерностях. Математическая физика - Описаны изоморфные классы обратных задач для основных задач Штурма-Лиувилля на интервале и на окружности. Доказано, что обратные задачи для задачи Дирихле и задачи Неймана на конечном интервале изоморфны. - Для класса энергозависимых уравнений Шредингера без собственных значений, определенных с помощью потенциала Миуры и граничных условий в начале координат, решена обратная задача по резонансам и описано множество изорезонансных потенциалов и параметров граничных условий. Описаны множества изорезонансных потенциалов для операторов Дирака и показано, что задача рассеяния для уравнения Шредингера или оператора Дирака с произвольным граничным условием сводится к задаче рассеяния с граничным условием Дирихле. - Исследованы резонансы для операторов Шредингера с матричнозначным финитным потенциалом на полуоси и с условием Дирихле в точке нуль. Решены обратные задачи для таких потенциалов, определены запрещенные области для резонансов. Показано, что кратность резонанса может быть любым числом для конкретного потенциала. - Исследовано влияние затухающих стохастических возмущений на бифуркацию центр-седло для уравнений, описывающих захват в авторезонанс в нелинейных системах с малой осциллирующей накачкой. Для детерминированной асимптотически автономной системы, связанной с резонансными решениями, найдена зависимость бифуркационного параметра от параметров накачки, при вариации которого седло и центр соединяются в вырожденную неподвижную точку, которая затем исчезает. Найдены условия, при которых соответствующая бифуркация в неавтономной системе сохраняется или нарушается с появлением пары резонансных режимов – устойчивого и неустойчивого. Исследована устойчивость резонансных режимов по вероятности относительно шума на асимптотически большом временном отрезке и на полубесконечном интервале. - Получена классификация ветвящихся винеровских процессов в периодической среде: как и для ветвящегося случайного блуждания асимптотическое поведение определяется верхней границей спектра оператора, отвечающему данной модели: если верхняя граница спектра положительна, то процесс является надкритическим, если верхняя граница спектра отрицательна, то процесс является докритическим, если верхняя граница спектра равна нулю, то процесс является критическим. - Доказана теорема об асимптотическом поведении плотности среднего числа частиц для периодического ветвящегося винеровского процесса в точках пространства при t стремящемся к бесконечности, при условии, что в нулевой момент времени в системе была единственная частица, находящаяся в фиксированной точке пространства. - Для системы из двух законов сохранения, моделирующей вытеснение нефти раствором полимера с адсорбцией, выраженной строго вогнутой функцией, и функцией Баклея-Леверетта, монотонно убывающей с ростом концентрации полимера, для широкого класса начальных условий доказана теорема о единственности для кусочно-гладкого решения с разрывами, допустимыми по критерию исчезающей вязкости. Выведено необходимое и достаточное условие наличия условия Жуге на всем фронте оторочки полимера.

Публикации

1. Воронецкий Е.Ю. Локально изотропные элементарные группы Алгебра и анализ, - (год публикации - 2024)

2. Коротяев Е., Мантиле А., Мокеев Д. Inverse resonance problems for energy-dependent potentials on the half-line SIAM Journal on Mathematical Analysis, - (год публикации - 2024)

3. Петров Ф.В., Рандон-Фурлинг Ж., Запорожец Д.Н. Convex hulls of random walks: conic intrinsic volumes approach Записки научных семинаров ПОМИ, том 526, стр. 159-171 (год публикации - 2023)

4. Султанов О.А. Стохастическая устойчивость модели авторезонанса с бифуркацией типа центр-седло Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, - (год публикации - 2024)

5. Хойруп М., Кихара Т., Селиванов В. Degree Spectra of Homeomorphism Type of Compact Polish Spaces Journal of Symbolic Logic, - (год публикации - 2024)