КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 24-11-00213
НазваниеЭффективные асимптотические формулы и конструктивные алгоритмы решения (псевдо)дифференциальных скалярных и векторных многомерных уравнений математической физики
РуководительДоброхотов Сергей Юрьевич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук, г Москва
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2024 г. - 2026 г. |
Конкурс№92 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика
Ключевые словаАсимптотики, параметрически заданные функции, лагранжевы многообразия, специальные функции, сплошные неоднородные среды, аналитико-численные алгоритмы
Код ГРНТИ27.35.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект посвящен развитию ранее разработанных авторами подходов к построению эффективных асимптотических формул и их применению к решению конкретных задач для скалярных и векторных (псевдо)дифференциальных уравнений математической физики, описывающих разнообразные волновые процессы в квантовой механике, механике сплошных сред и других областях. В линейных задачах эти подходы основаны на квазиклассическом приближении в широком смысле слова: асимптотические решения уравнений с частными производными выражаются через канонический оператор Маслова (или его обобщения и модификации) на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, для построения которых используются бихарактеристики – решения соответствующих исходной задаче систем обыкновенных дифференциальных уравнений (систем Гамильтона). Реализовать этот подход в конкретных ситуациях — значит предъявить алгоритм построения асимптотических решений, состоящий из ряда шагов, основанных на аналитических и компьютерных расчетах, часто нетривиальных. Хотя квазиклассическое приближение и его варианты появились очень давно и использовались достаточно активно, в последние десятилетия их значимость перешла на качественно новый уровень благодаря появлению таких систем технических вычислений, как Mathematica и MatLab, существенно упрощающих компьютерную реализацию аналитических вычислений и их комбинацию с численными расчетами. Например, аналитические решения многих задач представляются в виде функций (часто специальных) сложного аргумента, заданных в параметрической форме. Проанализировать поведение таких функций, не имея их визуализированного графического представления, практически невозможно, а программы Mathematica и MatLab позволяют получить такое представление и варьировать в нем параметры очень быстро — практически в реальном времени. В практических задачах это дает возможность выделять в решении существенные слагаемые и отбрасывать несущественные, выявлять зависимости изучаемых процессов от тех или иных характеристик. Например, в задачах о волнах, порождаемых локализованными источниками (то есть о поведении волновых полей в «дальних» зонах) весьма существенным оказывается выбор функции источника: нужно, чтобы он с одной стороны приводил к конструктивным формулам, а с другой – сохранял информацию о наиболее значимых характеристиках реального источника. Варьирование параметров и анализ получаемых при этом решений позволяет найти оптимальный компромисс между «сложностью» источника и точностью получаемого решения. Такие соображения позволяют как получить новые конструктивные формулы, так и модифицировать уже имеющиеся. За последние годы участниками проекта был предложен ряд новых подходов к построению конструктивных асимптотических решений широкого класса уравнений математической физики (как линейных, так и нелинейных). В их основе лежат новые параметрические представления асимптотики, как глобальные, так и в широкой окрестности разнообразных стандартных и «нестандартных» каустик (например, береговой линии в задачах о волнах на воде), выбор специальных источников, и использование графического анализа для асимптотического упрощения аналитических формул с последующим расширением классов задач, где они могут применяться. Эти подходы применялись в основном к скалярным дифференциальным и псевдодифференциальным уравнениям для эволюционных и стационарных задач с одной или двумя пространственными переменными, возникающих в квантовой механике, теории ортогональных полиномов, теории волн на воде, механике сплошных сред. В данном проекте предлагается дальнейшее развитие указанных подходов и их приложение к системам уравнений, равно как и к скалярным задачам с тремя и более переменными.
В частности, речь идет о задачах для векторных уравнений квантовой механики, уравнений Максвелла, уравнений механики сплошных сред, физики плазмы, теории ортогональных полиномов с несколькими индексами.
Ожидаемые результаты
В ходе реализации проекта с помощью недавно развитых и развиваемых общих подходов будут получены новые конструктивные асимптотические формулы и составлены аналитико-численные алгоритмы для решения ряда конкретных и модельных задач в основном для векторных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений, возникающих в механике сплошных сред, квантовой теории, теории ортогональных полиномов. Предполагается детально изучить и по возможности упростить доставляемые общей теорией асимптотические формулы для решения следующих задач.
1) Построение волновых полей, порождаемых гармоническими по времени пространственно локализованными источниками, для системы уравнений Дирака для частиц в электрическом и магнитном полях, для линейных уравнений Максвелла в неизотропных дисперсных неоднородных средах и для линеаризованных уравнений холодной плазмы.
2) Построение и исследование волновых пучков и волновых пакетов бесселевого типа для полного волнового уравнения и системы уравнений Максвелла с помощью глобальных асимптотических формул на основе специальных функций.
3) Задача Коши с пространственно локализованными источниками для нестационарных уравнений Максвелла в неоднородных бездисперсных и слабо дисперсных средах.
4) Задача о распространении звуковых волн в слое жидкости над полубесконечным упругим основанием с гладкой переменной границей между ними с учетом эффектов, связанных с наличием в задаче обусловленного полубесконечным упругим основанием непрерывного спектра.
5) Задача об отражении волновых пакетов от стенки в жидкости в бассейне с неровным дном с учетом дисперсионных эффектов.
6) Построение равномерных по аргументу асимптотических формул для задаваемых рекуррентными соотношениями полиномов Якоби и некоторых ортогональных полиномов с несколькими индексами (в недиагональном случае) с помощью предложенного ранее подхода, основанного на использовании вещественного квазиклассического приближения в задачах с комплекснозначными символами.
7) Для задачи о зарождении, распространении и набеге на берег длинных нелинейных волн в бассейне с пологими берегами — составление тестовых модельных примеров и аналитико-численного алгоритма получения асимптотических формул, описывающих соответствующие решения в окрестности выделенных участков берега, и прояснение нетривиального вопроса о соотношении между параметрами набегающих на берег волн (амплитуда и длина) и углом наклона дна у берега, при котором можно использовать полученные асимптотические формулы.
Ожидаемые результаты опираются на современные методы исследований, недавно развитые подходы и соответствуют мировому уровню. Их научная и общественная значимость определяется тем, что конструктивные формулы для коротковолновых асимптотик позволяют в реальном времени вычислять и визуализировать решения и экспериментально исследовать их зависимость от параметров, начальных и граничных условий с помощью быстрых численно-аналитических алгоритмов, допускающих эффективную реализацию на весьма скромных вычислительных мощностях (таких, как персональные компьютеры), что в свою очередь делает возможным их практическое применение, в частности, при исследовании и моделировании распространения волн в жидкости и упругих средах, при проектировании разного рода оптических систем и т. д.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ