КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 24-21-00424
НазваниеГеометрические свойства множеств достижимости в решении задач оптимального управления
РуководительТарасьев Александр Михайлович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук, Свердловская обл
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2024 г. - 2025 г. |
Конкурс№89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-204 - Математические проблемы теории управления
Ключевые словаоптимальное управление, множество достижимости, гамильтонова система, сингулярное множество, негладкий анализ, слабо выпуклое множество, альфа-множество
Код ГРНТИ27.37.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
В проекте рассматриваются теоретические основы эффективного численного решения задач управления динамическими системами на основе геометрических свойств множеств достижимости. Например, в случае, если множество достижимости управляемой системы в любой момент времени имеет "хорошую" геометрию, т.е. односвязно и имеет достаточно гладкую границу с малой кривизной, то достаточно "отслеживать" только изменение границы множества достижимости, что фактически уменьшает размерность задачи. Другим примером является возможность построения поверхностей переключения оптимального управления на основе свойств «слабой» выпуклости множеств достижимости или функций цены.
В проекте рассматривается серия задач оптимального управления, в которых свойство невыпуклости множеств достижимости возникает как вследствие нелинейной динамики или функционала платы, так и в случае невыпуклых целевых множеств. Предполагается исследование областей достижимости и пучков траекторий в задачах управления и дифференциальных играх с бесконечным горизонтом. Будут построены разрешающие процедуры управления на основе нелинейных регуляторов для гамильтоновых систем, возникающих в принципе максимума Л.С. Понтрягина. Будут разработаны аппроксимационные процедуры построения множеств достижимости, функций цены и оптимальных стратегий управления на основе компактифицированных сеточных схем.
Будут исследованы динамические задачи управления по быстродействию на плоскости и в трехмерном пространстве, имеющие простую динамику и невыпуклое целевое множество с нарушением гладкости границы. Разрешающие множества в таких задачах содержат сингулярности – участки негладкости решения. Актуальными проблемами здесь являются: с точки зрения развития теории – создание новых аналитических методов выявления сингулярных множеств, с точки зрения численных алгоритмов – разработка новых корректных вычислительных процедур построения аппроксимаций решений.
Помимо степени гладкости и наличия особенностей важнейшей геометрической характеристикой множеств достижимости является степень их невыпуклости, а также время, в течение которого множество достижимости гарантированно сохраняет свойство односвязности. Степень невыпуклости в настоящем проекте предлагается измерять с помощью понятия альфа-множества, которое сформировалось в начале 2000-х годов и представляет собой одно из обобщений понятия выпуклого множества. Данная задача уже рассматривалась членами научного коллектива проекта, ключевой леммой в решении данной задачи является лемма о численной взаимосвязи между альфа-множествами и слабо выпуклыми по Виалю с постоянной R множествами. Однако, полученная ранее оценка зависит от размерности пространства (в двумерном случае точность оценки степени невыпуклости выше), поэтому планируется либо улучшить ключевую лемму для трехмерных пространств, либо привести примеры, доказывающие неулучшаемость оценок.
Для практического применения теории альфа-множеств важно наличие алгоритма численного вычисления степени невыпуклости в терминах альфа-множеств. На данный момент такой алгоритм разработан членами научного коллектива только для многоугольников на плоскости и без оценки его погрешности. В проекте будет рассмотрена задача обоснованной оценки меры невыпуклости плоского множества, заданного "пиксельно" (т.е. в виде конечного множества точек, представляющего собой аппроксимацию, близкую к исходному множеству в хаусдорфовой метрике), при условии односвязности и известного минимального радиуса кривизны границы.
В проекте также будут рассматриваться задачи управления конкретными динамическими системами, такими как, например, «Автомобиль Дубинса» и его аналоги в пространствах более высокой размерности. Построение решений в таких задачах будет осуществляться с использованием разрешающих конструкций на базе множеств достижимости рассматриваемых управляемых систем.
Ожидаемые результаты
В проекте рассматриваются теоретические основы эффективного численного решения задач управления динамическими системами на основе геометрических свойств множеств достижимости. Например, в случае, если множество достижимости управляемой системы в любой момент времени имеет "хорошую" геометрию, т.е. односвязно и имеет достаточно гладкую границу с малой кривизной, то достаточно "отслеживать" только изменение границы множества достижимости, что фактически уменьшает размерность задачи. Другим примером является возможность построения поверхностей переключения оптимального управления на основе свойств «слабой» выпуклости множеств достижимости или функций цены.
В проекте рассматривается серия задач оптимального управления, в которых свойство невыпуклости множеств достижимости возникает как вследствие нелинейной динамики или функционала платы, так и в случае невыпуклых целевых множеств. Предполагается исследование областей достижимости и пучков траекторий в задачах управления и дифференциальных играх с бесконечным горизонтом. Будут построены разрешающие процедуры управления на основе нелинейных регуляторов для гамильтоновых систем, возникающих в принципе максимума Л.С. Понтрягина. Будут разработаны аппроксимационные процедуры построения множеств достижимости, функций цены и оптимальных стратегий управления на основе компактифицированных сеточных схем.
Будут исследованы динамические задачи управления по быстродействию на плоскости и в трехмерном пространстве, имеющие простую динамику и невыпуклое целевое множество с нарушением гладкости границы. Разрешающие множества в таких задачах содержат сингулярности – участки негладкости решения. Актуальными проблемами здесь являются: с точки зрения развития теории – создание новых аналитических методов выявления сингулярных множеств, с точки зрения численных алгоритмов – разработка новых корректных вычислительных процедур построения аппроксимаций решений.
Помимо степени гладкости и наличия особенностей важнейшей геометрической характеристикой множеств достижимости является степень их невыпуклости, а также время, в течение которого множество достижимости гарантированно сохраняет свойство односвязности. Степень невыпуклости в настоящем проекте предлагается измерять с помощью понятия альфа-множества, которое сформировалось в начале 2000-х годов и представляет собой одно из обобщений понятия выпуклого множества. Данная задача уже рассматривалась членами научного коллектива проекта, ключевой леммой в решении данной задачи является лемма о численной взаимосвязи между альфа-множествами и слабо выпуклыми по Виалю с постоянной R множествами. Однако, полученная ранее оценка зависит от размерности пространства (в двумерном случае точность оценки степени невыпуклости выше), поэтому планируется либо улучшить ключевую лемму для трехмерных пространств, либо привести примеры, доказывающие неулучшаемость оценок.
Для практического применения теории альфа-множеств важно наличие алгоритма численного вычисления степени невыпуклости в терминах альфа-множеств. На данный момент такой алгоритм разработан членами научного коллектива только для многоугольников на плоскости и без оценки его погрешности. В проекте будет рассмотрена задача обоснованной оценки меры невыпуклости плоского множества, заданного "пиксельно" (т.е. в виде конечного множества точек, представляющего собой аппроксимацию, близкую к исходному множеству в хаусдорфовой метрике), при условии односвязности и известного минимального радиуса кривизны границы.
В проекте также будут рассматриваться задачи управления конкретными динамическими системами, такими как, например, «Автомобиль Дубинса» и его аналоги в пространствах более высокой размерности. Построение решений в таких задачах будет осуществляться с использованием разрешающих конструкций на базе множеств достижимости рассматриваемых управляемых систем.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ