КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 19-71-30012

НазваниеНовые методы теории динамических систем и их приложение к задачам механики, теории управления и робототехники

РуководительКуликовский Андрей Геннадьевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регионФедеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

КонкурсКонкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными (33)

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Теория динамических систем является одной из центральных областей современной математики и имеет тесные связи с другими разделами математики, с проблемами механики (включая механику сплошных сред), физики, биологии, экономики и т.д. Растущая сложность решаемых фундаментальных и прикладных задач требует развития данной области науки в целом, и создания новых методов исследования динамических систем в частности. В рамках проекта будут получены результаты в двух основных направлениях: 1. Развитие методов теории динамических систем в конечномерных пространствах и применение результатов к прикладным задачам робототехники, механики и теории интегрируемых систем: - Будет проведено исследование динамики движения механических систем, состоящих из нескольких твердых тел, устойчивости их движения и проведена разработка алгоритмов управления их движением. Усложнение структуры механических систем и необходимость в появлении новых задач управления продиктованы потребностью в новых робототехнических конструкциях. В качестве способов управления будут выбраны как уже привычные (гиростаты, роторы), так и сервоуправление. Планируется разработка новых алгоритмов управления с учетом ограничений на управляющие воздействия. - Будет проведено исследование динамики движения многозвенного колесного экипажа, на звеньях которого колеблются различным образом точечные массы, проведен сравнительный анализ, проведено исследование построенных математических моделей на предмет возникающих в них динамических эффектов. - Будет исследован вопрос о возможности управления движением колесных экипажей посредством колебаний установленных на звеньях точечных масс. - Будет разработан алгоритмов управления движением mecanum-колесной платформы различной конфигурации на местности с препятствиями. - Будет развита геометрическая теория линейных уравнений динамики. - Будет проведено исследование систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Планируется доказать ряд теорем существования решений задачи Коши для таких систем. Запланированные результаты находятся в тесной связи с классическими результатами Филиппова, Миллионщикова, а также обобщают результаты Каратеодори. - Будет исследована эволюция медленных переменных для быстро-медленных гамильтоновых систем в предположении, что замороженная системы имеет гомоклинические траектории к положениям равновесия с комплексными характеристическими показателями. - Будет исследована «динамика в целом» маятника Циглера, который ранее в большей степени исследовался в связи с «парадоксом» потери устойчивости при наличии трения. - Будут изучены интегрируемые системы в евклидовом пространстве, связанные с четырьмя классами симметрических пространств по классификации Картана. 2. Развитие теории уравнений в частных производных и применение результатов к прикладным задачам механики сплошных сред: - Будет продолжено изучение динамики нелинейных волн в различных средах, в том числе с диссипацией и дисперсией. - Будут изучаться разрывы в решениях нелинейных гиперболических систем уравнений, описывающих физически значимые модели сплошных сред. Особое внимание будет уделяться особым (неклассическим) разрывам. Одной из целей проекта является развитие теории неклассических разрывных решений гиперболических систем уравнений. - Будет получена оценка влияния эффектов переноса и теплообмена на ячеистую структуру детонационной волны. - Будет продолжено исследование поведения энергетического спектра решения слабо нелинейного уравнения Шредингера на торе, подверженного малым вязкости и случайному возмущению. Все запланированные в проекте научные результаты являются новыми, и базируются на уже проведенных исследованиях коллектива. Запланированные результаты работ имеют большой инновационный потенциал, и могут быть использованы в качестве базы для проведения опытно-конструкторских работ по созданию робототехнических систем, а также в других областях, включая различные прикладные задачи механики сплошных сред.

Ожидаемые результаты
Все ожидаемые результаты будут иметь самый высокий мировой уровень, что, в частности, будет подтверждено публикациями в лучших мировых и отечественных журналах. В рамках проекта будут получены результаты в двух основных направлениях: 1. Развитие методов теории динамических систем в конечномерных пространствах и применение результатов к прикладным задачам робототехники, механики и теории интегрируемых систем: - Будет проведено исследование динамики движения механических систем, состоящих из нескольких твердых тел, устойчивости движения и разработке алгоритмов управления их движением. Класс подобных задач довольно широк в силу разнообразия подобных систем. Усложнение структуры механических систем и необходимость в появлении новых задач управления продиктованы потребностью в новых робототехнических конструкциях. В качестве способов управления будут выбраны как уже привычные (гиростаты, роторы), так и сервоуправление. Планируется разработка новых алгоритмов управления с учетом ограничений на управляющие воздействия. - Будет проведено исследование функций, определяющих инвариантные соотношения уравнений динамики твердого тела. Разработка программы аналитических и численных методов данной задачи. Исследование функциональных свойств новых динамических систем дифференциальных уравнений динамики твердого тела (непрерывности, ограниченности решений уравнений и прочее). Разработка функциональной и численно-аналитической модели геометрического истолкования движения твердого тела в неподвижном пространстве. - Будет проведено исследование динамики движения многозвенного колесного экипажа, на звеньях которого колеблются различным образом точечные массы, проведен сравнительный анализ, проведено исследование построенных математических моделей на предмет возникающих в них динамических эффектов. Будет исследован вопрос о возможности управления движением колесных экипажей посредством колебаний установленных на звеньях точечных масс. Будет разработан алгоритмов управления движением mecanum-колесной платформы различной конфигурации на местности с препятствиями. - Будет развита геометрическая теория линейных уравнений динамики. Они представляют собой системы дифференциальных уравнений второго порядка, не содержащие первых производных независимых переменных (консервативный случай, когда имеется сохранение фазового объема). Поле внешних сил не предполагается потенциальным. Сюда относятся, например, системы с циркуляционными силами, линеаризованные в окрестности равновесий второго рода (в которых силовое поле отлично от нуля). - Будет проведено исследование систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Задача будет рассматриваться в нескольких постановках, в том числе в конечномерных линейных пространствах и в бесконечномерных пространствах Фреше. Указанные пространства снабжены различными отношениями порядка. Правые части дифференциальных уравнений предполагаются монотонными функциями относительно заданных отношений порядка. Планируется доказать ряд теорем существования решений задачи Коши для таких систем. Запланированные результаты находятся в тесной связи с классическими результатами Филиппова, Миллионщикова, а также обобщают результаты Каратеодори. - Будет исследована эволюция медленных переменных для быстро-медленных гамильтоновых систем в предположении, что замороженная системы имеет гомоклинические траектории к положениям равновесия с комплексными характеристическими показателями. Такие системы ранее практически не исследовались, однако они возникают в приложениях к небесной механике и физике. Будут исследованы гамильтоновы системы, обладающие семейством инвариантных торов, для которых векторы частот коллинеарны. Такие системы представляют собой обобщение изохронных систем, которые в последнее время привлекли внимание многих исследователей в России и за рубежом. - Будет исследована глобальная динамика («динамика в целом») маятника Циглера, который ранее в большей степени исследовался в связи с «парадоксом» потери устойчивости при наличии трения. При этом нелокальный аспект динамики этой системы изучен крайне слабо. Будет показано, что маятник Циглера является интегрируемой системой в смысле классической теоремы об интегрировании ОДУ а также в смысле теоремы Якоби о последнем множителе. При этом интегрируемость наблюдается только в части фазового пространства. При некоторых начальных условиях система, вероятно, является неинтегрируемой. - Будут изучены интегрируемые системы в евклидовом пространстве, связанные с четырьмя классами симметрических пространств по классификации Картана. Матрицы Лакса для этих систем были построены Кулишом, Рейманом, Форди, Маршаллом и Войциеховским в 80’х годах прошлого столетия. Эти результаты в виде краткой таблицы некоторых интегрируемых потенциалов приведены во многих учебниках по современной теории интегрируемых систем, а отвечающие им законы сохранения не исследовались. В рамках данного проекта будут исследованы тензора Киллинга отвечающие этим законам сохранения. - Будет доказана связь соответствующих квадратичных законов сохранения с двойными, тройными и т.д. вращениями в евклидовом пространстве, которые являются классическими объектами исследований в теории поверхностей вращения, теории кватернионов, в алгебрах Клиффорда, теории спиноров и т.д. - Будет доказано, что соответствующее кручение Нийенхейса не равно нулю и, тем самым, что соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби не допускает разделения переменных в криволинейной ортогональной системе координат. Результаты, полученные в рамках данного направления исследовании, улучшат понимание ряда физических систем, широко распространенных в приложениях, включая робототехнику: системы со следящими силами, системы с сухим трением, системы, состоящие из нескольких твердых тел. Одной из целей предлагаемого проекта является развитие новых методов исследования классических и квантовых интегрируемых систем. Предлагаемые подходы основаны на методах теории представлений, анализа, теории интегрируемых систем, дифференциальных уравнений алгебраической геометрии и теории вероятностей. Авторы ожидают, что результаты проекта будут также иметь прикладное значение в таких областях, как работа с большими системами данных, квантовая информация и пост-квантовая криптография на алгебраических кривых. Так как результаты проекта имеют фундаментальное значение, то они будут использованы при составлении участниками проекта современных курсов лекций по комбинаторике, дополнительным главам теории вероятностей и математической статистике, теории представлений и квантовым группам, которые преподаются ими в Московском государственном университете, Санкт Петербургском государственном университете и т.д.. Обогащение этих и подобных им курсов этими знаниями позволит готовить высококвалифицированных современных специалистов в этих областях науки. Данное направление также полностью укладывается в рамки направления Н1 стратегии научно-технического развития РФ. 2. Развитие теории уравнений в частных производных и применение результатов к прикладным задачам механики сплошных сред: - Будет продолжено изучение динамики нелинейных волн в различных средах, в том числе с диссипацией и дисперсией. Среди свойств этих нелинейных волн основное внимание будет уделено исследованию их формы и динамической устойчивости. В целом ряде задач для определения формы нелинейных волн, подлежащих исследованию на устойчивость, будут либо использованы существующие уравнения, либо выведены и решены уравнения (как правило модельные), описывающие нелинейные волновые процессы в этих средах. Исследование устойчивости предполагается производить различными методами, включающими в себя прямой численный анализ, аналитические методы, в том числе, спектральный анализ неоднородного оператора, возникающего при линеаризации исходных нелинейных уравнений вокруг решения, описывающего бегущую волну, подлежащую исследованию на динамическую устойчивость. Среди исследуемых задач следует упомянуть задачу об устойчивости несущих периодических волн в окрестности точки минимума групповой скорости на дисперсионной кривой в диспергирующей среде общего вида, устойчивость нелинейных волн под ледяным покровом и в других гидроупругих средах, устойчивость спонтанно излучающих ударных волн в газовой динамике. - Будут изучаться разрывы в решениях нелинейных гиперболических систем уравнений, описывающих физически значимые модели сплошных сред. Особое внимание будет уделяться особым (неклассическим) разрывам, то есть поверхностям разрывов, соотношения на которых помимо законов сохранения содержат дополнительные соотношения, определяемые кинетикой процессов, протекающих в структуре разрыва. Особые разрывы оказывают существенное влияние на построение решений задачи Римана, однако этот тип разрывов изучен недостаточно. Одной из целей проекта является развитие теории неклассических разрывных решений гиперболических систем уравнений. - Будет получена оценка влияния эффектов переноса и теплообмена на ячеистую структуры детонационной волны и проведено сравнение этого влияния с влиянием, которое оказывает используемая модель химической кинетики. Задача связана с численным исследованием течений с волнами детонации, в которых обычно используются нестационарные уравнения Эйлера, а для описания химических реакций – кинетические модели различного уровня сложности. Более предпочтительными считаются многостадийные кинетики с большим числом элементарных реакций и компонентов, участвующих в реакциях. Однако их применение в практических расчетах влечет за собой значительное увеличение времени проведения виртуального эксперимента и требует значительных машинных ресурсов. Между тем обычно пренебрегают влиянием на процесс детонации эффектов переноса (вязкостью, теплопроводностью и диффузией), а также теплообменом на границах потока. Виртуальные эксперименты, проведенные в 2021-2022 гг, на вычислительном оборудовании МСЦ РАН в рамках проекта «Исследование ячеистой структуры детонационной волны», показали что в тонких каналах вязкость оказывает сильное влияние на процесс формирования ячеистой детонации и в рассмотренных случаях ее учет приводит к двукратному увеличению размера детонационных ячеек. - Будут изучены возможные предельные положения собственных значений одномерных физических систем, а также изучена взаимосвязь глобальной неустойчивости неоднородной системы и длиной зоны локальной абсолютной неустойчивости однородной системы. Будут рассмотрены два конкретных примера – упругая трубка с движущейся внутри жидкостью и затопленная ламинарная струя. Ожидаемые результаты имеют общий характер, применимы для произвольных одномерных физических систем, чем объясняется актуальность ожидаемых результатов проекта. - Будет продолжено исследование поведения энергетического спектра решения слабо нелинейного уравнения Шредингера на торе, подверженного малым вязкости и случайному возмущению, начатое в рамках Проекта 2019. А именно, будет изучено поведение энергетического спектра квазирешения в обратной к рассмотренной ранее последовательности пределов волновой турбулентности. При этом возникают существенно новые эффекты, для анализа которых потребуется разработать ряд новых техник. Затем, для одной из последовательностей пределов волновой турбулентности предполагается завершить обоснование основной гипотезы теории, состоящей в том, что энергетический спектр точного решения в пределе удовлетворяет волновому кинетическому уравнению. Математическое обоснование этой теории является чрезвычайно актуальной и важной задачей. Несмотря на обилие физической литературы, математические работы, посвященные этой задаче, начали появляться лишь несколько лет назад, и задача по-прежнему понята плохо. Результаты, полученные в рамках данного направления имеют самое прямое отношение к приложениям: а) Ожидается установление устойчивости или конвективной неустойчивости периодических волн вблизи точки минимума групповой скорости на дисперсионной кривой. Такие волны возникают, как периодические компоненты, излучаемые локализованной волной в целом ряде важных диспергирующих сред: в замагниченной плазме, поверхности воды с учетом поверхностного натяжения либо с наличием ледяного покрова, в геофизических приложениях, в электрических цепях без потерь, в различных упругих и гидроупругих средах. б) Будет продолжено исследование поверхностей разрыва, возникающих при распространении нелинейных волн. Особое внимание будет уделяться особым (неклассическим) разрывам, то есть поверхностям разрывов, соотношения на которых помимо законов сохранения содержат дополнительные соотношения, определяемые кинетикой процессов, протекающих в структуре разрыва. Под структурой разрыва понимается узкая зона с резким изменением параметров среды и скорости. Помимо теоретического интереса, связанного с недостаточной изученностью особых разрывов, интерес к их изучению стимулируется двумя обстоятельствами. Во-первых, в современной механике сплошных сред под пристальное внимание и изучение попадают все более сложные среды, характеризующиеся многочисленными параметрами, которые описываются сложными системами уравнений в частных производных. Поскольку число законов сохранения ограничено, описание разрывов неизбежно требует привлечения дополнительных соотношений, то есть использования особых разрывов. Во-вторых, ряд особых разрывов очень важны при изучении процессов, имеющих прикладное значение. В этой связи отметим хорошо известную роль фронтов горения, которые являются неклассическими разрывами. Менее известно, что ударные нагрузки, приложенные к металлу, порождают возникновение разрывов, являющихся особыми. Авторы проекта впервые исследовали структуру особых разрывов и нашли дополнительные соотношения на них. Эту работу предполагается продолжить с учетом более детального описания процессов в структуре, в частности с учетом термодинамических явлений. в) Будут выявлены степень и границы воздействия на процесс формирования и ячеистую структуру волн детонации явлений переноса при различных значениях коэффициентов переноса в виртуальных экспериментах по инициированию и распространению детонационных волн в водородно-воздушной и озоно-кислородной смесях в каналах различных конфигураций. Будет установлены приоритеты между моделями явлений переноса и моделями кинетических механизмов. На основании полученных результатов будут разработаны методы управления детонацией посредством изменения интенсивности процессов переноса, в частности, методы интенсификации процесса формирования самоподдерживающейся детонации и методы ее подавления. г) Ожидаемые результаты в части строения предельного множества, притягивающего собственные частоты одномерных систем большой протяжённости, будут иметь общий характер и позволят аналитически изучать строение спектра в различных физических и механических задачах. Изучение возможности возникновения глобальной неустойчивости неоднородных систем позволят выявлять условия, при которых возникают глобальные колебания изначально устойчивых систем. Ранее взаимосвязь локальной абсолютной неустойчивости с глобальной неустойчивостью была изучена на примере дорожки Кармана. А именно, в следе за цилиндром локальная абсолютная неустойчивость возникает при числе Рейнольдса Re>25, а глобальные колебания – дорожка Кармана – возникают лишь при Re>47, когда зона абсолютной неустойчивости приобретает достаточно большую длину (Monkewitz, Phys. Fluids, 1988; Delbende & Chomaz, Phys. Fluids, 1998). Изучение других физических примеров, запланированное в данном проекте, позволит понять общую физическую природу этой взаимосвязи и прогнозировать возникновений глобальных осцилляций.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ