КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 24-21-20015
НазваниеИсследование эволюционных интегро-дифференциальных уравнений и линейных обратных задач для них
РуководительНагуманова Анна Викторовна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Челябинский государственный университет", Челябинская обл
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2024 г. - 2025 г. |
Конкурс№90 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс).
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными
Ключевые словаинтегро-дифференциальный оператор, свертка, интегро-дифференциальное уравнение, дробная производная, обратная задача, задача прогноз-управление, условие переопределения, существование и единственность решения, начально-краевая задача, уравнение математической физики
Код ГРНТИ27.33.19, 27.31.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
В последние десятилетия уравнения с интегро-дифференциальными операторами стали очень активно применяться при моделировании различных явлений, возникающих в физике, механике, химии, технике, экономике, математической биологии. Обратные задачи, т. е. задачи, в которых неизвестными являются не только функция решения, но и некоторые параметры, активно используются в нефтяной инженерии, океанографии, гидрологии, при прогнозировании погоды, при обработке сигналов и при решении других прикладных задач. Этим объясняется интерес исследователей к обратным задачам. Но если теория обратных задач для классических дифференциальных уравнений, уравнений математической физики давно стала важным разделом прикладной математики, то работ по исследованию обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений значительно меньше. Проект предполагает исследование новых классов прямых и обратных задач - задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с последующим применением полученных результатов для исследования конкретных прямых и обратных начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных с интегро-дифференциальными операторами по времени. При этом надо отметить, что будут рассмотрены существенно различные по своим свойствам интегро-дифференциальные операторы с сингулярным ядром, которым, в частности, соответствуют классические дробные производные Герамсимова - Капуто, Римана - Лиувилля и др., а также интегро-дифференциальные операторы с ядром без сингулярности, которым соответствуют дробные производные Капуто - Фабрицио, Атанганы - Балеану и другие интегро-дифференциальные операторы, не обладающие многими свойствами классических дробных производных.
Ожидаемые результаты
Проект предполагает исследование задач для эволюционных интегро-дифференциальных уравнений с ограниченными и неограниченными линейными операторами при искомой функции. Все интегро-дифференциальные операторы в уравнении имеют вид композиции дифференциального оператора целого порядка и свертки (будем называть его интегро-дифференциальным оператором типа Герасимова) или композиции свертки и дифференциального оператора целого порядка (далее - интегро-дифференциальный оператор типа Римана - Лиувилля). Интегро-дифференциальные операторы с сингулярным ядром в операторе свертки назовем сингулярными, в противном случае - регулярными. Будут рассмотрены линейные обратные задачи с неизвестным параметром в функции источника. При этом различаются случаи зависящего и не зависящего от времени неизвестного параметра. Второй случай соответствует начально-краевым задачам для уравнений в частных производных с неизвестным параметром, зависящим от пространственных переменных. В результате исследований по проекту предполагается получение следующих результатов:
1. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения в банаховом пространстве с регулярным интегро-дифференциальным оператором типа Герасимова.
2. Теоремы о существовании и единственности решения линейных обратных задач (в случаях зависимости и независимости от времени неизвестного параметра в уравнении) для уравнения в банаховом пространстве с регулярным интегро-дифференциальным оператором типа Герасимова.
3. Теорема о существовании и единственности решения задачи типа Коши для уравнения в банаховом пространстве с регулярным интегро-дифференциальным оператором типа Римана - Лиувилля.
4. Теоремы о существовании и единственности решения линейных обратных задач (в случаях зависимости и независимости от времени неизвестного параметра в уравнении) для уравнения в банаховом пространстве с регулярным интегро-дифференциальным оператором типа Римана - Лиувилля.
5. Теоремы о существовании и единственности решения линейных обратных задач (в случаях зависимости и независимости от времени неизвестного параметра в уравнении) для уравнения в банаховом пространстве с сингулярным интегро-дифференциальным оператором типа Герасимова.
6. Теоремы о существовании и единственности решения линейных обратных задач (в случаях зависимости и независимости от времени неизвестного параметра в уравнении) для уравнения в банаховом пространстве с сингулярным интегро-дифференциальным оператором типа Римана - Лиувилля.
Для каждого варианта будут рассмотрены случаи ограниченного и неограниченного оператора при искомой функции в уравнении.
7. Использование полученных абстрактных результатов при исследовании вопросов однозначной разрешимости прямых и обратных начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений, интегро-дифференциальных по временной переменной. В частности, планируется исследование задач для уравнений дробной диффузии, уравнений динамики движения грунтов.
Все перечисленные задачи являются новыми и позволяют получить новые важные для приложений результаты.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ